辛琦

福建江夏學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院,福建 福州 350108

合作在自然和人類系統(tǒng)中極為重要，它是每一個(gè)新的群體組織出現(xiàn)的必要先決條件。演化博弈理論[1]為研究合作提供了有力的框架。研究表明親緣選擇、直接互惠、間接互惠、群體選擇和空間互惠是促進(jìn)合作的五種主要演化機(jī)制[2]。其中，間接互惠意味著“助人者，人助之”，人們總是希望與樂(lè)于助人者（合作者）交往，而遠(yuǎn)離自私者（背叛者）。因此，該機(jī)制能很好地解釋為什么人類社會(huì)中無(wú)血緣、無(wú)種群關(guān)系的個(gè)體之間會(huì)產(chǎn)生合作。

網(wǎng)絡(luò)是描述群體組織及其內(nèi)部關(guān)聯(lián)性的有力工具。近年來(lái)，關(guān)于合作行為與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的協(xié)同演化問(wèn)題受到廣泛關(guān)注[3-6,8-10]。本文將側(cè)重于研究間接互惠機(jī)制下的網(wǎng)絡(luò)協(xié)同演化問(wèn)題。間接互惠機(jī)制中，聲譽(yù)是個(gè)體合作行為的累積，對(duì)促進(jìn)合作具有重要作用[7]。文獻(xiàn)[8]首次在網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)演化博弈中引入“聲譽(yù)”機(jī)制，個(gè)體根據(jù)聲譽(yù)更換鄰居，斷開與低聲譽(yù)鄰居的連接，并以一定的概率與高聲譽(yù)個(gè)體建立連接，在此基礎(chǔ)上研究網(wǎng)絡(luò)的合作演化。文獻(xiàn)[9]考慮了方格網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)體可因不滿所處的聲譽(yù)環(huán)境而產(chǎn)生遷移，進(jìn)而研究遷移行為對(duì)合作演化的影響。文獻(xiàn)[10]改進(jìn)了聲譽(yù)計(jì)算方法，并利用公共物品博弈模型研究考慮成本的伙伴更新行為對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作演化的影響。上述文獻(xiàn)都是在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)及連邊數(shù)量均不變的情況下，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由于個(gè)體或者連邊在聲譽(yù)影響下產(chǎn)生移動(dòng)而改變，進(jìn)而研究網(wǎng)絡(luò)的合作演化問(wèn)題。

在實(shí)際的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，組織因發(fā)展需要會(huì)不斷完善結(jié)構(gòu)形態(tài)，調(diào)整網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，吸收新的個(gè)體，淘汰劣質(zhì)個(gè)體，而個(gè)體也會(huì)根據(jù)自己的需求進(jìn)入或者離開某個(gè)群體或組織。因此，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變不僅僅是個(gè)體之間關(guān)聯(lián)的變化，還應(yīng)涉及網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的變化。尤其，處于成長(zhǎng)過(guò)程中的網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模持續(xù)擴(kuò)大，隨著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的不斷演變，其復(fù)雜性[11,12]特征日益凸顯。本文考慮網(wǎng)絡(luò)隨著新個(gè)體的進(jìn)入及其連邊的增加而不斷成長(zhǎng)，研究在聲譽(yù)機(jī)制作用下，個(gè)體博弈策略改變和個(gè)體連接選擇雙動(dòng)力下的網(wǎng)絡(luò)共演化問(wèn)題。

1 網(wǎng)絡(luò)演化模型

描述社會(huì)困境的囚徒困境博弈（Prisoner’s Dilemma Game，PDG）是研究在自私個(gè)體構(gòu)成的群體中合作是如何產(chǎn)生的典型模型。該模型中，兩位博弈者同時(shí)進(jìn)行決策，選擇合作或者背叛策略，由此獲取收益。博弈雙方因相互合作得到報(bào)酬R和相互背叛受到懲罰P，當(dāng)背叛者與合作者相遇時(shí)，前者能獲得最高收益T（即背叛誘惑），而后者只有最低收益S。因此，這4個(gè)收益參數(shù)滿足不等式T＞R＞P＞S，并且 2R＞T+S。不失一般性，本文以弱囚徒困境[13]（即T=b，R=1，P=S=0，且 1≤b≤2）模型為基礎(chǔ)進(jìn)行基于聲譽(yù)的網(wǎng)絡(luò)共演化問(wèn)題的研究。

成長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)的初始結(jié)構(gòu)是一個(gè)由m0個(gè)節(jié)點(diǎn)（個(gè)體）構(gòu)成的全連通網(wǎng)絡(luò)，其中，每個(gè)個(gè)體的初始狀態(tài)是聲譽(yù)為1的合作者。考慮網(wǎng)絡(luò)博弈和網(wǎng)絡(luò)成長(zhǎng)兩個(gè)時(shí)間尺度，分別用τD和τT表示，在每一輪時(shí)間尺度τD內(nèi)，所有個(gè)體根據(jù)弱囚徒困境模型與周圍鄰居進(jìn)行博弈而獲得相應(yīng)收益，該收益決定了是否需要改變策略，并基于該輪博弈所采取的策略更新個(gè)體聲譽(yù)值；對(duì)于每一輪時(shí)間尺度τT，網(wǎng)絡(luò)會(huì)有一個(gè)新個(gè)體加入，該個(gè)體根據(jù)聲譽(yù)情況與m個(gè)原有個(gè)體建立連接。以下是對(duì)個(gè)體策略演化、聲譽(yù)更新以及新加入個(gè)體的連接選擇方法的具體介紹。

個(gè)體策略演化時(shí)，個(gè)體與所有鄰居一一博弈，依據(jù)弱囚徒困境模型的收益矩陣得出每一博弈結(jié)果的收益值，與所有鄰居博弈后的收益之和即為個(gè)體在該輪博弈中獲得的總收益，然后根據(jù)復(fù)制動(dòng)力學(xué)（Replicator Dynamics）演化規(guī)則來(lái)調(diào)整自己的策略，即，對(duì)于個(gè)體i隨機(jī)選擇的鄰居j，當(dāng)j的收益fj(t)大于i的收益fj(t)時(shí)，i便以一定的概率向j進(jìn)行策略學(xué)習(xí)，并且該概率與兩者的收益差成正比，計(jì)算公式如下。

式中，ki(t)，kj(t)分別表示時(shí)間步t時(shí)個(gè)體i和j的度（即，鄰居的數(shù)量）。個(gè)體策略調(diào)整之后，更新其聲譽(yù)值，聲譽(yù)的計(jì)算方法如公式(2)所示[8]。

式中，Ri(t)表示時(shí)間步t時(shí)個(gè)體i的累積聲譽(yù)值；Si(t)表示時(shí)間步t時(shí)個(gè)體i的單次聲譽(yù)值，如果個(gè)體i采取合作策略，則Si(t)=1，否則Si(t)=0；α(α∈[0,1])表示歷史聲譽(yù)的衰減系數(shù)，當(dāng)α→0時(shí)，歷史聲譽(yù)不起作用，當(dāng)α→1時(shí)，歷史聲譽(yù)不會(huì)衰減，個(gè)體聲譽(yù)值為歷次時(shí)間步所得聲譽(yù)值的累加。

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中新加入一個(gè)個(gè)體，其初始狀態(tài)是隨機(jī)生成的，即，個(gè)體有50%的概率成為一個(gè)合作者，相應(yīng)的初始聲譽(yù)值為1；否則該個(gè)體就是一個(gè)背叛者，初始聲譽(yù)值為0。新個(gè)體在選擇網(wǎng)絡(luò)中已有個(gè)體進(jìn)行連接時(shí)，聲譽(yù)越高者獲得連接的概率越大，連接概率的計(jì)算如公式(3)所示。

式中，L(t)表示時(shí)間步t時(shí)網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體的集合；γ(γ∈[0,∞])表示新加入個(gè)體在選擇原有個(gè)體建立連接時(shí)對(duì)聲譽(yù)的敏感度，當(dāng)γ→0時(shí)，新增個(gè)體與網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體建立連接的概率相等，個(gè)體的聲譽(yù)不起作用；當(dāng)γ→∞時(shí)，新增個(gè)體與網(wǎng)絡(luò)中聲譽(yù)最高的個(gè)體以100%概率建立連接。

2 仿真實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

成長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)的初始結(jié)構(gòu)是一個(gè)全聯(lián)通網(wǎng)絡(luò)，只包含m0=3個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體的初始狀態(tài)均為聲譽(yù)值為1的合作者。每個(gè)新增個(gè)體加入網(wǎng)絡(luò)時(shí)，與m=2個(gè)原有個(gè)體建立連接。個(gè)體策略演化和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化的時(shí)間尺度滿足關(guān)系τD=10τT[15]。以下分別從網(wǎng)絡(luò)的度分布，聲譽(yù)對(duì)合作演化的影響，背叛誘惑、聲譽(yù)衰減系數(shù)、聲譽(yù)敏感度對(duì)合作演化的影響等方面對(duì)網(wǎng)絡(luò)的演化特征進(jìn)行仿真分析。仿真數(shù)據(jù)是通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模成長(zhǎng)至個(gè)體數(shù)量N=5000的50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)結(jié)果取平均得到。

2.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特征分析

由圖1可見(jiàn)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)成長(zhǎng)為有5000個(gè)個(gè)體時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出冪律分布特征，大多數(shù)個(gè)體的度較小，即只有較少的連邊，但存在少數(shù)具有較大度的個(gè)體，它們是網(wǎng)絡(luò)中其他個(gè)體爭(zhēng)相與之建立連接的對(duì)象。與初始的同質(zhì)的全連通的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相比，經(jīng)過(guò)不斷演化，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的異質(zhì)性和復(fù)雜性凸顯。圖2表明個(gè)體的度與聲譽(yù)值之間是正相關(guān)關(guān)系。對(duì)應(yīng)圖1和圖2可以看出，雖然度大的個(gè)體的數(shù)量很少，但是他們具有較高的聲譽(yù)值，其原因在于，由于引入了聲譽(yù)機(jī)制，新增個(gè)體傾向于與高聲譽(yù)者建立連接，高聲譽(yù)者往往都是合作者，由于多數(shù)個(gè)體愿意或者已經(jīng)與其相連而成為它的鄰居，使其在博弈收益總量上遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他個(gè)體，因此能夠保持合作策略不變，聲譽(yù)值不斷上升，進(jìn)而吸引更多的個(gè)體與之相連，如此循環(huán)，形成圖1和圖2所呈現(xiàn)的“富者恒富”之特征。

圖1 網(wǎng)絡(luò)的度分布(b=1.5,α=1,γ=1)Fig.1 Distribution of network’s degrees(b=1.5,α=1,γ=1)

圖2 度與聲譽(yù)之間的關(guān)系(b=1.5,α=1,γ=1)Fig.2 Relationship between degree and reputation(b=1.5,α=1,γ=1)

2.2 背叛誘惑和聲譽(yù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作演化的影響分析

圖3 所示為兩種成長(zhǎng)機(jī)制下背叛誘惑對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作率的影響。兩種成長(zhǎng)機(jī)制中，一種是基于聲譽(yù)的網(wǎng)絡(luò)成長(zhǎng)機(jī)制，新增個(gè)體的連接是根據(jù)聲譽(yù)（公式(3)）而建立的；另一種是基于收益的網(wǎng)絡(luò)成長(zhǎng)機(jī)制，新增個(gè)體的連接是根據(jù)收益而建立的[15]。曲線R和F分別反映了這兩種成長(zhǎng)機(jī)制下網(wǎng)絡(luò)合作率Cρ與背叛誘惑b的關(guān)系，為網(wǎng)絡(luò)中合作者的數(shù)量，N=5000為網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體的數(shù)量）。由圖3可見(jiàn)，隨著b不斷增大，兩種機(jī)制下網(wǎng)絡(luò)的合作率均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。這理所當(dāng)然是因?yàn)楫?dāng)背叛誘惑越大，人們?cè)綍?huì)為了獲取更高的利益而不惜背叛自己的伙伴，從而導(dǎo)致ρC不斷下降。同時(shí)，基于聲譽(yù)成長(zhǎng)的網(wǎng)絡(luò)合作率總是高于基于收益成長(zhǎng)的網(wǎng)絡(luò)合作率，當(dāng)背叛誘惑較小時(shí)，兩種網(wǎng)絡(luò)的合作率差別并不大，但是，b越大，這種差別越明顯。其原因在于，如果新增個(gè)體的連接是注重聲譽(yù)而非收益，則在一定程度上可以避免與背叛者連接而遭受損失的風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)背叛誘惑越大，所規(guī)避的風(fēng)險(xiǎn)損失也就越大。聲譽(yù)機(jī)制使得高聲譽(yù)者獲得更多的連接，又由于個(gè)體的收益是其與所有鄰居分別博弈后的所有收益之和，因此鄰居數(shù)量越多，個(gè)體獲得高收益的可能性越大，而高聲譽(yù)者的高收益則會(huì)導(dǎo)致其眾多的鄰居向其學(xué)習(xí)，采取合作策略，從而不斷促進(jìn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的合作演化。

圖3 背叛誘惑和聲譽(yù)機(jī)制對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作率的影響(α=1,γ=1)Fig.3 Influence of defection temptation and reputation mechanism on network cooperation rate(α=1,γ=1)

2.3 聲譽(yù)衰減系數(shù)和聲譽(yù)敏感度對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作演化的影響分析

圖4 對(duì)比了聲譽(yù)衰減系數(shù)α不同取值時(shí)ρC的變化曲線，圖5是聲譽(yù)敏感度γ不同取值時(shí)ρC的變化曲線。由兩組曲線圖可見(jiàn)，無(wú)論α、γ取值如何，ρC總是隨著b值的增大而減少。但是，α和γ的不同取值，決定了ρC下降的速度和幅度。

公式(2)體現(xiàn)了歷史聲譽(yù)會(huì)隨著時(shí)間的流逝而不斷衰減，衰減程度由參數(shù)控制。由圖4可知，本例中，當(dāng)時(shí)，ρC曲線基本一致，這是因?yàn)楫?dāng)α較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)若干時(shí)間步的成長(zhǎng)，個(gè)體的歷史聲譽(yù)以較大的幅度產(chǎn)生衰減，其作用幾乎為0；只有當(dāng)α足夠大時(shí)，歷史聲譽(yù)的作用才得以體現(xiàn)。如圖4所示，歷史聲譽(yù)作用越大（α越大），越能有效地減少因背叛產(chǎn)生的高收益對(duì)個(gè)體的誘惑，越有利于促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)的合作演化。

公式(3)中的聲譽(yù)敏感度γ體現(xiàn)了聲譽(yù)在新增個(gè)體選擇原有個(gè)體建立連接時(shí)所發(fā)揮作用的大小。由圖5可見(jiàn)，當(dāng)γ較大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)合作率較大，也較為穩(wěn)定，幾乎不受背叛誘惑b的影響；當(dāng)γ較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)合作率會(huì)隨著背叛誘惑的增大而下降。根據(jù)公式(3)，當(dāng)γ越大，聲譽(yù)值越高的個(gè)體會(huì)以越高的概率獲得新增個(gè)體的連接，當(dāng)γ大到一定程度時(shí)，新增個(gè)體會(huì)確定與網(wǎng)絡(luò)中聲譽(yù)值最高和次高的兩個(gè)個(gè)體建立連接。正如上文所分析，高聲譽(yù)者獲取高收益，影響大量其他個(gè)體向他們學(xué)習(xí)，成為合作者，將網(wǎng)絡(luò)的合作率穩(wěn)定在比較高的水平。而當(dāng)γ較小時(shí)，聲譽(yù)值所發(fā)揮的作用并不充分，聲譽(yù)較低的個(gè)體會(huì)以一定的概率得到新增個(gè)體的連接，并在較大的背叛誘惑收益下影響與其相連的所有鄰居，從而降低整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的合作率。

圖4 衰減系數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作率的影響(γ=1)Fig.4 Influence of attenuation coefficient on network cooperation rate(γ=1)

圖5 聲譽(yù)敏感度對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作率的影響(α=1)Fig.5 Influence of reputation sensitivity on network cooperation rate(α=1)

4 結(jié)論

合作對(duì)人類社會(huì)的發(fā)展具有重要意義。間接互惠是一種促進(jìn)合作演化的重要機(jī)制，聲譽(yù)作為衡量反復(fù)博弈時(shí)個(gè)體策略特征的指標(biāo)，對(duì)間接互惠機(jī)制下的網(wǎng)絡(luò)合作演化具有重要影響。本文構(gòu)建了一個(gè)基于聲譽(yù)的網(wǎng)絡(luò)成長(zhǎng)模型。該模型提供了雙動(dòng)力學(xué)的網(wǎng)絡(luò)共演化機(jī)制，即基于收益的個(gè)體策略演化和基于聲譽(yù)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化。

通過(guò)數(shù)值仿真分析網(wǎng)絡(luò)度分布的特點(diǎn)、聲譽(yù)機(jī)制的引入和背叛誘惑對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作率的影響、聲譽(yù)衰減系數(shù)和聲譽(yù)敏感度對(duì)網(wǎng)絡(luò)合作率的影響，并得出如下結(jié)論：（1）網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度分布具有冪律分布特點(diǎn)，并且，聲譽(yù)越高者，度越大。這與現(xiàn)實(shí)的人類社會(huì)網(wǎng)絡(luò)特征相符，一個(gè)人如果越是利他者，則越能吸引其他人與之交往，進(jìn)而更有機(jī)會(huì)獲得更多人的幫助而從中獲利；（2）與注重收益而產(chǎn)生個(gè)體之間的連接相比，基于聲譽(yù)的連接選擇能更好地促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)的合作演化，并且，后者比前者具有更強(qiáng)的抗拒背叛誘惑的能力；（3）聲譽(yù)衰減系數(shù)α控制著歷史聲譽(yù)對(duì)當(dāng)下聲譽(yù)累積值的貢獻(xiàn)程度，進(jìn)而影響整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的合作演化結(jié)果。α越大，越有利于網(wǎng)絡(luò)合作率的提高，但是，該特點(diǎn)只有在α足夠大時(shí)才表現(xiàn)得比較明顯，否則，歷史聲譽(yù)會(huì)因若干時(shí)間步的不斷重復(fù)衰減而幾乎為0，無(wú)法發(fā)揮作用；（4）聲譽(yù)敏感度γ控制著個(gè)體獲得連接的概率，進(jìn)而影響整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的合作演化結(jié)果。γ越大，網(wǎng)絡(luò)合作率越高，抵抗背叛誘惑的能力越強(qiáng)，并且當(dāng)γ足夠大時(shí)，背叛誘惑幾乎無(wú)法發(fā)揮作用。

本文所提出的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的演化側(cè)重于探討隨著個(gè)體數(shù)量的不斷增加，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是如何演化的；并且，網(wǎng)絡(luò)的成長(zhǎng)不是依賴于節(jié)點(diǎn)度[14]或者收益[15,16]，而是將聲譽(yù)機(jī)制引入了網(wǎng)絡(luò)成長(zhǎng)模型?，F(xiàn)實(shí)社會(huì)中，各種網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模并非固定不變，并且聲譽(yù)往往是個(gè)體選擇交往對(duì)象的決定性因素，因此，本文的研究結(jié)果將有助于人們更好地理解現(xiàn)實(shí)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)在發(fā)展成長(zhǎng)過(guò)程中，聲譽(yù)機(jī)制是如何發(fā)揮作用，并促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)的合作演化。

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