毛錫榮

(無錫市輔仁高級中學　214123)

現(xiàn)行的數學教材，基本上是按照形式邏輯的要求展開的，呈現(xiàn)的內容及其表述絕大部分是演繹論證，在一定程度上掩蓋了發(fā)現(xiàn)這些數學知識的原始思維過程，例如問題的發(fā)現(xiàn)過程，概念的形成過程，方法的思考過程，規(guī)律的揭示過程以及各種計算方法的逐步演變和優(yōu)化過程等等．即使有些內容對發(fā)現(xiàn)問題的客觀背景能夠有所揭示，但也僅僅是平鋪直敘，讓人感覺來得一帆風順，而缺少嘗試、曲折以及思維形式的多樣和復雜的過程，這給學生學習這些知識帶來了許多困難，或是不易弄懂，或是難于理解，導致對所學的知識、思想和方法似懂非懂，知其然而不知其所以然，影響了對相關知識、思想、方法的體會和掌握，雖然教師認認真真地教，學生辛辛苦苦地學，但效果卻差強人意．

為了解決這一問題，教師要站在學生的視角，學會運用學生的思維方式進行思考，在實施教學時注意充分還原、暴露和展示數學的思維過程，設法在學生的思維活動和專家的思維活動之間架設起橋梁，努力實現(xiàn)專家的思維活動、教師的思維活動與學生的思維活動的和諧統(tǒng)一．這就要求教師一方面要熟悉學生的思維特點，對所講授的內容進行深入的思維過程的分析和思維層次的設計，尋求或者模仿發(fā)明、發(fā)現(xiàn)這些數學知識和方法時的原始思維過程；另一方面要能想學生之所想，思學生之所思，疑學生之所疑，努力嘗試與學生一起走入原有經驗中去，在學生的思維水平上展開教學，讓學生在思維的水到渠成中掌握數學的知識、思想和方法，從而降低新知學習的難度，提高新知學習的效果．

1　還原專家的思維活動過程，完成知識和方法的有效建構

數學教學中存在著三種思維活動：一是專家的思維活動，通常以演繹的形式將復雜的思維過程處理成凝煉的思維結果，以書面語言為載體展現(xiàn)在課本上；二是教師的思維活動，以語言、板書、課件等為載體呈現(xiàn)在課堂上；三是學生的思維活動，以對話、質疑、板演等形式反映在探究中．教學的過程就是學生在教師的指導下，學習專家的思維活動的過程．學生學習的思維過程與專家的思維過程(數學知識的發(fā)現(xiàn)過程)同步，才能保證學生思維結構的形成和發(fā)展，使得愈來愈和專家的思維結構相似．這種同步和相似的思維結構，對于培養(yǎng)學生提出問題、分析問題和解決問題的能力從而學會數學思維、提高數學素養(yǎng)顯得尤為重要．

案例1“二項式定理”一課的教學片斷

師：初中學習多項式的乘法時，我們得到了完全平方公式，同學們還記得這個公式嗎？

生眾：(a+b)2=a2+2ab+b2．

師：大家有沒有想過，(a+b)3=？

學生動手嘗試，得出：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．

師：我們自然會想到更一般的問題，這個一般性問題是什么呢？

生眾：(a+b)n展開后是什么？

師：很好！要注意n是正整數．如何解決這個一般性問題？請談談你們的想法.

生眾：先猜后證.先根據n= 2，3，4 時的展開式，觀察它們的規(guī)律，猜測出(a+b)n的展開式，再進行證明.

師：由特殊到一般，由具體到抽象，是研究問題的一種基本方法．請按照這個方法試一試.

(學生計算(a+b)4=(a+b)(a+b)3=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，結合n= 2，3的展開式，似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，但對(a+b)n展開后是什么，感到困惑.)

師：大家猜測出展開式是什么了嗎？

生1：(有點沮喪)還沒有，但我猜測(a+b)n展開式的每一項都是n次的，有n+ 1項，系數具有對稱性.但系數究竟是什么，還不清楚.

師：不錯！雖然還沒有完全解決，但已經有了很大的收獲.為避免字母的干擾，把n= 2，3，4時展開式的系數抽出來，排成三列，看看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生2：兩端都是1，中間的系數是上方兩個數的和.

師：非常好！我們在無意中穿越時空，得到了與一千多年前我國著名的數學家楊輝同樣的一個發(fā)現(xiàn).請看大屏幕：(投影)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10105 1

………………………………

(介紹“楊輝三角”，略.)

師：有點遺憾的是，盡管對于任意的自然數n，通過楊輝三角形都可以寫出(a+b)n的展開式，但還沒有找到它們統(tǒng)一的表達式.直到1664年，英國著名的物理學家和數學家牛頓，才利用排列組合的原理，徹底解決了這個問題.牛頓是怎么解決這個問題的呢？

(學生茫然.)

師：華羅庚先生曾說過：“善于‘退’，足夠的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是學好數學的一個訣竅．”這是解決和探究數學問題的一種重要的指導思想．有時候為了認清數學問題的本質，需要退回到數學問題的起點，尋找數學問題之間的內在聯(lián)系．

在我們試圖從n= 2，3，4 的展開式的結論出發(fā)，歸納猜想一般性的結論時，已經運用了以退為進的思想了，但還沒有成功.是否有別的“退”的途徑呢？

(學生茫然.)

師：能否從n= 2，3，4 時展開式的生成過程來思考？先來看(a+b)2=a2+2ab+b2，這個展開式是怎么得到的？

生眾：(a+b)2=(a+b)(a+b)，再利用多項式乘法運算法則得到的．

師：很好！多項式乘方的本原是多項式自乘，其展開式是利用多項式乘法運算法則得到的，這樣我們就從另一個途徑“退”到最原始的地方了．

師：我們一起來分析n= 3時的情形．

(投影給出：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=……=a3+3a2b+3ab2+b3．)

師：從中能發(fā)現(xiàn)每一項系數的構成規(guī)律嗎？例如a2b這一項的系數．

生3：a2b是兩個a和一個b相乘得到的，這兩個a和一個b分別來自三個括號，三個括號中兩個選a一個選b.

師：它的系數可以怎么表示呢？

師：請用組合數的形式寫出n= 2，3，4 時的展開式．

(學生用組合數的形式寫出n= 2，3，4 時的展開式．教師巡視，個別指導.)

師：通過上述探索，能否得到一般情況下的展開式呢？如何得到？

(教師板書.)

師：要不要證明？為什么？

生眾：由歸納猜想得到的結論不一定正確，要說明其正確性，就必須證明.

…………………………

二項式定理是代數學的最基本內容之一，在數學發(fā)展史上占有重要的地位，有著豐富的內涵和悠久的歷史，但是由于二項式定理這一內容的教學課時較少，在高考中占的分值又較低，不少老師在教學時往往只注重形式，把二項式定理作為展開二項式的一個工具，認為學生知道展開式的結果并能運用它來做題就可以了．這種功利性的教學忽略了二項式定理更深層次的內涵和價值，使學生對二項式定理發(fā)生和發(fā)展的過程一知半解，在知識建構的關鍵處存在認知障礙，影響了學生的數學理解．上述案例的教學處理，教師選用的內容全都源于教材，只是把教材中省略的專家的思維活動“還原”了，讓學生充分經歷了二項式定理形成和發(fā)現(xiàn)的真實過程，深刻地體驗了研究數學問題的思維方法．通過教師精心創(chuàng)設的遞進式的問題情境，引領學生像科學家當年推導發(fā)現(xiàn)二項式定理那樣進行探索發(fā)現(xiàn)，不僅使學生了解了知識和方法的來龍去脈，完成了知識和方法的探索與建構，而且有效地激發(fā)了學生探究學習的興趣，培養(yǎng)了學生數學思考、理性思維和科學發(fā)現(xiàn)的能力，使學生在學會知識的同時收獲了方法、學會了學習．

2　展示教師的思維活動過程，實現(xiàn)重點和難點的有效突破

著名數學家蕭蔭堂先生認為：“有時教授備課不足，笨手笨腳地算錯了數，從他搔著首、念念有詞的改正中，反而可以看出他的思路，真正學到些東西．”可見，教學過程展示教師教學思維活動是何等的重要．教師要能蹲下身來，貼地而行，與學生一起展開由未知到已知的探索活動，在探討問題的過程中，邊想、邊講、邊寫；當解題受阻時，再及時地改變思路，重想、重講、重寫．教師要不斷地在課堂上把自己置于危險的境地，引發(fā)出自己頭腦中的思維火花、瞬時靈感和科學想象，這樣便可以使學生目睹教師靈感迸發(fā)、創(chuàng)意涌出的全過程．這樣，把學生不自覺地引向探討問題的真實情境里，吸引到問題解決和創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的過程中來，了解教師是如何思考問題、如何創(chuàng)造性地得出結論，從而獲得有益的啟發(fā)，學會合理地聯(lián)想、科學地思維，有效地解除學習的障礙，突破認知的難點，深化對所學知識和方法的理解．

案例2“三角函數的應用”一課的教學片斷

師：同學們，請看大屏幕．

問題一個半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時針轉動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間．試將點P距離水面的高度Z(m)表示為時間t(s)的函數．

師：請大家思考一下，運用已經學過的知識，怎樣解決這個問題？可以相互討論．

生1：確定點P的位置，寫出點P的縱坐標．

師：如何確定點P的位置？我們首先要做什么？

生1：建立坐標系．

師：怎樣建系呢？建系的最優(yōu)標準是什么？

生1：以O為原點、水平方向為x軸建系，建系要盡量使計算簡單，圖形盡量對稱．

師：有了平面直角坐標系，現(xiàn)在能表示點P的縱坐標了嗎？

生1：不能，點P的起始位置不在x軸上，需要引入初始角φ．

師：設哪個角為φ？

生1：設∠P0Ox=φ．

師：哪兒出錯了呢，怎么改？

生2：∠P0Ox=φ不可以表示任意角，應該設以Ox為始邊，OP0為終邊的角為φ．

師：φ角有范圍限制嗎？

生2：φ角終邊在第四象限，所以

師：現(xiàn)在你能給出解答了嗎？

師：怎么求φ?

生2：因為當t=0時，Z=0，所以sinφ=

師：這個問題看上去關系復雜，但通過建立恰當的平面直角坐標系后，轉化為用角φ的正弦來表示點P的終點坐標，就可以很方便地將高度Z用角φ的三角函數表示出來，關鍵是如何確定以Ox為始邊、OP為終邊的角．

簡明的教學環(huán)節(jié)如剝繭抽絲，由環(huán)環(huán)相扣又層層遞進的問題串引領學生展開數學思考，這個過程充分而又十分自然地展示了教師自己思維的過程．通過層層遞進的問題串，讓學生明白求點P距離水面的高度Z，教師自己是怎么想的，這比直接講解這道題如何做要有效得多．在展示教師自己的思維活動的過程中，發(fā)現(xiàn)了學生不適應引入任意角，而習慣設∠P0Ox=φ，教師就順其自然得到錯誤結論，并引導學生談談自己的想法和做法．這樣，一方面可以吸引學生的注意力，讓學生盡可能多的參與到課堂共建中來，而不是覺得課堂僅僅是教師一個人的“獨角戲”；另一方面，給學生一個很直觀的感受就是：學生的思維與教師的思維貼近，有助于學生跟上教師的思路，清楚地發(fā)現(xiàn)自己容易犯錯的地方，通過認真聽課，更好地理解教師在解決這一類問題時所運用的思維方法，進而自然的將這個思維過程潛移默化地遷移到自己的解題過程中來，悟出同一類問題的處理方法，并知曉面對這類問題時應該如何入手、怎樣思考？從而有效地掌握解決這一類問題的思維方法，收到舉一反三、觸類旁通的效果．

3　暴露學生的思維活動過程，促進學生認知的深化與理解

前蘇聯(lián)著名教育家斯托利亞爾指出：“數學教學是數學活動(思維活動)的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學．”也就是說，數學教學不僅要反映數學活動的結果，而且還要善于暴露得到這些結果的思維活動的過程．專家和教師解決數學問題的思維過程與學生的思維過程存在著明顯的差異，無法代替也不應該代替學生的思維過程．只有讓學生親自經歷探索的曲折情節(jié)，使思維帶有懸念色彩，才能增添學習的情趣，從而成為“有意義的學習與保持”．因此，要不斷增強課堂活動的開放程序，引領學生主動地參與教學活動，抓住思維的啟動、過程和誘因，創(chuàng)設廣闊的思維空間和智力背景，提供學生觀察、操作、表達、思考、交流、和表現(xiàn)的機會，使學生在開放的思維活動中獲取知識，并藉以訓練和發(fā)展相應的數學能力．

案例3《必修5階段測試講評課》的教學片斷

根據數列單調性的意義，可得解法如下：

(原來學生受函數單調性的影響，只注意到了數列單調性與函數單調性的聯(lián)系，而忽略了數列單調性與函數單調性的區(qū)別．)

師：上述兩個問題有區(qū)別嗎？

生3：兩個問題的定義域不同，第一個問題是指在對一些孤立點(n,an)(n∈N*)呈現(xiàn)單調遞增的特點，而第二個問題是指由兩段連續(xù)函數圖象構成的新函數呈現(xiàn)單調遞增的特點，它們是有區(qū)別的！

師：很好！既然兩個問題之間有區(qū)別，那么反思生1和生2的解法，有什么不恰當的地方？應該怎么糾正？

生4：生2的解法是對的，生1忽略了數列單調性與函數單調性的區(qū)別．由3-a>0，可得數列{an}(n=1，2，3，4，5，6，7)是單調遞增數列；由a>1，可得數列{an}(n>7,n∈N*)是單調遞增數列，為使數列{an}是單調遞增數列，只須7(3-a)-3

生5：根據數列單調性的特點，問題1只要由a6

師：非常好！生4和生5的解法揭示了數列的單調性與函數的單調性之間的微妙的差異．數列是一種特殊的函數，數列的單調性與函數的單調性之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，只有弄清了它們的聯(lián)系和區(qū)別，在解題中才能不出差錯．請同學們思考這樣的問題：怎樣證明數列{an}(n∈N*)是單調遞增數列？

生6：只要證明an+1>an對一切n∈N*都成立就行了．

…………………………

上述案例中，教師既沒有組織大量的題目讓學生操練，也沒有滔滔不絕的講解和分析，而是通過一道典型的測試題，針對學生解題中的思維缺陷，組織學生進行對話、合作和交流，通過學生的活動，及時捕捉住他們思維的困惑和障礙點，利用學生暴露出的錯誤思維，鼓勵其開展探索活動，并在更高的層次上引領學生繼續(xù)思考．教師站在學生的立場上，抓住數列單調性的本質特征和學生產生錯誤的根源，循著學生的思維軌跡，緊追不舍，不斷地由此及彼，由淺入深，思路越探越清，問題越探越明，知識越探越透，將學生的思維活動過程完全地暴露了出來．不僅加深了對函數單調性和數列單調性的認識和理解，而且使學生的思維在問題的碰撞中迸發(fā)出創(chuàng)新的火花，讓學生體驗了成功的快樂，調動起學生發(fā)自內心的學習和探究新知的積極性，培養(yǎng)了學生的問題意識，孕育了學生的創(chuàng)新精神，讓我們真切地感受到了學生思維的激流涌動，使課堂真正地成為智慧飛揚的天地．

培養(yǎng)學生良好的思維品質、使學生學會數學思考與理性思維是數學教學的重要任務和首要目標．在數學教學活動中，教師既要善于還原專家的思維活動過程，讓學生了解專家是怎么發(fā)現(xiàn)知識和運用方法的，又要注意展示教師自己的思維活動過程，讓學生體會教師在解決數學問題時是怎么想的，還要能夠讓學生充分暴露自己的思維活動過程，說出他們的想法，捕捉學生思維的閃光點，把課堂變成師生共同提出問題、共同解決問題的陣地，引領學生主動地學習，促進學生積極地思考，使學生在自己親身經歷的活動中理解數學知識發(fā)生、發(fā)展和完善的過程，體會數學知識的應用價值，激發(fā)學生數學學習的興趣，指導學生學會數學學習的方法，從而全面提高學生的數學素養(yǎng)，為學生的長效發(fā)展和終身發(fā)展奠定堅實的基礎．