喬松珊，張建軍

（1.中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院，鄭州 450007；2.河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與管理科學(xué)學(xué)院，鄭州 450002）

0 引言

比率估計(jì)是借助輔助變量信息建立的非線性估計(jì)形式，而估計(jì)量的精度依賴于對輔助變量信息的利用程度，為此，一些學(xué)者嘗試借助輔助變量其他信息，進(jìn)一步提高比率估計(jì)效果。簡單隨機(jī)抽樣下Sisodia等[1]，Singh等[2]，Yan等[3]分別利用變異系數(shù)、峰度系數(shù)和偏度系數(shù)提出了比率估計(jì)的不同改進(jìn)形式，隨后Subramani等[4]提出了以輔助變量多個指標(biāo)作為輔助信息的比率估計(jì)量，并指出當(dāng)相關(guān)系數(shù)滿足一定條件時，該估計(jì)量的估計(jì)效率要優(yōu)于上述其它幾種改進(jìn)形式。另外，輔助信息也可以用來提高抽樣效率，排序集抽樣(RSS)便是應(yīng)用較廣泛的一種抽樣方式，該方法最初由McIntyre(1952)[5]在估計(jì)農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量時提出，比較適合樣本不易數(shù)量化，卻可以利用輔助信息排序的場合?；谠摮闃臃椒ǖ谋嚷使烙?jì)已經(jīng)有一些研究結(jié)果，Samawi等[6]用排序集樣本代替簡單隨機(jī)抽樣，分析了總體均值的比率估計(jì)問題，結(jié)果表明采用新的抽樣方法的比率估計(jì)有效降低了均方誤差；另外，Kadilar等[7]通過增加比率系數(shù)k，排序集抽樣下提出了改進(jìn)的比率估計(jì)量，并討論了系數(shù)k的確定方法；Jozani等[8]研究了總體均值的無偏和近似無偏比率估計(jì)形式，并分析了估計(jì)量的均方誤差；A1-Omari[9]采用輔助變量分位數(shù)構(gòu)造改進(jìn)的比率估計(jì)量。

雖然排序抽樣下比率估計(jì)的改進(jìn)已經(jīng)有了一些研究結(jié)果，但是這些研究結(jié)果僅利用了輔助變量的某一個指標(biāo)，考慮到簡單隨機(jī)抽樣下，以輔助變量多個指標(biāo)線為輔助信息可以提高比率估計(jì)效果，基于這一考慮，本文嘗試用排序集樣本代替隨機(jī)樣本，利用輔助變量的均值、偏度系數(shù)和中位數(shù)作為輔助信息，建立均值的改進(jìn)比率估計(jì)方法，并計(jì)算了該估計(jì)量的偏差和均方誤差，最后，通過實(shí)例進(jìn)一步說明估計(jì)量的有效性。

1 基于排序集樣本的比率估計(jì)

設(shè)(X，Y)為二維總體，從總體中1次抽取k2個個體，隨機(jī)劃分為k組，按照輔助指標(biāo)X對每組進(jìn)行由小到大排序，用小括號表示輔助變量X的次序統(tǒng)計(jì)量，相應(yīng)研究變量Y的次序統(tǒng)計(jì)量用中括號表示，記為。接著從第1組取出秩為1的統(tǒng)計(jì)量，從第2組取出秩為2的統(tǒng)計(jì)量，…，如此進(jìn)行下去，從第k組取出秩為k的統(tǒng)計(jì)量，記為，為了便于討論，簡記為 ，即i=1，2，…，k，稱此樣本為排序集樣本。上述過程重復(fù)m次，得到樣本容量為mk的樣本，記為i=1，2，…，k，j=1，2，…，m。

當(dāng)均值μX已知時，排序集抽樣下μY的比率估計(jì)為[6]：

引理1：排序集抽樣下，比率估計(jì)量μ?YRSS的近似均方誤差為：

引理2：排序集抽樣下，樣本均值XˉRSS，YˉRSS的估計(jì)方差與協(xié)方差分別為：

其中TXY(i)=(μX(i)-μX)(μY[i]-μY)，σX與σY為變量X與Y的方差，μX(i)=E(X(i))，μY(i)=E(Y(i)),ρ為兩變量相關(guān)系數(shù)。

2 利用多輔助信息的改進(jìn)比率估計(jì)

有效的比率估計(jì)要求在降低估計(jì)偏差的同時，進(jìn)一步降低估計(jì)量的均方誤差，有鑒于此，嘗試以排序集樣本代替隨機(jī)抽樣樣本，以輔助變量均值、偏度系數(shù)和中位數(shù)為輔助信息，建立均值μY的改進(jìn)比率估計(jì)模型，具體形式如下：

其中β(x)與m(x)分別為輔助變量的偏度系數(shù)和中位數(shù)。

衡量估計(jì)量優(yōu)良性的重要標(biāo)準(zhǔn)是估計(jì)量的偏差和估計(jì)誤差，為此，首先討論改進(jìn)估計(jì)量的偏差。由于排序集抽樣下樣本均值仍是總體均值的無偏估計(jì)量[10]，故有δ1),則。從而利用引理2中的結(jié)論，容易得到：

同理：

其中TX(i)=μX(i)-μX,TY[i]=μY[i]-μY，TXY(i)=TX(i)TY[i],

定理1：若θ=，當(dāng)θ·δ1＜1時，比率估計(jì)的估計(jì)偏差近似為:

其中TX(i)=μX(i)-μX,TY[i]=μY[i]-μY，TXY(i)=TX(i)TY[i],i=1，2，…，k。

其中θ=，從而又因?yàn)?，從而?/p>

定理1證明結(jié)論表明，當(dāng)循環(huán)次數(shù)m足夠大時仍為總體均值μY的近似無偏估計(jì)量。下面研究估計(jì)量的均方誤差。

定理2：當(dāng)θ·δ1＜1時，改進(jìn)比估計(jì)量的近似均方誤差為：

證明：由定理 1 中式(6)可知，μ?MRSS=μY(1+δ0)·(1+θδ1)-1，當(dāng)θ·δ1＜1時，故：

將式(2)、式(3)、式(4)代入式(7)中，得到：

3 改進(jìn)估計(jì)量的有效性

該估計(jì)量的近似均方誤差：

其中ρ為相關(guān)系數(shù)，

下面證明排序集樣本代替隨機(jī)樣本，能夠有效降低改進(jìn)比率估計(jì)量的均方誤差。

定理3：對于相同樣本容量，即n=mk時，μ?MSRS與μ?MRSS為基于隨機(jī)樣本和排序集樣本的改進(jìn)比率估計(jì)，則MSE(μ?MRSS)≤MSE(μ?MSRS)。

證明：令ωX(i)=TX(i)/μX,ωY[i]=TY[i]/μY,因?yàn)門XY(i)=TX(i)TY[i]，從而：

TXY(i)/(μXμY)=(TX(i)/μX)(TY[i]/μY)=ωX(i)ωY[i]，i=1，2，…，k。故：

當(dāng)n=mk時，利用式(8)容易得到：

定理3表明，比率估計(jì)的相同改進(jìn)形式下，利用排序集樣本代替隨機(jī)樣本能夠有效地降低估計(jì)的均方誤差，說明了基于排序集樣本和輔助變量多指標(biāo)的改進(jìn)比率估計(jì)比簡單隨機(jī)抽樣更有效。

4 隨機(jī)模擬分析

選取二維正態(tài)分布N(μX，μY，ρ)為研究總體，由于比率估計(jì)要求輔助變量與研究變量之間高度相關(guān)，為此，選取相關(guān)系數(shù)ρ=0.99，ρ=0.90，ρ=0.80三種情形分別研究，不妨選取μX=2，μY=4，σX=σY=1。給定總體分布下，對于不同的相關(guān)系數(shù)，基于matlab軟件分別生成5000個二維隨機(jī)數(shù)。采用隨機(jī)抽樣和排序集抽樣兩種抽樣方法進(jìn)行比較，樣本容量n設(shè)定為6,9,12，具體來說，簡單隨機(jī)抽樣下樣本容量n=6，9，12。然而排序集抽樣樣本容量n=mk，故mk=6時，取排序數(shù)k=3，循環(huán)數(shù)m=2；mk=9時，排序數(shù)k=3，循環(huán)數(shù)m=3；mk=12時，取k=4，循環(huán)數(shù)m=3?；趦煞N抽樣方法分別進(jìn)行100次的統(tǒng)計(jì)模擬，根據(jù)模擬結(jié)果計(jì)算出相應(yīng)估計(jì)量偏差和均方誤差。具體結(jié)果如表1所示。

表1 不同比估計(jì)量的估計(jì)結(jié)果比較

表1計(jì)算結(jié)果表明，第一，兩種抽樣下所有比率估計(jì)的均方誤差都隨著樣本量和相關(guān)系數(shù)的增加不斷變小，改進(jìn)后的比率估計(jì)變化更加明顯；第二，與隨機(jī)抽樣相比，排序集抽樣方法下的比率估計(jì)偏差和均方誤差都有一定幅度降低，說明該方法的估計(jì)結(jié)果精度較好；第三，與單一基于排序集樣本的比率估計(jì)相比，基于輔助變量多指標(biāo)組合的改進(jìn)比率估計(jì)的精度有進(jìn)一步提高，并且隨著樣本量的增加，改進(jìn)效果越明顯。

5 應(yīng)用實(shí)例

以77顆楊樹第11年的樹高和胸徑的測量數(shù)據(jù)為研究對象[11]，具體觀測數(shù)據(jù)見表2所示。選取楊樹的胸徑為輔助變量X，樹高為研究變量Y，(X，Y)構(gòu)成二維總體，采用隨機(jī)抽樣和排序集抽樣兩種方法，樣本容量分別選為15，30，60。排序集抽樣時取k=3，循環(huán)次數(shù)m=5,10,20。

表2 楊樹的樹高和胸徑

類似抽樣過程重復(fù)100次，計(jì)算出均方誤差的平均值，具體結(jié)果見表3所示。

表3 不同比估計(jì)量均方誤差結(jié)果比較

從應(yīng)用實(shí)例的計(jì)算結(jié)果容易看出，當(dāng)樣本容量固定時，用排序集樣本代替隨機(jī)樣本的改進(jìn)比率估計(jì)，估計(jì)精度明顯高于另外兩種估計(jì)方法。

6 結(jié)束語

改進(jìn)抽樣方式和修改估計(jì)形式都可以提高比率估計(jì)的精度，本文同時考慮這兩個因素，在排序集抽樣下基于輔助變量的均值、偏斜系數(shù)和中位數(shù)作為輔助信息，構(gòu)造了改進(jìn)的比率估計(jì)模型，并研究了估計(jì)量的偏差和均方誤差。最后，借助隨機(jī)模擬和應(yīng)用實(shí)例做了進(jìn)一步分析比較，驗(yàn)證了估計(jì)量的有效性。