趙士元

(蘇州市吳中區(qū)教學(xué)研究室　215104)

先看兩個案例.

案例1在一次常規(guī)教學(xué)調(diào)研中聽到一位老師講評這樣一條數(shù)學(xué)題：

這是一道中等難度的填空題，學(xué)生的正確率比較高.但考慮到這道題目涉及的知識點比較重要，是一條典型的思維訓(xùn)練題.因此，教師在評講時還是給予了一定的重視.下面是筆者在聽課后整理的一段實錄.

教師：請一個同學(xué)講講你的解題思路.

教師：這兩位同學(xué)的想法都非常好，下面分別請一、二兩組的同學(xué)按第一種思路做一下，而三、四兩組的同學(xué)按第二位同學(xué)的思路做.

這時，有一個同學(xué)舉手要求發(fā)言，任課教師點頭同意，于是全班同學(xué)都停下手中的筆聆聽著這位同學(xué)的發(fā)言.

生丙：老師，我記得以前您給我們講過一道類似的題目，好象是已知(x-1)2+(y-1)2=1時求x+y的最大值，記得當(dāng)時我們用了四種方法，除了“三角代換”和“Δ法”以外，還有基本不等式法以及利用直線與圓的位置關(guān)系來求，我想用“基本不等式法”來解，但還沒有解出結(jié)果，好象不大好用.

這時另一個同學(xué)沒舉手便迫不及待地站起來說：老師，我是想用點到直線的距離來求，但也沒求出來.

面對這兩位同學(xué)提出的問題，任課教師只是不經(jīng)意地說了句：這兩位同學(xué)之所以做不出來是沒有注意到圓與橢圓的區(qū)別，以前的四種方法并不是完全可以“套用”過來的.

案例2一節(jié)高一新授課“等差數(shù)列(1)”

首先，教師舉了若干數(shù)列的實例，師生一起觀察其共同點并給出等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項減去它的前一項所得到的差是一個相同的定值，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列.緊接著教師寫出等差數(shù)列的數(shù)學(xué)表達式：an+1-an=d(n∈N*)，其中d為常數(shù).而后教師利用這個關(guān)系運用累加思想得出了等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d.

接著教師將通項公式變式為：an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，得出通項公式是關(guān)于n的“一次型”函數(shù)但并不一定是一次函數(shù)，因為公差d可能為零.

從開始上課到等差數(shù)列通項公式的得出，都是教師在講解.在得出等差數(shù)列通項公式后教師出示一道例題：

分別判斷具有下列通項公式的數(shù)列是否為等差數(shù)列：

①an=4n-3(n∈N*)；②an=n2+n(n∈N*).

在處理第①小題時一位學(xué)生這樣回答：它是一個等差數(shù)列，因為它的通項是關(guān)于n的一次函數(shù).此時教師反問：“剛才我們講到等差數(shù)列的通項是關(guān)于n的一次型函數(shù)，但我們沒講到通項是n的一次型函數(shù)時它一定是等差數(shù)列啊，這一點請同學(xué)們一定注意！”

而第②小題教師是這樣處理的：

an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+2，它是一個與n有關(guān)的值而不是一個常數(shù)，所以它不是等差數(shù)列.講完后教師緊鑼密鼓地進入下一道例題的講解.

這兩個案例中，教師的處理無可厚非，從課堂的整體來看，教師都能較好地完成“教學(xué)任務(wù)”，但仔細(xì)品味這兩位教師的處理方法，總覺得少了點東西？我想這缺少了的東西就是我們平時常說的課堂智慧.

本文將以上述兩個案例為例就課堂教學(xué)中的智慧生成問題作一些探討，希望對數(shù)學(xué)教學(xué)有一點幫助.

點燃智慧火花的主要途徑是課堂教學(xué)中的生成,關(guān)于課堂教學(xué)中的生成和預(yù)設(shè)在許多文章中都有涉及，不少教師也一直在爭論著課堂教學(xué)中到底采用生成性教學(xué)還是預(yù)設(shè)性教學(xué)，我認(rèn)為這種爭論是沒有必要的，因為生成性教學(xué)是相對于預(yù)設(shè)性教學(xué)提出的一個概念，兩者并非相互對立而是相互依存地存在于同一節(jié)課堂教學(xué)之中，沒有預(yù)設(shè)就無所謂生成，而課堂教學(xué)中的生成又離不開教師精心的預(yù)設(shè).我們認(rèn)為：無論教師在課前作多么精心的預(yù)設(shè)都無法完全預(yù)知到課堂上將發(fā)生的全部細(xì)節(jié)，也無法擋住課堂上隨時可能出現(xiàn)的“不速之客”，因為課堂教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都是一個動態(tài)的、不斷變化著的過程.但是，在平時的課堂觀察中我們發(fā)現(xiàn)有許多教師往往過多地滿足于完成預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容，而忽視了學(xué)生的體驗學(xué)習(xí)，對課堂上即時產(chǎn)生的精彩亮點也往往視而不見或一帶而過.其實，課堂中的“意外”往往會讓我們的課堂教學(xué)增添許多靚色，關(guān)健是我們能否靈活應(yīng)對，為我所用.當(dāng)然，要使課堂產(chǎn)生精彩生成，也需要我們精心創(chuàng)設(shè)情景，為學(xué)生的學(xué)習(xí)構(gòu)建自由的平臺，從而讓“生成”自由生成.

什么樣的教學(xué)情境才可能導(dǎo)致生成的發(fā)生？靖國平教授在《生成性課堂何以可能》一文中總結(jié)了四點：其一、課堂教學(xué)關(guān)注生命成長，關(guān)注學(xué)生人格成長；其二、關(guān)注學(xué)生內(nèi)心想法的表達；其三、關(guān)注課堂教學(xué)中豐富的差異性；其四、讓學(xué)生產(chǎn)生個性化的表達.要讓生成在課堂真正發(fā)生就必須尊重學(xué)生自由參與的權(quán)利、與學(xué)生平等對話、寬容接納學(xué)生出現(xiàn)的“錯誤”.那么，怎樣才能做到讓學(xué)生自由參與呢？我們認(rèn)為可以從以下幾個方面入手.

1.創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在“安全環(huán)境”內(nèi)自由發(fā)揮

羅杰斯認(rèn)為：一個人的創(chuàng)造力只有在他感覺到“心理安全”和“心理自由”的條件下，才能獲得最優(yōu)表現(xiàn)和發(fā)展.課堂上要讓學(xué)生真正參與就必須清除學(xué)生的心理障礙，讓學(xué)生生活在“心理安全環(huán)境”中.在第一個案例中當(dāng)學(xué)生提出與教師預(yù)設(shè)不一樣的想法時，老師給出的評價是“這兩位同學(xué)之所以做不出來是沒有注意到圓與橢圓的區(qū)別，以前的四種方法并不是完全可以套用過來的”，這段話明顯帶有批評色彩，學(xué)生聽著教師的評價便會感受到我之所以想的與老師不一樣，是自己學(xué)習(xí)不夠踏實、審題不清而造成的“錯誤”，他們會感到自責(zé)從而缺乏了發(fā)言時的安全感，久而久之他們便不會再提出自己的觀點也懶得再去費心思動腦筋，久而久之，他們便慢慢地習(xí)慣于接受教師的講解，學(xué)習(xí)主動性便也會慢慢喪失.而班級其它同學(xué)也聽在耳中記在心里，這就不利于課堂“生成”的自由生成.

因此，教師要有一顆容忍之心、寬容之心、細(xì)致之心、仁愛之心.因為只有包容，才能接納他人；只有寬容，才會允許存在不同的聲音；只有細(xì)致，才會用心構(gòu)筑交流的平臺；只有仁愛，才能真正理解學(xué)生的一切.也只有有了這些，我們的課堂才能豐富多彩.

2.信任學(xué)生，讓學(xué)生在自由思考中生成新的想法

要讓課堂生成真正發(fā)生，就必須有相對寬裕的時間讓學(xué)生充分思考.在平時的課堂觀察中我們發(fā)現(xiàn)很多教師習(xí)慣于事無巨細(xì)地講解，生怕自己講解有什么疏漏而給學(xué)生造成損失，其實這是一種教學(xué)自信的缺失，更是對學(xué)生能力的信任缺失.課堂教學(xué)中適當(dāng)“放手”，讓學(xué)生自由思考和討論，看似影響了教學(xué)進度和課堂容量，實則學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思考能力在自由思考和體驗學(xué)習(xí)的過程中得到了提升，這種提升所帶來的優(yōu)勢往往超越了教師講解本身.

在第二個案例第②個問題中，已知一個數(shù)列{an}的通項公式an=n2+n(n∈N*)，判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，教師用定義法求出：an+1-an=2n+2，判斷它不是一個常數(shù)從而斷定它不是一個等差數(shù)列，這樣的處理沒什么問題.但是如果在講解前給學(xué)生一點思考的時間，我們便極有可能會得到與教師不一樣的想法：那就是通過通項直接求出a1,a2,a3，再求出a2-a1,a3-a2，發(fā)現(xiàn)這兩者不相等，于是判斷出它不是等差數(shù)列.事實上，從課后筆者與學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)學(xué)生確實有這樣的解法，從數(shù)學(xué)教學(xué)來看，舉反例說明也是一種有效的證明方法.可惜的是教師沒有給學(xué)生必要的思考時間也就沒有發(fā)現(xiàn)這一課堂生成的“另類”，學(xué)生也無法確定這樣的判斷是對還是錯，學(xué)生的思維也就被禁錮在定義這一狹窄的思維通道內(nèi).

為此，課堂教學(xué)中必須真正突出以學(xué)生為主體，杜絕“滿堂灌”、拒絕“滿堂問”，多站在學(xué)生立場思考課堂教學(xué)，真正做到把思考的時間還給學(xué)生，把提出問題的權(quán)利還給學(xué)生，把發(fā)表意見的權(quán)利還給學(xué)生，為學(xué)生提供“收放自如、寬嚴(yán)適度”的學(xué)習(xí)場景和課堂文化.

3.推波助瀾，讓學(xué)生在反思中提升

課堂中即時產(chǎn)生的“生成”素材有時是正確的，有時是錯誤的.但無論是正確結(jié)論的生成還是錯誤結(jié)論的發(fā)生，都是從學(xué)生頭腦中自由發(fā)出的波.如何接收和利用這些來自于學(xué)生思想深處的波，這就需要教師具有充實、豐富的專業(yè)知識儲備和教學(xué)經(jīng)驗，特別是面對一些即時生成的錯誤結(jié)論，教師更應(yīng)該敞開自已寬闊的胸懷去接納學(xué)生的“錯誤”，用自己靈敏的教學(xué)機智將學(xué)生生成的材料為己所用，構(gòu)建真正意義上的生成教學(xué)課堂.

出示題目后教師并沒有馬上進行講解和分析，而是讓學(xué)生先行思考或者自己找同伴相互討論，經(jīng)過幾分鐘的思考后學(xué)生提供了兩種解法.

解法二：設(shè)An=(3n+2)k,Bn=(2n+3)k，

則a6=A6-A5=20k-17k=3k，

b6=B6-B5=15k-13k=2k，

這是兩個完全不同的答案，教師并沒有輕易地表態(tài)誰對誰錯，而是推波助瀾讓學(xué)生組織了一次大討論，在大多數(shù)學(xué)生認(rèn)同第一種解法的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生一起研究第二種解法.首先教師讓提供第二種解法的學(xué)生談了自己的想法，這位學(xué)生回答說“在初中階段凡是碰到比例問題，經(jīng)常使用設(shè)比例的方法”.此時,任課教師對這位學(xué)生靈活應(yīng)用“類比思想”給予了充分的肯定，智慧地對學(xué)生的表現(xiàn)作了肯定的評價.這時，教師又面帶笑容地問全班學(xué)生“那么問題出在什么地方呢？我們怎樣修正這種解法呢？”，課堂氣氛達到了高潮，學(xué)生的思維也開始活躍起來了，學(xué)生經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)錯誤原因就在假設(shè)“An=(3n+2)k,Bn=(2n+3)·k”，因為等差數(shù)列的前n項和是“關(guān)于n的二次型函數(shù)(二次項系數(shù)可能為零)而且常數(shù)項為零”，但“An=(3n+2)k”和“Bn=(2n+3)k”的形式都是關(guān)于n的一次形式，錯誤的假設(shè)導(dǎo)致了錯誤結(jié)論的產(chǎn)生.在找到問題癥結(jié)的基礎(chǔ)上學(xué)生很快對這種解法進行了改正：

設(shè)An=n(3n+2)k,Bn=n(2n+3)k，

則a6=A6-A5=120k-85k=35k，

b6=B6-B5=90k-65k=25k，

事后，與任課教師的交流得知教師在備課過程中壓根沒想到學(xué)生會提出這種解法，但是在無意中獲得這一即時生成材料時，教師對學(xué)生錯誤的解法推波助瀾，將學(xué)生的思維推向高潮，這就是教學(xué)智慧的作用.

在案例1中，當(dāng)學(xué)生提出“我想用基本不等式的思想求解但還沒有解出來，好象不大好做”時，如果教師不是草率地用一句話搪塞過去，而是利用這一即時生成素材進行適時引導(dǎo)，其效果會更好而且很有可能會有意想不到的收獲.下面是課后與教師進行交流時假設(shè)的一個場面.

教師：你想用基本不等式求解，這思路很好，說明你學(xué)習(xí)很主動，對以前學(xué)過的知識能靈活應(yīng)用(高度肯定學(xué)生的想法)，但是我們一起想想基本不等式有什么特點(暗示學(xué)生類比時要注意異同點)？

學(xué)生：基本不等式中的條件式和結(jié)論式都是關(guān)于字母對稱的.

教師：非常好，這位同學(xué)回答得真太好了(再次肯定學(xué)生，激起他進一步探究的欲望，鼓勵他今后多多獨立思考).

教師：但是，現(xiàn)在給出的目標(biāo)式是關(guān)于x,y對稱的，而條件式并不關(guān)于x,y對稱呀，大家有什么辦法破解嗎(再次把學(xué)生推向思考的高地)？

在一次一次的對話交流中學(xué)生極有可能恍然大悟：柯西不等式!

4.順應(yīng)學(xué)生，在生成中激勵學(xué)生創(chuàng)新

課堂教學(xué)中的生成往往是即時的、無序的、非預(yù)設(shè)性的，生成的素材也往往不是教師能預(yù)料到的.教師對課堂中即時生成的素材應(yīng)該因勢利導(dǎo)，順應(yīng)學(xué)生，隨學(xué)生的思路適時調(diào)整自身的教學(xué)設(shè)計，這樣的課堂往往能收到意想不到的效果.

在案例2的第①小題中，學(xué)生提出了“數(shù)列{an}的通項為an=4n-3(n∈N*)，數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列.”，此時教師不應(yīng)該簡單應(yīng)付，而要從“數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性”出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進行驗證，并從規(guī)范性要求對學(xué)生提出建議.教師可作如下引導(dǎo)：

①等差數(shù)列的通項公式具有“an=An+B(A，B為常數(shù))”的形式，但反過來對不對呢？

②等差數(shù)列的定義是怎樣的，要證{an}是等差數(shù)列，需要證明什么？

③等差數(shù)列定義中的關(guān)健詞是“從第二項起”，所作差項如何體現(xiàn)？

在學(xué)生驗證了an+1-an是一個常數(shù)后，肯定學(xué)生的判斷是正確的，此時再次提醒這僅僅是一個正確的判斷但在具體解題過程中不能依此作為判斷的依據(jù).

通過學(xué)生親身體驗和對一般結(jié)論的驗證可以使學(xué)生對等差數(shù)列通項公式的本質(zhì)有非常清晰的認(rèn)識，對學(xué)生嚴(yán)密性思維的培養(yǎng)也非常有利，尤其值得提醒的是學(xué)生在這樣的對話中感受到了自身的“偉大”，從而提升了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺性、提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，而這正是我們所期望看到的結(jié)果.

5.精設(shè)問題，在導(dǎo)問中孕育“生成”

課堂教學(xué)離不開問題，如果精彩的導(dǎo)入能激起學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的話，那么適切而又有趣的問題往往能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.教學(xué)過程中如果我們能根據(jù)教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)置好問題情境，讓學(xué)生在探索教師創(chuàng)設(shè)的問題情境或者與同伴的相互交流中尋找新的問題、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在這過程中我們往往會得到一些意料之外的新的生成結(jié)果.

有這么一個案例：在一次聽課時聽到一位教師在分析如下一條題目：

下面是一段課堂實錄.

學(xué)生：它是一個變量

教師：很好，但能不能告訴我這個變量受什么量的影響？

學(xué)生：a

學(xué)生：用a表示m,n，并求出a的范圍，再用函數(shù)最值的思想求解.

教師：怎么用a表示m,n？

學(xué)生：只要假設(shè)a是已知的，求出m,n就可以了.

我們可以發(fā)現(xiàn)：師生的解題思路都很清晰，但是在實際求解過程中發(fā)現(xiàn)要用a表示m比較困難.要解決這個問題，就必須求解方程：ax=lnx，這對一個高中學(xué)生而言有難度！

由此可知，教師通過對最初預(yù)設(shè)的一步步追問，引導(dǎo)學(xué)生自主生成“消a”這一方法并通過對解題困境的分析及時變換思考切入點，最終發(fā)現(xiàn)原問題可以轉(zhuǎn)換成“條件最值”問題，使解題突破口得以顯現(xiàn).

結(jié)語

課堂教學(xué)是一個動態(tài)的過程，教學(xué)效率是預(yù)設(shè)和生成綜合作用的結(jié)果，沒有生成的課堂猶如一潭死水，當(dāng)然離開預(yù)設(shè)的生成也可能是天馬行空.著名教育家葉瀾教授曾說過這樣的話：“學(xué)生在課堂活動中的狀態(tài)，包括他們的學(xué)習(xí)興趣、積極性、注意力、學(xué)習(xí)方法與思維方式、合作能力與質(zhì)量、發(fā)表的意見、建議、觀點，提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等等，無論是以言語，還是以行為、情緒方式的表達，都是教學(xué)過程中的生成性資源.”，只有在精心預(yù)設(shè)同時充分關(guān)注學(xué)生精神成長的課堂才能使“生成”真正生成，也只有當(dāng)教師充分利用好即時生成的資源，才能使課堂充滿智慧.