陳傳熙

(浙江省玉環(huán)中學(xué)317600)

面對高考的重壓，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的常見做法是壓縮知識教學(xué)，進(jìn)行“刷題”式訓(xùn)練，這在一定程度上提高了學(xué)生的成績．但長此以往，學(xué)生的學(xué)習(xí)逐漸趨于機(jī)械，思維會變得僵化．試問，學(xué)生畢業(yè)后能用數(shù)學(xué)的思維方式來處理問題嗎？是否真正具備了一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？誠然，解題可以培養(yǎng)能力，但用來培養(yǎng)素養(yǎng)就顯得狹窄了．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成，需要時時處處、潛移默化的滲透與浸潤，需要學(xué)生日常的自主體驗與思想感悟，這應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的真正立足點.

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，必須要重新審視高中數(shù)學(xué)教學(xué)，削減“會做題才是硬道理”的取向，打破“例題講解+模仿練習(xí)”的呆板方式．從而，進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)改進(jìn)，注重對數(shù)學(xué)概念、問題、方法、思想的整體認(rèn)識、系統(tǒng)思維、過程體驗與心靈感悟，真正提高學(xué)生的思維與素養(yǎng)水平，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)地分析、表達(dá)和解決問題的能力，回歸數(shù)學(xué)教育的本來面目．為此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計應(yīng)注意數(shù)學(xué)的整體性與知識的過程性并重，方法的一般化與思維的自然化并行，思維的系統(tǒng)性與思想的滲透性并軌，從教師與學(xué)生這兩個層面入手進(jìn)行改進(jìn)，不斷強(qiáng)化學(xué)生的過程體驗與思想感悟.

1　以教師為主導(dǎo)的層面

在平時，許多教師只是就一節(jié)課而備課、上課，缺乏教學(xué)的整體性設(shè)計．這種情況將導(dǎo)致學(xué)生的知識不成系統(tǒng)，也頗為零碎，相關(guān)的體驗至多是一些片斷，感悟可能就談不上了．因此，從以教師為主導(dǎo)的層面上來說，教師必須要把握好整體與過程、全局與部分的關(guān)系.

1.1　內(nèi)容的整體性設(shè)計

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要有一個整體觀、大局觀，不能“只見樹木，不見森林”．因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計要有大局意識，大到整個數(shù)學(xué)分支，中到一個章節(jié)，小到每一節(jié)課.

1.1.1縱覽整個分支

高中數(shù)學(xué)主要涉及函數(shù)、三角學(xué)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率等若干重要的數(shù)學(xué)分支．每個分支均有若干章，這些章節(jié)前后聯(lián)系，渾然一體．因此，對這些章節(jié)的教學(xué)設(shè)計應(yīng)整體把握、通盤考慮，既要關(guān)注各章的地位與作用，又要注意相應(yīng)知識的延伸與埋伏，逐步推進(jìn)，螺旋上升.

如何體會“統(tǒng)計”“概率”“計數(shù)原理”“隨機(jī)變量及其分布”這四章內(nèi)容的安排用意？通過統(tǒng)計方法的比較、選擇，可初步體會不確定性思維．通過具體操作感悟事件發(fā)生的不確定性，從中體會隨機(jī)思想．在古典概型中體會事件發(fā)生的等可能性，進(jìn)而在運算中理解計數(shù)原理的一般性與排列組合的特殊性．通過隨機(jī)試驗結(jié)果的數(shù)量化及計數(shù)原理的應(yīng)用，體會隨機(jī)現(xiàn)象的分布規(guī)律．事實上，上述四章內(nèi)容的整體主線就是研究隨機(jī)現(xiàn)象，從中體會不確定性思維.

1.1.2縱貫全章各節(jié)

每個章節(jié)自成一個整體．要把每節(jié)課都納入到整體中去研究與設(shè)計，包括背景、基本思想與方法、基本視角與思維等．從而，各個知識點(概念、方法、思想)成為整個構(gòu)架下的因子，學(xué)生的學(xué)習(xí)可形成一個有機(jī)整體．一個章節(jié)的設(shè)計，可基于整體的發(fā)展脈絡(luò)，進(jìn)行統(tǒng)籌安排、前后串聯(lián)，從而構(gòu)成一條教學(xué)鏈，其中的思想方法也一脈相承.

從源頭上來說，計數(shù)就是通過一個一個地數(shù)(列舉、枚舉)來確定總數(shù)．但面對一個復(fù)雜的計數(shù)問題時，運用列舉法就過于繁難了．為此，需要運用一些方法，動用一點技巧．將復(fù)雜問題逐步分解，將綜合問題化解為單一問題的組合，再對單一問題各個擊破，即可達(dá)到以簡馭繁、化難為易的效果[1]．兩個計數(shù)原理就充分體現(xiàn)了這一點，它們是處理計數(shù)問題的兩種基本思想方法．而排列、組合只是兩個計數(shù)原理在實際運用中產(chǎn)生的兩個重要模型，二項式定理可視為兩個計數(shù)原理的一個典型應(yīng)用．它們的學(xué)習(xí)與應(yīng)用都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的基本思想，其目的在于簡化運算.

1.1.3把握整節(jié)內(nèi)容

每一節(jié)課也自成一個小整體．要把握相關(guān)知識在整個系統(tǒng)中的位置，為知識的結(jié)構(gòu)化與網(wǎng)絡(luò)化奠定基礎(chǔ)．要了解知識的發(fā)生、發(fā)展的歷史軌跡，實現(xiàn)知識的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造．挖掘知識背景，可從章引言、數(shù)學(xué)發(fā)展史、原有認(rèn)知或?qū)嶋H素材入手，也可結(jié)合講座與選修課程進(jìn)行延伸教學(xué).

在“計數(shù)原理”中，為什么安排二項式定理的學(xué)習(xí)？從歷史上來看，二項展開式的系數(shù)表最早由北宋的賈憲用來求解特殊的高次方程，后由南宋楊輝轉(zhuǎn)錄，史稱“楊輝三角”，比法國帕斯卡的發(fā)現(xiàn)早了500年左右．從知識系統(tǒng)上來看，它是計數(shù)原理與計數(shù)公式的一個應(yīng)用，組合數(shù)的性質(zhì)在“楊輝三角”中有充分的體現(xiàn)．隨機(jī)變量的二項分布是該定理的直接應(yīng)用，高爾頓釘板試驗與正態(tài)分布更是其方法的延伸．從學(xué)生認(rèn)知來看，它是初中多項式乘法的特殊化．從生活實際來看，一些最佳路線問題中也有其應(yīng)用.

1.2　知識的精品化處理

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也必須要關(guān)注細(xì)節(jié)，不能“只見森林，不見樹木”．為了落實四基，必須要基于學(xué)生實際，并提供充分的探索、思考、理解、體會、感悟的時間與空間．要在概念探索與問題演繹上用心設(shè)計，在學(xué)生的探索與引導(dǎo)上耐心啟發(fā)，在問題的安排與求解上精心選擇與調(diào)控.

1.2.1教學(xué)定位要精準(zhǔn)

為了學(xué)生獲得切身的體驗與感悟，必須要符合知識的整體要求，貼近學(xué)生的基礎(chǔ)與生活實際，從實際認(rèn)知水平出發(fā)設(shè)計教學(xué)．在平時，許多老師的教學(xué)難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生的認(rèn)知水平，導(dǎo)致學(xué)生枉做了很多難題，其思維能力卻無實質(zhì)性的提高.

在“計數(shù)原理”的教學(xué)中，要注意例習(xí)題的典型運用，控制問題的難度與數(shù)量，注重求解的一般性思維，從中培養(yǎng)基本技能．尤其要注意，排列、組合不是計數(shù)問題的全部，它們只是兩個計數(shù)原理應(yīng)用的特例，兩個計數(shù)原理才是解決計數(shù)問題的基本思想方法．否則，以排列組合為先鋒，典型難題狂轟爛炸，弄得學(xué)生疲于奔命，無奈、厭煩、發(fā)愣、恐懼者有之，而基礎(chǔ)題卻錯誤依然.

1.2.2概念教學(xué)要精致

眾所周知，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之一．在現(xiàn)實中，壓縮概念教學(xué)的現(xiàn)象比比皆是，這極大影響了學(xué)生對概念的本質(zhì)理解和思想滲透．為此，章建躍先生提出了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的七步曲，包括背景引入、典型例證、本質(zhì)概括、下定義、概念辨析、概念判斷、概念精致等，其中的核心是“概括”．在這個過程中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理幾乎貫穿整個過程，直觀想象、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模、基本運算間或有之．真正的概念學(xué)習(xí)過程也是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷形成、發(fā)展的過程.

排列概念的學(xué)習(xí)可按“七步曲”展開．一是基于上一節(jié)教材[2]例題中的重復(fù)性處理(如何簡化運算？可形成認(rèn)知沖突)引入2～3個背景，運用形的思維(樹形圖)直觀處理．二是讓學(xué)生仿照上述背景舉例，形成豐富例證(若例子不對，可延伸至辨析與判斷環(huán)節(jié))，進(jìn)行類似地分析與比較．三是概括出其中蘊(yùn)含的基本思想與工具——分步乘法計數(shù)原理，其本質(zhì)屬性就是有序．四是將上述各例一般化為元素的敘述方式，并推廣至一般情形，給排列下定義，并給出排列數(shù)的概念與符號表示．五是從不同例子的列舉中歸納出排列的特征，體會元素與順序的重要性，進(jìn)一步領(lǐng)悟“序”的意義．六是結(jié)合不同例子(如教材例3、和與差等)進(jìn)行判斷，體會“序”的關(guān)鍵性，了解還有許多有序的問題并不是排列問題(感受到排列問題只是一類特例)．七是先基于形的思維推導(dǎo)出排列數(shù)公式一，后基于數(shù)的運算推導(dǎo)出排列數(shù)公式二，再次體會排列的意義，分步達(dá)成概念的深加工．進(jìn)而，在教材例4的理解、分析與解決中，從分類、分步、反面等不同角度(其間都運用了排列模型)，讓學(xué)生從中真正領(lǐng)悟到排列只是計數(shù)原理的一種特殊應(yīng)用，完成概念的精致化.

1.2.3問題選擇要經(jīng)典

為了更好地理解知識與掌握方法，還需要選擇相關(guān)的問題進(jìn)行適時地應(yīng)用．這些問題應(yīng)立足于基礎(chǔ)又可靈活變式，既能覆蓋知識又具有方法的典型性，既能激發(fā)學(xué)生的思維又具有一定的探索性．問題的指向要明確，不求多只需精，要注重通性通法，必須給學(xué)生充足的時間去親身體驗.

學(xué)習(xí)排列的概念及其處理方法(需若干課時)，首先必須安排明確指向排列但背景不同的若干例題，讓學(xué)生在充分理解的基礎(chǔ)上正確求解，逐步掌握其相關(guān)模型．其次應(yīng)安排若干排列或似是而非(如組合、分步而非排列)的問題，在辨析中進(jìn)一步理解排列的意義，也可進(jìn)行變式處理．最后應(yīng)選取與排列相關(guān)的若干綜合問題，涉及不同的情境、角度與多種方法，求解時先突出排列的模型與方法，后應(yīng)基于兩個計數(shù)原理的思想框架進(jìn)行處理，從整體上突出方法的基礎(chǔ)性與靈活性.

2　在教師引導(dǎo)下的以學(xué)生體驗為主的層面

在以往，常見快速推進(jìn)的教學(xué)現(xiàn)象，學(xué)生由于來不及思考，只能被牽著鼻子走卻渾然不知所為．事實上，學(xué)生可以經(jīng)歷諸如比較分析、共性歸納、抽象概括、辨析判斷、問題探索、變式探求、數(shù)形轉(zhuǎn)換等真正的體驗過程，從中獲得一般性的研究方法，形成自然、合理、主動的數(shù)學(xué)思維.

2.1　研究的一般性方法

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該是在教師引導(dǎo)下的主動學(xué)習(xí)．如果學(xué)生能夠掌握一些數(shù)學(xué)研究的一般性方法，那么在學(xué)習(xí)過程中就能主動獲得知識、方法的體驗，才能達(dá)到更加深入的數(shù)學(xué)理解.

2.1.1學(xué)習(xí)的先行組織者

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一定的規(guī)律性，概念教學(xué)的“七步曲”就具有一般性．這些規(guī)律與方法具有先行組織者的作用，學(xué)生若能了解或掌握這些方法，就能將思維定向于重點知識，主動建立新知與舊知的聯(lián)系，進(jìn)而完成知識、方法系統(tǒng)的重新建構(gòu).

教材[2]的章引言中指出的“如何能不通過一個一個地數(shù)而確定出這個數(shù)”實質(zhì)上是研究計數(shù)問題的總體思路，這也是學(xué)習(xí)計數(shù)原理的先行組織者．但它在具體的研究中顯得不夠方便、不易操作. 為此，可將其轉(zhuǎn)化為“如何完成一件事情”的研究套路．不管解決什么計數(shù)問題，只要真正理解清楚“如何才算完成了這件事情”，那么運用分類還是分步、需要排列還是組合就水到渠成了．甚至對于二項式定理的學(xué)習(xí)也是如此，只要搞清“如何得到其中的一項”，則展開式也就容易出來了.

2.1.2研究的一般性思維

一般地，先行組織者可以是基本思想、通性通法、思維方式等，它能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加主動，更有針對性與目的性，學(xué)習(xí)也更為有效．在解題教學(xué)中，還要思考相關(guān)方法之間的聯(lián)系，比較其優(yōu)劣，考察方法的一般性推廣以及問題的本源性等，這些應(yīng)成為一般性的思維方法.

2.2　思維的合理化方式

數(shù)學(xué)的一個特征就是抽象性、符號化，但數(shù)學(xué)雖然抽象卻也是自然、形象的．另外，數(shù)學(xué)源于生活又高于生活，許多數(shù)學(xué)問題都可以進(jìn)行生活化的合情理解與合理處理.

2.2.1抽象問題形象化

從不同的數(shù)學(xué)對象中歸納共性，再概括其本質(zhì)，抽象為概念并且符號化，這體現(xiàn)了人類從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律．面對一個抽象的數(shù)學(xué)概念，既可以進(jìn)行直觀想象將其形象化，也可以聯(lián)系生活進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋，甚至采用比喻、擬人的形式，運用大眾思維，則易于理解與想象.

2.2.2數(shù)學(xué)思維自然化

數(shù)學(xué)的抽象性還體現(xiàn)在思維方面．可以將數(shù)學(xué)思維遷移到生活中，用生活化、自然化的思維方式與方法來分析，從而達(dá)到真正的理解．另外，教材中安排了許多應(yīng)用舉例課，這是數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用的需要，也是數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系橋梁，體現(xiàn)了學(xué)有所用，學(xué)以致用.

3　在教師引導(dǎo)下的以學(xué)生感悟為主的層面

有人說，“教育是慢的藝術(shù)．”這句話道出了教育的真諦．在教師的引導(dǎo)下，在充足的時間保證下，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了一些真正的體驗后，必然能從中獲得一些思想感悟．于是，學(xué)生的思維領(lǐng)悟與思想感悟?qū)u趨豐富，也就越發(fā)能夠在自然、合理、系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)思維中達(dá)到知識、方法、思想的本質(zhì)．長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將漸趨良性循環(huán)，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平必將逐步提升.

3.1　思想的滲透性悟得

數(shù)學(xué)也源于自身的發(fā)展需要，基于相關(guān)知識間的聯(lián)系，逐步形成各個數(shù)學(xué)系統(tǒng)．?dāng)?shù)學(xué)自身的發(fā)展規(guī)律不以人的意志為轉(zhuǎn)移，該有的知識、方法、思想自然就有，也本該如此．這就是數(shù)學(xué)及其思想的合理之處、自然存在、抽象之美，也是極需要師生感悟的地方.

前述提到了求(x2+3x+2)5展開式中某一項的三個視角，實質(zhì)上提出了三項展開式的三種處理方法．但從一般推廣的角度來看，還應(yīng)考慮四項、五項乃至n項展開式的處理方法．于是，利用因式分解與三項轉(zhuǎn)化為二項的兩個視角就顯得不夠簡潔了．而類比二項展開式的視角，直接運用組合的思想方法則更具有一般性與推廣價值．事實上，在數(shù)學(xué)中處理從低維到高維問題的推廣時，上述處理思想就是經(jīng)常運用的手法．這種思想方法應(yīng)該深扎于我們的思想深處，因為它本來就應(yīng)該是這樣處理的.

理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)知識、方法本質(zhì)的理解．要站在知識的源頭，將知識、方法、思維想象得更加合理一些．由此，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、方法、思想本質(zhì)的理解程度直接體現(xiàn)了其素養(yǎng)水平.

3.2　學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性思維

若將某一章或幾章視為一個系統(tǒng)，可更全面地認(rèn)識對象、簡明地看透本質(zhì)，這就是系統(tǒng)思維．最古老的系統(tǒng)思維方法出自中國古代的《易經(jīng)》．系統(tǒng)思維是把認(rèn)識對象視為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系與相互作用中綜合地考察認(rèn)識對象的一種思維方法[3]．在系統(tǒng)思維下，必須把研究對象的全體作為系統(tǒng)來考察、認(rèn)識和把握，把想要達(dá)到的結(jié)果、實現(xiàn)該結(jié)果的過程、過程優(yōu)化以及對未來的影響等一系列問題作為一個系統(tǒng)進(jìn)行整體研究.

計數(shù)問題的研究可運用系統(tǒng)性思維．首先，明確研究對象．為了簡化計數(shù)問題的運算，需要抓住相應(yīng)問題的不同特征，弄清它們的構(gòu)成要素，真正搞清楚如何才算是“完成了這件事情”．比如，抓住“或”“和”這兩個關(guān)鍵詞，可得到分類、分步這兩類計數(shù)問題．其次，研究基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系．上述兩類問題可回溯至小學(xué)的加法與乘法運算，從而得到分類加法與分步乘法兩個計數(shù)原理及其推廣，根據(jù)不同問題確定相應(yīng)的分類標(biāo)準(zhǔn)或分步標(biāo)準(zhǔn)．同時，研究相關(guān)要素及其關(guān)系，如不同的分類應(yīng)不重不漏、一步到位，不同的分步應(yīng)步驟完整、相互依存，弄清兩者之間的本質(zhì)差異，還可運用集合工具加以解釋．再次，研究計數(shù)問題的特例，即排列與組合，既要基于問題的特點與規(guī)律尋找簡單的計數(shù)方法，又要應(yīng)用兩個計數(shù)原理思考并解決．最后，研究計數(shù)原理在生活中的聯(lián)系

與應(yīng)用．上述過程可概括為“定義—表示—分類—性質(zhì)—特例—聯(lián)系”的系統(tǒng)思維過程，而相關(guān)性質(zhì)的研究為定性研究，不同計數(shù)問題的求解屬于定量研究．在上述研究過程中，排列、組合的研究過程幾乎是上述研究的翻版，又構(gòu)成了一個小系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)與思維均相類似．而從更大的視角來看，計數(shù)系統(tǒng)可以與概率系統(tǒng)甚至統(tǒng)計系統(tǒng)進(jìn)行橫向聯(lián)系、比較、研究.

事實上，前述關(guān)于概念教學(xué)的七步曲、先行組織者的運用、解題方法的比較與選擇均可視為系統(tǒng)思維的一種應(yīng)用．同時，系統(tǒng)思維的方法既可縱向也可橫向比較與類比遷移．由此，其它數(shù)學(xué)系統(tǒng)如函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等研究也可類似處理．在系統(tǒng)思維的引導(dǎo)與聯(lián)系下，學(xué)生可以嘗試畫出知識結(jié)構(gòu)圖或方法樹，讓知識、方法、思想網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化，這也更加有利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展與提升.