李紅云　朱文芳　伍春蘭　張淑梅

(1.北京師范大學(xué)　100875；2. 北京教育學(xué)院　100120)

1　問(wèn)題提出

用頻率估計(jì)概率是中學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的重要內(nèi)容之一，對(duì)頻率與概率關(guān)系的認(rèn)識(shí)是理解概率意義、體會(huì)隨機(jī)性的重要載體，是理解統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ). 然而通過(guò)對(duì)一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行訪(fǎng)談、學(xué)生調(diào)查及我們聽(tīng)過(guò)很多頻率估計(jì)概率的課，發(fā)現(xiàn)存在一些問(wèn)題：①不做隨機(jī)試驗(yàn):由于考試評(píng)價(jià)或教師自身對(duì)頻率穩(wěn)定性并不理解等原因，實(shí)際教學(xué)中并不講這個(gè)內(nèi)容，以投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣為例，當(dāng)出現(xiàn)正面向上次數(shù)不等于背面向上次數(shù)時(shí)，教師往往不知如何向?qū)W生解釋?zhuān)虎谠囼?yàn)設(shè)計(jì)引起誤解：在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)：一列不斷增加的試驗(yàn)次數(shù)所對(duì)應(yīng)頻率的“規(guī)律性”，并直接用教材中的總結(jié)語(yǔ)言“隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率總是或都在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即頻率具有穩(wěn)定性”來(lái)解釋?zhuān)菀讓?dǎo)致學(xué)生的誤解：頻率穩(wěn)定到一個(gè)常數(shù)是確定的事情. 這也與我們對(duì)學(xué)生調(diào)查的結(jié)果一致：硬幣正面向上次數(shù)為43，背面向上次數(shù)為37時(shí)，很多學(xué)生都認(rèn)為正面向上、背面向上可能性不同；③初高中隨機(jī)試驗(yàn)發(fā)展：初、高中都有用頻率估計(jì)概率，兩個(gè)學(xué)段的側(cè)重點(diǎn)是什么？發(fā)展點(diǎn)是什么？也是一線(xiàn)教師存在困惑的地方.

那么如何理解頻率穩(wěn)定性？設(shè)計(jì)什么試驗(yàn)活動(dòng)能讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)性、頻率的穩(wěn)定性？初、高中兩個(gè)學(xué)段的側(cè)重點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)是什么呢？綜合上述分析和思考，中學(xué)階段“用頻率估計(jì)概率”活動(dòng)設(shè)計(jì)中，既要考慮學(xué)科性，又要兼顧兩個(gè)學(xué)段的銜接發(fā)展問(wèn)題. 從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們嘗試給出兩個(gè)學(xué)段活動(dòng)的改進(jìn)設(shè)計(jì)，并分析如何能夠?qū)崿F(xiàn)其教學(xué)目標(biāo).

2　頻率穩(wěn)定性的學(xué)科解釋

大量關(guān)于隨機(jī)事件的觀察和實(shí)踐表明[1]，隨機(jī)事件有偶然性的一面，也有必然性的一面. 必然性表現(xiàn)為在大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定性，即一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率常在某個(gè)固定的常數(shù)附近擺動(dòng)，頻率的穩(wěn)定性說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是隨機(jī)事件本身固有的、不隨人的意志改變的一種客觀屬性，可以對(duì)其進(jìn)行度量. 當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，可以用頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值，經(jīng)常稱(chēng)之為概率的統(tǒng)計(jì)定義. 這里的頻率穩(wěn)定性是直觀的說(shuō)法，其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義是用大數(shù)定律[2]來(lái)描述的：

設(shè)μn是n重貝努里試驗(yàn)*一般的，如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果A和非A，把這個(gè)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次構(gòu)成一個(gè)試驗(yàn)，稱(chēng)做n重貝努里試驗(yàn).中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(00，有

這里體現(xiàn)了偶然性和必然性的統(tǒng)一：必然性或穩(wěn)定性是通過(guò)極限進(jìn)行刻畫(huà)的，與數(shù)學(xué)的極限不同，極限的對(duì)象是事件的概率序列. 而如(**)式則表達(dá)的則是數(shù)學(xué)的極限：即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率的極限為概率p，顯然是不對(duì)的. 事實(shí)上即使試驗(yàn)次數(shù)非常大，頻率值仍然有可能和p相差很大.

3　用頻率估計(jì)概率改進(jìn)活動(dòng)設(shè)計(jì)*為了更直觀說(shuō)明，活動(dòng)設(shè)計(jì)中使用了隨機(jī)模擬的數(shù)據(jù).

義務(wù)教育階段[3]要求“知道通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率”，高中階段要求[4]“結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率；加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解. ”基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求及教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的問(wèn)題，我們給出中學(xué)階段用頻率估計(jì)概率兩個(gè)核心點(diǎn)的改進(jìn)活動(dòng)設(shè)計(jì)：一是試驗(yàn)隨機(jī)性，二是大量重復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定性，活動(dòng)設(shè)計(jì)既體現(xiàn)頻率穩(wěn)定性的學(xué)科理解，又考慮兩個(gè)學(xué)段的銜接.

3.1　試驗(yàn)隨機(jī)性活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)試驗(yàn)隨機(jī)性初中活動(dòng)設(shè)計(jì)

以?huà)仈S一枚質(zhì)地均勻的硬幣為載體，進(jìn)行改進(jìn)活動(dòng)的設(shè)計(jì).

在平整桌面上，全班分成10組進(jìn)行拋擲硬幣試驗(yàn)：盡量保持相同條件拋擲一枚硬幣10次，并記錄下“正面向上”的次數(shù)與頻率；將全班所有組的結(jié)果進(jìn)行匯總，填入表1.

表1

問(wèn)題1比較10個(gè)小組得到的“正面向上”試驗(yàn)結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？

問(wèn)題2試驗(yàn)次數(shù)增加，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？

活動(dòng)分析問(wèn)題1通過(guò)比較10個(gè)小組的試驗(yàn)結(jié)果，體會(huì)相同條件下做同一隨機(jī)試驗(yàn)，每組結(jié)果不一定相同；試驗(yàn)結(jié)果不一定等于理論值0.5，只有三個(gè)組正面向上的頻率等于0.5；盡管10個(gè)小組得到的結(jié)果可能不同，但能從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，如所有頻率都圍繞0.5上下波動(dòng). 問(wèn)題2在繼續(xù)做試驗(yàn)之前提出猜想“隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)更加接近理論值0.5”，這也正是上文中提到的數(shù)學(xué)化的理解，事實(shí)上這只是一個(gè)隨機(jī)事件，帶著猜想進(jìn)入下一步的試驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn).

(2)試驗(yàn)隨機(jī)性高中活動(dòng)設(shè)計(jì)

高中階段建議使用信息技術(shù)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，我們使用Excel進(jìn)行拋擲硬幣模擬試驗(yàn)：拋擲一枚硬幣40次，記錄下“正面向上”的次數(shù)與頻率；重復(fù)進(jìn)行30組(表2)，并用散點(diǎn)圖直觀呈現(xiàn)(圖1).

表2

圖1

問(wèn)題1比較30組“正面向上”試驗(yàn)結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？

問(wèn)題2根據(jù)這30組試驗(yàn)結(jié)果判斷“正面向上”的概率是否為0.5？

活動(dòng)分析問(wèn)題1通過(guò)比較30組的試驗(yàn)結(jié)果，體會(huì)相同條件下做隨機(jī)試驗(yàn)，每組結(jié)果不一定相同；30組正面向上頻率只有4組恰好等于0.5，也有可能和0.5相差很遠(yuǎn)，如第29次為0.28；盡管30組得到的結(jié)果可能不同，但能從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律：所有頻率都圍繞0.5上下波動(dòng)，很多頻率值和理論值0.5很接近. 問(wèn)題2從數(shù)據(jù)推斷的角度提出問(wèn)題，以多個(gè)角度對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并做出判斷，初步體會(huì)并不一定頻率正好等于0.5才能給出“正面向上”的概率是0.5，豐富對(duì)試驗(yàn)隨機(jī)性的認(rèn)識(shí).

3.2　頻率穩(wěn)定性活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)頻率穩(wěn)定性初中活動(dòng)設(shè)計(jì)

分10組做40次擲硬幣的試驗(yàn)，并將試驗(yàn)前10次、前20次、前30次、總40次的數(shù)據(jù)記錄在表3.

表3

整理每個(gè)小組的試驗(yàn)結(jié)果，并將試驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總填入表4—7：

表4

表5

表6

表7

為了更直觀觀察，將表4—7的數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表示(圖2—5).

圖2

圖3

圖4

圖5

問(wèn)題1在同一小組的試驗(yàn)中，觀察 “正面向上”的頻率(表3)隨試驗(yàn)次數(shù)增加有何變化？

問(wèn)題2觀察不同小組在相同試驗(yàn)次數(shù)下

“正面向上”的頻率(表4-7)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

問(wèn)題3在圖2-5中，觀察不同試驗(yàn)次數(shù)下 “正面向上”頻率的波動(dòng)性，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

活動(dòng)分析問(wèn)題1指向頻率不確定性及穩(wěn)定性初步體會(huì)：認(rèn)識(shí)到隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率不一定更接近于理論值0.5，如第1組四個(gè)結(jié)果：0.7、0.5、0.57、0.58，初步體會(huì)頻率與概率的區(qū)別；問(wèn)題2進(jìn)一步體會(huì)試驗(yàn)的隨機(jī)性，依次觀察四個(gè)不同試驗(yàn)次數(shù)下10組結(jié)果，試驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)正面向上的頻率不一定相同；問(wèn)題3體會(huì)頻率穩(wěn)定性：將不同試驗(yàn)次數(shù)下“頻率的波動(dòng)性”作為觀察對(duì)象，分別觀察試驗(yàn)次數(shù)為10、20、30和40的頻率波動(dòng)大小(圖2-5)：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，直觀感受頻率的波動(dòng)性越來(lái)越小.進(jìn)一步從定量角度刻畫(huà)頻率的波動(dòng)性，可計(jì)算四個(gè)不同實(shí)驗(yàn)次數(shù)下10組結(jié)果與理論值0.5的平均絕對(duì)距離進(jìn)行比較，分別為0.09、0.06、0.036、0.049，由直觀感受到量化分析.

活動(dòng)設(shè)計(jì)與給出一列增加的試驗(yàn)次數(shù)下頻率規(guī)律變化是不同的，以上述數(shù)據(jù)為例，將所有組40次試驗(yàn)次數(shù)的結(jié)果累計(jì)并用折線(xiàn)圖表示出來(lái). 一列增加的試驗(yàn)次數(shù)下頻率的變化趨勢(shì)，即使教師在教學(xué)過(guò)程中并沒(méi)有使用語(yǔ)言“一定”、“必然”等，給學(xué)生的直觀印象仍然是隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率穩(wěn)定于概率是必然的(表8、圖6).

表8

圖6

(2)頻率穩(wěn)定性高中活動(dòng)設(shè)計(jì)

高中階段頻率穩(wěn)定性的體會(huì)，我們?cè)O(shè)計(jì)了兩個(gè)層次的活動(dòng)：活動(dòng)1是將“40次拋硬幣”的組數(shù)增加，初步體會(huì)將“40次拋硬幣”作為研究對(duì)象，當(dāng)組數(shù)增多時(shí)更有“規(guī)律”；活動(dòng)2是延續(xù)初中隨機(jī)試驗(yàn)，從研究工具進(jìn)行發(fā)展，特別是使用分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

活動(dòng)1觀察多組隨機(jī)試驗(yàn)的頻率穩(wěn)定性

問(wèn)題1根據(jù)這30組試驗(yàn)結(jié)果得到的頻率，硬幣正面向上、背面向上的可能性一樣大嗎？

問(wèn)題2如果再增加組數(shù)，隨機(jī)試驗(yàn)頻率結(jié)果會(huì)有什么變化和規(guī)律？

活動(dòng)分析高中階段將在初中階段基礎(chǔ)上，將同一隨機(jī)試驗(yàn)下隨機(jī)事件發(fā)生的頻率作為觀測(cè)數(shù)據(jù)，并通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)頻率的取值規(guī)律，這是一個(gè)重要的發(fā)展點(diǎn)．高中生已經(jīng)掌握了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差等統(tǒng)計(jì)量，并可以用頻率分布直方圖表示數(shù)據(jù)，所以可以利用這些知識(shí)對(duì)同一隨機(jī)試驗(yàn)下隨機(jī)事件發(fā)生的頻率進(jìn)行分析，這是研究工具的發(fā)展. 問(wèn)題1可以利用多種統(tǒng)計(jì)方法分析數(shù)據(jù)，體會(huì)頻率的特征：比如這組數(shù)據(jù)平均數(shù)為0.49、中位數(shù)為0.515等、從頻率分布直方圖*直方圖分組以0.5為中心，這里選擇了0.06作為組距．(圖7)可以看到大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在[0.47,0.53)、數(shù)據(jù)分布不太對(duì)稱(chēng)等.問(wèn)題2在更多組數(shù)據(jù)下，體會(huì)“頻率”分布的相對(duì)穩(wěn)定性，這里給出60組隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)為40的頻率分布直方圖(圖8)，比較圖7和圖8發(fā)現(xiàn)：試驗(yàn)組增多時(shí)數(shù)據(jù)分布更加對(duì)稱(chēng)，更多數(shù)據(jù)集中在理論值0.5附近.

圖7

圖8

活動(dòng)2觀察不同試驗(yàn)次數(shù)下頻率的穩(wěn)定性

問(wèn)題組數(shù)不變，試驗(yàn)次數(shù)增加，分析頻率的取值規(guī)律，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

活動(dòng)分析初中階段主要通過(guò)直觀方式初步認(rèn)識(shí)頻率的穩(wěn)定性，高中階段將在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用初中學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)據(jù)整理和分析的方法進(jìn)一步從定量、數(shù)據(jù)分布角度理解頻率的穩(wěn)定性，特別是從頻率分布角度整體分析數(shù)據(jù). 問(wèn)題1是在活動(dòng)1分析“同一隨機(jī)試驗(yàn)下隨機(jī)事件發(fā)生的頻率”這組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上比較不同試驗(yàn)次數(shù)的兩組數(shù)據(jù)，可以從集中趨勢(shì)、離散程度等角度定量比較兩組頻率數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性；也利用直方圖整體認(rèn)識(shí)穩(wěn)定性，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)推斷的可靠性.這里給出30組試驗(yàn)次數(shù)為60的頻率分布直方圖(圖9)，為方便比較，與圖7縱坐標(biāo)、分組情況是一致的.可以看出隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，分布更加對(duì)稱(chēng)和集中，偏離0.5的值較少；以(0.5-0.09，0.5+0.09)為標(biāo)準(zhǔn)，試驗(yàn)次數(shù)為40和60落入該區(qū)間的比例分別為76.67%、93.33%，可以看出當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為60時(shí)落在該區(qū)間的比例明顯大于試驗(yàn)次數(shù)為40的，然而，落入?yún)^(qū)間(0.5-0.03，0.5+0.03)的比例則分別有43.33%、36.67%，試驗(yàn)次數(shù)為40次時(shí)落入這個(gè)區(qū)間的比例反而更大，原因是這是一次樣本的結(jié)果，具有偶然性，教學(xué)中建議多進(jìn)行幾次試驗(yàn)，觀察其規(guī)律．這樣就將頻率穩(wěn)定性由初中的直觀認(rèn)識(shí)過(guò)渡到定量刻畫(huà),在此基礎(chǔ)

圖9

上理解大量重復(fù)試驗(yàn)下頻率估計(jì)概率的合理性與可靠性.

4　小結(jié)及進(jìn)一步思考

用頻率估計(jì)概率是中學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率重要內(nèi)容之一，很多一線(xiàn)教師對(duì)初中、高中兩個(gè)階段該內(nèi)容的銜接和發(fā)展并不清楚，僅通過(guò)一列隨著試驗(yàn)次數(shù)增加感受頻率穩(wěn)定性的活動(dòng)設(shè)計(jì)不利于培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維.

我們從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析角度解釋了大量重復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定性的含義，并對(duì)初中、高中頻率與概率關(guān)系的關(guān)鍵活動(dòng)進(jìn)行了系列設(shè)計(jì)，核心觀點(diǎn)一是體會(huì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，通過(guò)比較相同試驗(yàn)次數(shù)下的重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果體會(huì)隨機(jī)性；核心觀點(diǎn)二是通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生理解頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)而理解用頻率估計(jì)概率的合理性和可靠性；核心觀點(diǎn)三是高中階段的關(guān)鍵發(fā)展是研究工具的發(fā)展，特別是使用頻率分布直方圖進(jìn)行分析，由初中階段直觀感受頻率穩(wěn)定性到高中階段從定量角度刻畫(huà)，進(jìn)而理解大量重復(fù)試驗(yàn)下頻率估計(jì)概率的合理性與可靠性.

進(jìn)一步，除了內(nèi)容理解、研究工具之外，根據(jù)學(xué)生發(fā)展水平，我們建議在高中階段讓學(xué)生參與到問(wèn)題提出、試驗(yàn)活動(dòng)方案設(shè)計(jì)、提出猜想、驗(yàn)證的全過(guò)程. 本文所給出的活動(dòng)設(shè)計(jì)能否克服學(xué)生對(duì)頻率穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)化、確定性理解，初中、高中階段定位及銜接是否合理，高中階段學(xué)生能否實(shí)現(xiàn)對(duì)研究對(duì)象的多角度認(rèn)識(shí)等，都需要進(jìn)行學(xué)生研究和教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn).