王愛軍

(江蘇省姜堰中學(xué)　225500)

1　問題的提出

高中數(shù)學(xué)解題中，同學(xué)們常常會碰到“雙變問題”，不少同學(xué)面對雙重壓力，心慌氣短、手忙腳亂，誤打瞎撞，錯誤率極高.“如果只有一個‘量’在變，我還能勉強(qiáng)應(yīng)付，但對于兩個‘量’都在變，我往往顧此失彼，暈頭轉(zhuǎn)向……”(學(xué)生語).波利亞在《怎樣解題》一書中指出，弄清問題”是實(shí)現(xiàn)成功解決問題的第一步.現(xiàn)在，我們面臨的問題是如何基于學(xué)生“單變尚可，雙變犯難”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)突破？

2　突破：“二”即是“一”

數(shù)學(xué)來源于生活，提煉于生活，并引領(lǐng)著生活，那么我們能否從生活中尋找雙變問題的解題靈感呢？其實(shí)，雙變問題無異于“腳踩兩只船”，顧此失彼，情理之中，要獨(dú)善其身必須用心專一、從一而終，基于這種想法，解決雙變問題不也可采取“我的眼里只有你”的策略，專攻其一，逐個突破，拾級而上嗎？即所謂“二便是一”.下面就以高中數(shù)學(xué)中的幾個典型的雙變問題加以闡述.

2.1　雙變量問題： 退“二”進(jìn)“一”，以退為進(jìn)

2.1.1主元思想：視“二”為“一”

題1若不等式bx+c+9lnx≤x2對任意的x∈(0,+∞),b∈(0,3)恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

分析本題中涉及兩個變元，在處理的過程中應(yīng)先以一個較為容易研究的變量為主元構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，通過研究此函數(shù)的性質(zhì)來解決問題，所以首先選擇b為主元來研究問題.

點(diǎn)評視“二”為“一”的主元思想突顯了“腳踩兩只船”時，優(yōu)選順序，逐一突破的“減元”的解題策略.

2.1.2整體思想：化“二”為“一”

令u′=0得t=4，且t∈(0,4)時，u′>0；

t∈(4,+∞)時，u′<0.

無論是化“二”為“一”的整體思想，還是視“二”為“一”的主元思想都采取的是退二進(jìn)一的轉(zhuǎn)化策略，實(shí)現(xiàn)了雙變量到單變量的有效轉(zhuǎn)化．當(dāng)然，處理二元變量問題有時也可直接借助不等式或幾何知識來解決，比如線性規(guī)劃問題就是利用圖解法解決二元變量最值問題的一類題型，它是把代數(shù)形式的二元變量轉(zhuǎn)化成一種圖形語言加以處理，從這個角度來說，也就實(shí)現(xiàn)了“二即是一”.當(dāng)然，本題也可借助不等式或幾何知識來解決.

2.2　雙動點(diǎn)問題：動靜變換、以靜制動

分析此題涉及雙動點(diǎn)，要突破“雙動”，首先必須以靜制動，化“雙”為“單”，然后再各個擊破.

圖1

點(diǎn)評“雙動點(diǎn)”問題可以通過先將動點(diǎn)1視為定點(diǎn)研究出動點(diǎn)2運(yùn)動時所求問題的最值1，然后再處理動點(diǎn)2運(yùn)動時最值1的最值，從而最終得出所求問題的最值，其解題策略是視動為靜，化“雙動”為“單動”，再逐一突破，最后利用函數(shù)知識或幾何性質(zhì)求出“雙動點(diǎn)”問題的最值.

2.3　“雙層”最值問題：抽絲剝繭、內(nèi)外兼修

題4函數(shù)f(x)滿足f(x)=x2-2(a+2)·x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}(max(p,q)表示p,q中的較大值，min(p,q)表示p,q中的較小值)，記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A-B=________.

分析本題要求兩個函數(shù)值中的較大者(或較小者)中的最值，其解題策略是厘清層次，由內(nèi)到外，抽絲剝繭，我們只需先求出H1(x)=max{f(x),g(x)}、H2(x)=min{f(x),g(x)}的表達(dá)式或函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)及其圖像分別求出它們的最值A(chǔ)、B.

解令h(x)=f(x)-g(x)

=x2-2(a+2)x+a2-[-x2+2(a-2)x-a2+8]

=2x2-4ax+2a2-8

=2(x-a)2-8.

①由h(x)=0得2(x-a)2-8=0，解得x=a±2，此時f(x)=g(x)；

②由h(x)>0，解得x>a+2,或xg(x)；

③由h(x)<0，解得a-2

綜上可知：

作出函數(shù)H1(x)、H2(x)的圖像(如圖2)，結(jié)合圖像易得

A=g(a+2)=-[(a+2)-(a-2)]2-4a+12

=-4a-4，

B=g(a-2)=-4a+12,

所以A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16.

圖2

點(diǎn)評“雙層”最值問題可以通過由內(nèi)到外分層研究對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)，即先求出“內(nèi)層”函數(shù)的最值，得到“外層”函數(shù)，從而最終構(gòu)建了目標(biāo)變量的函數(shù)，利用函數(shù)知識解決問題.“雙層”最值問題的解題策略是循序漸進(jìn)、分層實(shí)施、逐次突破.

點(diǎn)評“雙層”最值問題也可以通過分層構(gòu)建目標(biāo)變量的不等關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)求出“雙層”問題的最值.

高中數(shù)學(xué)中涉及到的雙變問題不僅僅有雙變量、雙動點(diǎn)、雙層最值等問題，還常涉及以下雙變問題：

(1)雙向問題：鎖定方向、擇一而終

題6A、B、C、D、E五人站成一圈傳球，每人只能傳給他的鄰人(左、右不限)，求A傳出(算第一次)后經(jīng)過十次傳球又回到A的概率.

(2) 雙重“身份”問題：整二合一

題7已知等差數(shù)列{an}中，a3=2,a5=6，若正整數(shù)n1,n2,…,nt,…(t∈N*)滿足5

(3) 雙限問題：①去雜法：無“限”馳騁、鋤“奸”務(wù)盡②直接法：突出主次、先后兼顧

題8有5人排成一排，要求其中甲不排在排頭且乙不排在排尾，則有多少不同的排法？

(4)雙時(約會)問題：構(gòu)建幾何模型

題9甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭.假設(shè)它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達(dá)碼頭是等可能的.如果甲船的停泊的時間是2小時，乙船停泊的時間是1小時，求兩船到達(dá)碼頭均不需要等待碼頭空出的概率.

(5)雙段(分段)函數(shù)問題：先分后合、合二為一

(6)雙層復(fù)合問題

(7)二項分布問題

題12某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次，求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差.

“不斷地變換你的問題”、“我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.”(波利亞)事實(shí)上，無論是哪種雙變問題，我們一般都可以采用明確主次，變“二”為“一”，逐次突破的理念加以解決，其所謂“二即是一”.

3　溯源：“二”生長于“一”

雙變問題源自單變，尚若在單變問題中，我們動靜變換，化靜為動，或者定變互換，化定為變，那單變就生長為雙變，有時甚至也可直接由單變生長為雙變.

題13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為()

本題是2007年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷選擇題壓軸題.據(jù)高考試卷命題組后來發(fā)布的命題情況說明了解到，本題就是由如下問題“生長”而來.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域A的面積為()

4　結(jié)語:“二”即是“一”，和諧統(tǒng)一

“二即是一”，其要義包含兩個層面：一、雙變問題的突破，其本質(zhì)就是有效實(shí)現(xiàn)雙變至單變的轉(zhuǎn)化，達(dá)到未知到已知的飛躍；二、追根溯源，雙變問題由單變孕育、生長而來.因此，“二”從“一”中來，必要回到“一”中去，“二”即是“一”，和諧統(tǒng)一.著名的數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”.數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程.因此，當(dāng)我們面對“雙變”問題的挑戰(zhàn)時，我們不必驚慌失措，也不必“腳踩兩只船”，我們只需把持“重心”，采取變“二”為“一”的消元策略，實(shí)現(xiàn)由“雙變”到“單變”的有效轉(zhuǎn)化，從而不難達(dá)到解決此類問題的目的.可以說，“兩面”，何須三刀？以思想的“快刀”宰亂麻足矣！

數(shù)學(xué)來自生活，作用于生活，引領(lǐng)著生活.雙變問題的突破也啟示著同學(xué)們：當(dāng)人生中，面對紛繁復(fù)雜的挑戰(zhàn)時，我們應(yīng)當(dāng)厘清主次，抓住矛盾的主體，排除干擾，集中力量解決好問題的最主要矛盾，進(jìn)而逐一突破，實(shí)現(xiàn)成功.因此，引領(lǐng)學(xué)生突破雙變問題，其既是知識的傳授，也是思想的啟發(fā)，更是學(xué)會生活的啟迪.這難道不就是我們數(shù)學(xué)教育追求的最本質(zhì)、最重要的價值嗎？