曲沖沖，王　晶，黃　鈞，何明珂

(1.北京工商大學(xué)商學(xué)院，北京　100048;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院　100049;3.北京物資學(xué)院物流學(xué)院　101149)

1　概述

大規(guī)模地震嚴(yán)重威脅人民生命和財(cái)產(chǎn)安全。加強(qiáng)震后應(yīng)急物資保障是應(yīng)對(duì)突發(fā)自然災(zāi)害條件下提高救援效率的關(guān)鍵。震后物資保障需要將大量的應(yīng)急物資運(yùn)輸?shù)绞転?zāi)區(qū)域，應(yīng)急物資運(yùn)輸?shù)捻憫?yīng)速度和分配策略是救援工作開(kāi)展的重點(diǎn)任務(wù)。同時(shí)，根據(jù)受災(zāi)區(qū)域的破壞程度，合理選擇運(yùn)輸工具和穩(wěn)定的配送中心是保證救援工作有序開(kāi)展的前提。

震后應(yīng)急配送中心選址和物資運(yùn)輸分配問(wèn)題是國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛研究的課題。震后應(yīng)急救援物流不同于一般的社會(huì)性物流，其活動(dòng)開(kāi)展具有不確定性、突發(fā)性、時(shí)間約束較強(qiáng)、經(jīng)濟(jì)性較弱等特點(diǎn)。宮華等[1]從外圍物資集散的中心選址、救災(zāi)物品的分配滿意度等方面進(jìn)行了研究。沈曉冰等[2]在分析震后應(yīng)急物資的配送特點(diǎn)和應(yīng)急配送中心的選址問(wèn)題的基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)綜合考慮應(yīng)急物流運(yùn)作效率和運(yùn)輸路徑選擇的多目標(biāo)優(yōu)化模型，對(duì)震后救援效率和路徑選擇進(jìn)行研究。劉長(zhǎng)時(shí)等[3-4]在對(duì)震后應(yīng)急物資運(yùn)輸?shù)缆芬?guī)劃問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí)，通過(guò)建立多種運(yùn)輸方式、多運(yùn)輸周期的LRP模型，對(duì)應(yīng)急物資開(kāi)展運(yùn)輸?shù)臅r(shí)間進(jìn)度進(jìn)行討論；在對(duì)震后災(zāi)民的非理性攀比因素進(jìn)行研究時(shí)，通過(guò)構(gòu)建一個(gè)靜態(tài)的運(yùn)輸-分配優(yōu)化模型，對(duì)靜態(tài)條件下的震后救援工作的開(kāi)展進(jìn)行了討論。王海軍等[5]通過(guò)建立一個(gè)雙目標(biāo)的OLRP模型，對(duì)配送中心的選址和應(yīng)急物資的運(yùn)輸安排進(jìn)行了討論。 Sheu[6]對(duì)臺(tái)灣震后救援工作開(kāi)展的研究中，通過(guò)遞推機(jī)制對(duì)配送中心和受災(zāi)地區(qū)進(jìn)行分組分析。Najafi等[7]在對(duì)多目標(biāo)、多線程、多種物資開(kāi)展震后運(yùn)輸和救助傷員的研究中，通過(guò)設(shè)計(jì)時(shí)間優(yōu)化算法對(duì)救援工作有序開(kāi)展提供建議。Yi Wei等[8]對(duì)研究震后響應(yīng)活動(dòng)中的協(xié)調(diào)后勤支援及疏散作業(yè)的綜合作業(yè)定位分配模式進(jìn)行了研究。Haghi等[9]通過(guò)對(duì)震后受傷人員的救治路徑和健康中心布局規(guī)劃研究，提升了救助覆蓋的全面性。Arora等[10]在對(duì)公共衛(wèi)生事件下開(kāi)展物資、藥品分配的研究的基礎(chǔ)上，認(rèn)為政策因素和距離因素對(duì)物資分配的公平性有一定的影響。Altay[11]認(rèn)為提升救災(zāi)效率和公平分配物資對(duì)傷員救治和災(zāi)后區(qū)域恢復(fù)有著積極的促進(jìn)作用。Liu Cong等[12]認(rèn)為將救援工作從時(shí)間上劃分成若干個(gè)時(shí)段可以提升震后救援的效率。

對(duì)應(yīng)急物資配送中心選址、運(yùn)輸路徑選擇和物資分配公平性開(kāi)展研究時(shí)，眾多文獻(xiàn)是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析的。李孟良等[13]在研究震后多式聯(lián)運(yùn)問(wèn)題時(shí)，對(duì)未滿足災(zāi)區(qū)應(yīng)急物品需求的最小懲罰系數(shù)進(jìn)行了討論，提出了基于魯棒優(yōu)化的聯(lián)運(yùn)調(diào)配模型。鄭斌等[14]針對(duì)震后物資供不應(yīng)求的狀況，通過(guò)設(shè)計(jì)一種混合遺傳算法結(jié)合汶川地震案例對(duì)物資的運(yùn)輸時(shí)間規(guī)劃、物資分配方式進(jìn)行了分析。Abounacer等[15]設(shè)計(jì)了一種啟發(fā)式算法—ε-約束方法，旨在確定實(shí)際所需的分配中心數(shù)量、位置和救援作業(yè)時(shí)間規(guī)劃。張偉等[16]在討論考慮運(yùn)輸時(shí)間、運(yùn)輸距離和道路復(fù)雜程度對(duì)路徑選擇影響的問(wèn)題時(shí)設(shè)計(jì)了一種多目標(biāo)非線性整數(shù)規(guī)劃模型。Mahmoudabad等[17]提出了一種基于動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)和動(dòng)態(tài)損傷烈度網(wǎng)絡(luò)的混沌理論解決突發(fā)情況下信息中斷時(shí)救援路徑選擇和物資分配的問(wèn)題。王旭坪等[18]在借鑒前景理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)感知函數(shù)，從道路運(yùn)力、物資流動(dòng)、決策過(guò)程等方面建立了物資調(diào)配的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。Haghani和Oh[19]通過(guò)交互式啟發(fā)算法解決救災(zāi)物資分配和帶時(shí)間窗問(wèn)題的多模態(tài)網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題。Najafi等[6]用成本分析的方法提出了多目標(biāo)、多模式、多商品、多周期的隨機(jī)模型為震后物資分配提供指導(dǎo)。

眾多文獻(xiàn)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通?？紤]救援成本和時(shí)間效率，對(duì)受災(zāi)點(diǎn)物資需求滿足程度與分配公平性考慮較少。本文在解決多時(shí)段、多種運(yùn)輸方式共同參與的應(yīng)急物資保障問(wèn)題的過(guò)程中兼顧時(shí)效性與公平性，在綜合物資運(yùn)輸與配送的兩階段、多時(shí)段的動(dòng)態(tài)救援特點(diǎn)和多種運(yùn)輸方式共同參與的基礎(chǔ)上，建立了保證救災(zāi)物資運(yùn)輸時(shí)效性和實(shí)現(xiàn)災(zāi)區(qū)物資分配公平的最優(yōu)的應(yīng)急物資配送中心選址與運(yùn)輸配送路徑優(yōu)化模型。針對(duì)此模型設(shè)計(jì)了一種帶精英策略的非支配排序的遺傳算法，結(jié)合九寨溝地區(qū)震后災(zāi)難情景對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證研究，通過(guò)結(jié)合Pareto前沿面分析，驗(yàn)證了模型和算法的有效性，為震后應(yīng)急物資保障提供了理論指導(dǎo)與決策支持。

2　模型建立

2.1　問(wèn)題描述

震后應(yīng)急物資保障工作是依托于物資集散地、應(yīng)急物資配送中心和受災(zāi)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系展開(kāi)的。災(zāi)區(qū)所需的大批量、多批次、多品種的物資需要從災(zāi)區(qū)外圍的救災(zāi)物資集散地通過(guò)公路和直升飛機(jī)向?yàn)?zāi)區(qū)周?chē)呐R時(shí)救災(zāi)物資存放地應(yīng)急物資配送中心進(jìn)行分配中轉(zhuǎn)，這是應(yīng)急物資運(yùn)輸?shù)牡谝浑A段；再由臨時(shí)配送中心通過(guò)公路運(yùn)輸向?yàn)?zāi)區(qū)進(jìn)行分配，這是應(yīng)急物資運(yùn)輸?shù)牡诙A段。在兩個(gè)階段中根據(jù)不同時(shí)段的道路狀況、運(yùn)輸裝備性能開(kāi)展的運(yùn)輸路線調(diào)整和應(yīng)急物資配送中心的備選工作是該階段的重點(diǎn)。兩階段劃分示意圖如圖1所示：

圖1　災(zāi)后應(yīng)急物資運(yùn)輸系統(tǒng)示意圖

震后救災(zāi)物資主要的供應(yīng)模式是區(qū)域儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)和外圍物資集散地整合物資-區(qū)域應(yīng)急物資配送中心分配中轉(zhuǎn)-受災(zāi)點(diǎn)，受到運(yùn)輸車(chē)數(shù)量和車(chē)輛的負(fù)荷裝載能力、路況、環(huán)境、救援人員數(shù)量變化等一系列客觀因素的制約以及隨著震后救援工作不斷深入，對(duì)災(zāi)區(qū)實(shí)際狀況逐漸了解，需要對(duì)較長(zhǎng)時(shí)間的救援工作進(jìn)行時(shí)間細(xì)分，通過(guò)多時(shí)段的動(dòng)態(tài)救援滿足災(zāi)區(qū)的物資供應(yīng)。

通過(guò)將應(yīng)急物資保障分為若干時(shí)段，可以及時(shí)的調(diào)整救援工作，從而保證救援工作的高效率運(yùn)作。同時(shí)要兼顧物資運(yùn)輸?shù)臅r(shí)效性和物資分配的的公平性。

2.2　模型構(gòu)建

2.2.1模型假設(shè)

針對(duì)特定條件下救災(zāi)物資的配送特征，作出如下假設(shè)：

(1)備選配送中心都是不易受到余震以及其他次生災(zāi)害影響且距離受災(zāi)區(qū)域距離較短的的交通樞紐區(qū)域點(diǎn)，可以長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行救災(zāi)作業(yè)。

(2)應(yīng)急物資從區(qū)域儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)和外圍集散地還未運(yùn)輸?shù)絽^(qū)域應(yīng)急配送中心時(shí)，受災(zāi)區(qū)域儲(chǔ)備的物資可以滿足自身的最低需求；區(qū)域應(yīng)急配送中心向受災(zāi)點(diǎn)運(yùn)輸?shù)膽?yīng)急物資數(shù)量可以滿足所有受災(zāi)點(diǎn)的最低需求。

2.2.2符號(hào)說(shuō)明

(1)參數(shù)

W：救援物資種類的集合(w∈W)

I：應(yīng)急物資集散點(diǎn)的集合(i∈I)

J：應(yīng)急物資配送中心的集合(j∈J)

K：受災(zāi)點(diǎn)的集合(k∈K)

Ξ：需要決策的時(shí)段的集合(ξ∈Ξ)

M=

T(ξ)：決策時(shí)段ξ重新決策的時(shí)刻

qwi(ξ)：ξ時(shí)段下集散點(diǎn)i供給物資w在的量

dwk(ξ)：受災(zāi)區(qū)域k在ξ時(shí)段對(duì)物資w的實(shí)際需求量

Pijm(ξ)：在ξ時(shí)段下從集散點(diǎn)i到配送中心j通過(guò)運(yùn)輸方式m單次最大運(yùn)輸量

Tijm(ξ)：在ξ時(shí)段道路未修復(fù)情況下，從集散點(diǎn)i到配送中心j通過(guò)運(yùn)輸方式m所需要的時(shí)間

Pjk(ξ)：ξ時(shí)段下從配送中心j到受災(zāi)點(diǎn)k的單次最大運(yùn)輸量

Tjk(ξ)：ξ時(shí)段道路未修復(fù)情況下，從配送中心j到受災(zāi)點(diǎn)k所需要的時(shí)間

ITijm：從集散點(diǎn)i到配送中心j通過(guò)運(yùn)輸方式m發(fā)車(chē)的時(shí)間間隔

θw：受災(zāi)點(diǎn)人均需求救災(zāi)物資w的最少量

LTkw(ξ)：ξ時(shí)段下受災(zāi)點(diǎn)k對(duì)救濟(jì)物資w供應(yīng)滿意度最大時(shí)，所能夠接受的最長(zhǎng)等待時(shí)間

STkw(ξ)：ξ時(shí)段下受災(zāi)點(diǎn)k對(duì)救濟(jì)物資w供應(yīng)不滿意度最大時(shí)，所能接受的最短等待時(shí)間

N(ξ)：ξ時(shí)段下允許配送中心運(yùn)營(yíng)的最多數(shù)量

PDkw(ξ)：ξ時(shí)段下進(jìn)行下一時(shí)段(ξ+1)決策時(shí)，受災(zāi)點(diǎn)k接收救災(zāi)物資w必須等待的時(shí)間

Tkw(ξ)：ξ時(shí)段下受災(zāi)點(diǎn)k完全接受救災(zāi)物資w的時(shí)刻

QKw(ξ)：ξ時(shí)段下計(jì)劃分給受災(zāi)區(qū)域K的救災(zāi)物資w的總量

Θ：可用車(chē)輛總數(shù)

Ω：一個(gè)大數(shù)

(2)決策變量

Qijwm(ξ)：ξ時(shí)段下計(jì)劃采用運(yùn)輸方式m從物資集散點(diǎn)i運(yùn)輸?shù)脚渌椭行膉物資w的數(shù)量

?j(ξ)：ξ時(shí)段下計(jì)劃分配給配送中心j進(jìn)行運(yùn)輸物資的車(chē)輛數(shù)目

Qjkw(ξ)：ξ時(shí)段下計(jì)劃從配送中心j運(yùn)輸?shù)绞転?zāi)點(diǎn)k的救災(zāi)物資w的量

2.2.3數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Qijwm(ξ)≥0,i∈I,j∈J,w∈W,m∈M

(13)

uijmw(ξ)=(0,1),i∈I,j∈J,w∈W,m∈M

(14)

(15)

(16)

(17)

Tjk(ξ),k∈K,w∈W,(j,k)∈Ak(ξ)

(18)

(19)

Qjkw(ξ)≤Ω·zjkw(ξ),j∈J,k∈K,w∈W

(20)

(21)

(22)

zjkw(ξ)=(0,1)

(23)

目標(biāo)函數(shù)(1)表示在ξ時(shí)段下，各種應(yīng)急物資配送到災(zāi)區(qū)的加權(quán)時(shí)刻最短，進(jìn)而保證應(yīng)急物資的時(shí)效性。目標(biāo)函數(shù)(2)表示最大化所有受災(zāi)點(diǎn)各種物資滿意度的最小值，保證救援物資分配的公平性。約束(3)表示在ξ時(shí)段下計(jì)劃運(yùn)輸物資到配送中心的總量等于該集散點(diǎn)物資總供應(yīng)量；約束(4)表示受災(zāi)點(diǎn)物資最小滿足率；約束(5)表示配送中心的最大承載量；約束(6)表示在不同運(yùn)輸方式下，將救災(zāi)物資從集散點(diǎn)運(yùn)輸?shù)脚渌椭行乃钑r(shí)間表達(dá)式；約束(7)表示第一階段物資運(yùn)輸時(shí)間函數(shù)表達(dá)式；約束(8)表示受災(zāi)點(diǎn)完全接收救災(zāi)物資時(shí)刻的函數(shù)表達(dá)式；約束(9)表示ξ時(shí)段下只有選擇某個(gè)配送中心時(shí)，才會(huì)把物資運(yùn)輸?shù)皆撆渌椭行?。約束(10)表示救災(zāi)物資只能向運(yùn)轉(zhuǎn)的配送中心運(yùn)輸救災(zāi)物資；約束(11)表示配送中心開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)后，任何階段都不會(huì)關(guān)閉；約束(12)表示可以運(yùn)轉(zhuǎn)的配送中心小于等于初始設(shè)定的最大數(shù)目限制；約束(13)表示非負(fù)約束；約束(14)、(15)表示0-1約束。約束(16)表示配送中心接受物資的量與輸出給災(zāi)區(qū)的量均等；約束(17)表示各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的物資接收量總和等于配送中心運(yùn)往災(zāi)區(qū)的量；約束(18)表示通過(guò)公路運(yùn)輸從配送中心到受災(zāi)點(diǎn)的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式；約束(19)表示由于物資的供不應(yīng)求，運(yùn)輸?shù)绞転?zāi)地區(qū)的物資總量小于災(zāi)區(qū)實(shí)際需求量；約束(20)表示只有選擇為某個(gè)受災(zāi)點(diǎn)服務(wù)時(shí)，才會(huì)輸送物資到該點(diǎn)；約束(21)表示受災(zāi)點(diǎn)接受的救災(zāi)物資只能來(lái)自于已經(jīng)開(kāi)啟運(yùn)轉(zhuǎn)的配送中心。約束(22)表示受災(zāi)點(diǎn)接受的物資只能來(lái)自于一個(gè)配送中心。約束(23)表示0-1約束。震后應(yīng)急響應(yīng)時(shí)間滿意度通過(guò)以下線性時(shí)間滿意度函數(shù)表達(dá)式描述：

在第一階段中，公路運(yùn)輸與直升飛機(jī)運(yùn)輸共同參與到應(yīng)急物資的輸送工作，救援車(chē)輛從集散點(diǎn)到配送中心的出發(fā)時(shí)刻根據(jù)物資運(yùn)輸方式的不同可以分為以下兩種情況：

i.當(dāng)運(yùn)輸方式為公路運(yùn)輸且當(dāng)前時(shí)段沒(méi)有救援車(chē)輛向?yàn)?zāi)害地點(diǎn)運(yùn)輸救災(zāi)物資。

ii.運(yùn)輸方式為公路運(yùn)輸，且在下一時(shí)段開(kāi)始

決策時(shí)，當(dāng)前時(shí)段的運(yùn)輸工作已經(jīng)完成。

i.當(dāng)運(yùn)輸方式為公路運(yùn)輸時(shí)，且下一時(shí)段救援工作開(kāi)始時(shí)，當(dāng)前時(shí)段的車(chē)輛仍在途中。

ii.運(yùn)輸方式為直升飛機(jī)時(shí)，由于受到航線的限制，下一時(shí)段的車(chē)輛發(fā)出時(shí)刻是當(dāng)前時(shí)段車(chē)輛返回的最早時(shí)刻。

(24)

(25)

同時(shí)由于災(zāi)后救援物資需求具有持需時(shí)間長(zhǎng)、多時(shí)段等特點(diǎn)，本文將救援過(guò)程細(xì)化成若干時(shí)段，目標(biāo)函數(shù)考慮各個(gè)時(shí)段配送方案的設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)，保證在任意時(shí)段下救援物資配送的時(shí)效性與公平性。模型可轉(zhuǎn)化為：

s.t.(1)-(25)

3　算法設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)災(zāi)后應(yīng)急物資運(yùn)輸與分配的時(shí)效性與公平性，構(gòu)建了包括多時(shí)段動(dòng)態(tài)的配送中心選址和應(yīng)急物資配送路徑優(yōu)化的多目標(biāo)規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)了一種基于Pareto最優(yōu)解基礎(chǔ)上改進(jìn)的帶精英策略非支配排序的多目標(biāo)遺傳算法，將精英策略引入到模型中，提升了算法了運(yùn)算效率和準(zhǔn)確率。通過(guò)基因交叉、多點(diǎn)變異將父代種群與子代種群組合，保證優(yōu)良的種群個(gè)體在進(jìn)化過(guò)程中不會(huì)被丟棄，進(jìn)一步提高優(yōu)化結(jié)果的精度。通過(guò)對(duì)所有個(gè)體的分層存放，迅速提高種群水平。

3.1　初始化參數(shù)

設(shè)該遺傳算法的種群規(guī)模popsize，最大迭代次數(shù)為max gen，交叉概率Pc，變異概率Pm。

3.2　染色體編碼

通過(guò)矩陣編碼策略描述每個(gè)時(shí)段配送中心到受災(zāi)點(diǎn)的指派關(guān)系z(mì)jkw(ξ)和分配量Qjkw(ξ)。每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)在每個(gè)時(shí)段內(nèi)的需求滿足情況是通過(guò)列向量基因位表現(xiàn)在染色體上。在每個(gè)列向量中第一個(gè)基因位是通過(guò)在1到|J|的整數(shù)內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，表示配送中心到受災(zāi)點(diǎn)之間的指派關(guān)系。第二基因位到第(w+1)位是在[1，dwk(ξ)]的整數(shù)內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，表示在每個(gè)時(shí)段下配送中心向受災(zāi)點(diǎn)運(yùn)送的不同物資的具體的數(shù)量。因此，染色體編碼的總長(zhǎng)度為(1+w)×(1+ξ)。

假設(shè)受災(zāi)點(diǎn)的數(shù)量是16個(gè)，即K={k|1,2,3,4,5,6,7,8,…14,15,16}，受災(zāi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)急物資的需求種類為2種：食品和生活用品。救援分為3個(gè)時(shí)段，即Ξ={ξ|1,2,3}。配送中心候選地點(diǎn)有8個(gè)，即|J|=8,選從中選出4個(gè)點(diǎn)作為開(kāi)放的配送中心。因此，可以得出以下染色體編碼，見(jiàn)圖3。

圖3　染色體矩陣編碼示意圖

圖3矩陣含義：選擇2，5，6，8物資配送中心進(jìn)行運(yùn)營(yíng)為16個(gè)受災(zāi)地點(diǎn)運(yùn)輸生活用品和食品。當(dāng)ξ=1時(shí)，物資配送中心5為災(zāi)區(qū)1和災(zāi)區(qū)15服務(wù)，向?yàn)?zāi)區(qū)1運(yùn)送24單位和40單位的應(yīng)急物資。同時(shí)向?yàn)?zāi)區(qū)15運(yùn)輸27單位和33單位的應(yīng)急物資。

配送中心所屬車(chē)輛的數(shù)量是其向受災(zāi)點(diǎn)運(yùn)輸物資的數(shù)量來(lái)決定的，具體的運(yùn)算公式為：

3.3　種群初始化及適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算

為了使初始種群中染色體數(shù)量盡可能豐富，在滿足約束條件的基礎(chǔ)上隨機(jī)均勻產(chǎn)生各基因位上的值，使得每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)K都能夠得到救援。在遺傳算法程序設(shè)計(jì)上，對(duì)各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)救援次數(shù)進(jìn)行跟蹤，對(duì)于觀測(cè)到救援次數(shù)偏少的受災(zāi)點(diǎn)將隨機(jī)選擇種群中沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行救助的個(gè)體，隨機(jī)將若干個(gè)基因位設(shè)置為其對(duì)應(yīng)的受災(zāi)點(diǎn)序號(hào)。

3.4　帶精英策略的非支配排序解集構(gòu)造

非支配解排序的流程如下：

對(duì)于種群中每一個(gè)個(gè)體i，設(shè)都有兩個(gè)參數(shù)ni和Si，ni是指種群中支配個(gè)體i的解的個(gè)體數(shù)量，Si是指被個(gè)體i支配的解的個(gè)體集合。

步驟1：找出種群中所有ni=0的個(gè)體，表示個(gè)體i支配其他個(gè)體，將他們存入當(dāng)前非支配集合Z1中；

步驟2：非支配集合Z1中的每一個(gè)個(gè)體j，遍歷其所支配的個(gè)體集合Sj中每一條染色體t，令nt=nt-1。若nt=0，將個(gè)體t存入集合H。

步驟3：Z1作為第一級(jí)非支配個(gè)體的集合，在Z1中的解得個(gè)體都是最優(yōu)的。令其非支配序rank(i)=1，在此基礎(chǔ)對(duì)集合H作上述分級(jí)操作，直到所有的個(gè)體都被分級(jí)，同時(shí)賦予相應(yīng)的非支配排序。

3.5　擁擠度與比較算子

擁擠度的計(jì)算是確保種群多樣性的一個(gè)重要因素，計(jì)算步驟如下：

(1)每個(gè)點(diǎn)的擁擠度id置為0；

(2)根據(jù)每個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，令邊界上的兩個(gè)個(gè)體擁擠度為無(wú)限大，即od=ld=∞；

(3)對(duì)種群中的其它個(gè)體的擁擠度進(jìn)行運(yùn)算：

其中，id表示i點(diǎn)的擁擠度，fji+1表示i+1點(diǎn)的第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，fji-1表示i-1點(diǎn)的第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)值。

個(gè)體i與另一個(gè)體j進(jìn)行比較，只要有以下一個(gè)條件滿足，則個(gè)體i勝利。

(1)個(gè)體i所處的支配層優(yōu)于個(gè)體j所處的支配層，即ranki

(2)若種群中有兩個(gè)個(gè)體有相同等級(jí)(處在相同的非支配層)，且個(gè)體i比個(gè)體j有一個(gè)更大的擁擠距離，即irank=jrank且id>jd。

3.6　精英策略與遺傳操作

將父代種群與其產(chǎn)生的子代種群混合后進(jìn)行非支配排序，可以有效的避免父代種群中的精英個(gè)體流失。通過(guò)輪盤(pán)選舉對(duì)個(gè)體進(jìn)行選擇操作，采用單點(diǎn)、多點(diǎn)交叉和基因互換進(jìn)行變異操作。設(shè)計(jì)算法的流程圖如圖2。

圖2　帶精英策略的非支配模型遺傳算法流程

4　算例分析

4.1　算例介紹與參數(shù)設(shè)置

根據(jù)四川九寨溝地震區(qū)域的災(zāi)難情景，選取8個(gè)應(yīng)急物資配送中心(編號(hào)為1～8)，以及16個(gè)受災(zāi)點(diǎn)(編號(hào)1～16)同時(shí)選取2中主要的應(yīng)急物資(選取食品和生活用品)。震后救援初始階段選擇4個(gè)應(yīng)急配送中心開(kāi)放運(yùn)營(yíng)。九寨溝縣各應(yīng)急物資配送中心的倉(cāng)庫(kù)容量如表1，主要受災(zāi)點(diǎn)的物資需求量見(jiàn)表2。

表1　應(yīng)急物資配送中心庫(kù)存容量

表2　主要受災(zāi)點(diǎn)的物資需求如下

圖3　Pareto前沿面解的分布圖

帶精英策略的遺傳算法的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模popsize=400,最大迭代次數(shù)maxgen400，交叉概率pc=0.92，變異概率為pm=0.01。

4.2　運(yùn)算結(jié)果分析

通過(guò)Matlab2017a編程，在2.9 GHz Intel Core i5，8 GB內(nèi)存，macOS操作系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算。算法終止時(shí)，所有解收斂到Pareto前沿面上，得到140個(gè)Pareto解，Pareto最優(yōu)解分布見(jiàn)圖3。表3是從中抽取的5組(A-E)典型Pareto解。

4.3　結(jié)果對(duì)比與分析

為了保證算法運(yùn)算的穩(wěn)定性與可操作性，文章根據(jù)不同種群數(shù)量和算法迭代次數(shù)設(shè)計(jì)了4組參照組。表4是參照組1、2、3、4各主要指標(biāo)的具體數(shù)值以及不同種群數(shù)量和迭代次數(shù)下的解數(shù)量和運(yùn)算時(shí)間，各參照組Pareto前沿面結(jié)果如圖4。

表3　典型Pareto解

表4　各參照組主要指標(biāo)及運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)

通過(guò)對(duì)結(jié)果的分析我們可以得出以下論：

(1)通過(guò)帶精英策略的非支配排序的遺傳算法的運(yùn)算，我們得出不同參數(shù)下的Pareto前沿面解集，證明了模型和算法的有效性。

(2)Pareto解的運(yùn)算時(shí)間與種群數(shù)量和迭代次數(shù)有關(guān)。伴隨著種群數(shù)量和迭代次數(shù)的不斷增加，Pareto解的數(shù)量呈現(xiàn)著遞增趨勢(shì)，通過(guò)參照組的對(duì)比分析，種群規(guī)模越大，迭代次數(shù)越多，得到的結(jié)果就更加豐富，分布也更加均勻。

(3)通過(guò)表4發(fā)現(xiàn)，在迭代次數(shù)相同的情況下，種群數(shù)量越多，Pareto解的集合也就越多，但消耗更多的運(yùn)算時(shí)間；在種群規(guī)模相同的情況下，迭代次數(shù)越多，Pareto解的數(shù)量更加豐富，同時(shí)消耗更多的運(yùn)算時(shí)間。Pareto解的數(shù)量和種群規(guī)模以及迭代次數(shù)在一方面條件確定的情況下存在著正相關(guān)的關(guān)系。

圖4　各參照組Pareto前沿面解的分布圖

通過(guò)圖4三個(gè)參照組的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，公平性目標(biāo)與時(shí)效性目標(biāo)存在著悖反現(xiàn)象。從Pareto前沿面的參照?qǐng)D來(lái)看，救災(zāi)物資的時(shí)效性目標(biāo)波動(dòng)較小，其分配物資的公平性目標(biāo)波動(dòng)較大。從圖3可以看出，當(dāng)公平性目標(biāo)越大，時(shí)效性目標(biāo)略微增加時(shí)，公平性目標(biāo)則大幅度降低。同時(shí)災(zāi)區(qū)需求的增加會(huì)使公平性目標(biāo)受到損失。

在救援的初級(jí)階段，決策者更多的關(guān)注時(shí)效性目標(biāo)，在救援的后期階段，決策者更多的關(guān)注公平性目標(biāo)。通過(guò)Pareto前沿面的分析，為救援決策者根據(jù)在不同階段對(duì)決策目標(biāo)的偏好提供了更多的選擇。

5　結(jié)語(yǔ)

震后應(yīng)急物資的分配與運(yùn)輸是震后救援保障工作的重要環(huán)節(jié)，配送中心的選址的穩(wěn)定性與物資保障效率的提升對(duì)于減少財(cái)產(chǎn)損失、保證生命安全有著重要意義。震后物資運(yùn)輸與配送過(guò)程包括將應(yīng)急物資從區(qū)域儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)和外圍物資集散地運(yùn)輸?shù)絽^(qū)域應(yīng)急配送中心、區(qū)域配送中心配送到各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)兩個(gè)階段。但是應(yīng)急物資保障具有持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)、需求緊迫性強(qiáng)和物資相對(duì)短缺的特點(diǎn)，因此將物資分配時(shí)效性與公平性，多時(shí)段、多種運(yùn)輸方式共同參與的應(yīng)急物資保障策略有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，綜合考慮震后應(yīng)急物資的運(yùn)輸與分配特性，建立了一個(gè)考慮時(shí)效性-公平性的震后配送中心選址和物資動(dòng)態(tài)分配的多目標(biāo)規(guī)劃模型?；谀Ｐ驮O(shè)計(jì)了一種帶精英策略的非支配排序的遺傳算法，通過(guò)非線性混合整數(shù)規(guī)劃結(jié)合Pareto前沿面對(duì)時(shí)效性-公平性雙目標(biāo)動(dòng)態(tài)救援模型進(jìn)行求解。通過(guò)算法對(duì)實(shí)際案例的求解分析，發(fā)現(xiàn)模型可以產(chǎn)生有效的Pareto最優(yōu)解和前沿面，準(zhǔn)確反映了時(shí)效性目標(biāo)和公平性目標(biāo)的悖反現(xiàn)象，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的計(jì)算將時(shí)效性與公平性的關(guān)系通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)模型和算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，為今后進(jìn)一步研究該問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

在構(gòu)建的模型中，救援過(guò)程涉及的相關(guān)系數(shù)的是確定的數(shù)值，但是在實(shí)際的運(yùn)輸過(guò)程中是隨機(jī)變化的。如道路安全系數(shù)、車(chē)輛的安全性能、運(yùn)輸時(shí)間受道路清障的影響等因素，這些帶有隨機(jī)參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)模型是未來(lái)研究的方向。