單勤海

在某次解題比賽中有一道關(guān)于折紙的問題。該題采用了常見的一種紙條折疊方法討論了一個(gè)五邊形的問題，引起了不少數(shù)學(xué)教師的興趣?，F(xiàn)將原題呈現(xiàn)如下：

如圖，將一條長(zhǎng)度合適的、寬為a的長(zhǎng)方形紙條打個(gè)結(jié)，然后輕輕壓平，再剪去多余的部分，就得到一個(gè)五邊形ABCDEF.關(guān)于這個(gè)五邊形，我們能得到許多性質(zhì)，現(xiàn)在請(qǐng)你證明： EA=AB=BC=CD.

這個(gè)題使我們自然產(chǎn)生了一個(gè)聯(lián)想：

聯(lián)想一：一個(gè)常見的兩個(gè)寬相等的紙條相疊得到菱形（見圖1）

關(guān)于聯(lián)想一的菱形的證明過程中，我們會(huì)結(jié)合平行四邊形，使用高相等，利用等積法產(chǎn)生菱形的結(jié)果。所以等寬的紙條的重合，高相等是一個(gè)重要的要素；

通過這個(gè)聯(lián)想我們不難設(shè)計(jì)出這個(gè)題的解法：用高相等。

原題解法：不難看出圖中存在三個(gè)菱形：菱形ABCF、菱形BCDM、菱形AENB；即可證得EA=AB=BC=CD。（見圖2）

但是對(duì)問題的思考并不因?yàn)樵}得解而就此停止，我們?cè)谠}的基礎(chǔ)上不免會(huì)產(chǎn)生第二個(gè)聯(lián)想：

聯(lián)想二：這個(gè)五邊形是不是正五邊形呢？

仔細(xì)分析原題中的條件和已經(jīng)證得的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，上述題中的五邊形已經(jīng)具備了四條邊相等，根據(jù)其紙條的對(duì)邊平行不難得到兩個(gè)等腰梯形：等腰梯形ABCD、等腰梯形ABCE，進(jìn)而得到三條對(duì)角線的相等：BE=AC=BD。即上述五邊形已經(jīng)具有有“四邊相等+三條對(duì)角線相等”的初步條件。這讓我不禁想到寧波市江東區(qū)數(shù)學(xué)教研員潘小梅老師曾在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2007年第7期中發(fā)表的一篇題為《一個(gè)課題的學(xué)習(xí)及思考》的文章，在文中，潘老師對(duì)正五邊形的判定做了深入的研究，得出了“5+3”的判定方法。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是：在“邊、內(nèi)角、對(duì)角線”三個(gè)要素中，選取兩個(gè)要素，并以其中一個(gè)要素的五個(gè)量相等，另一個(gè)要素的三個(gè)量相等，即可得到正五邊形。例如“五條邊相等并且三條對(duì)角線相等的五邊形為正五邊形”。根據(jù)潘老師的研究結(jié)果，結(jié)合這個(gè)題已有的特征，我們可以猜想，紙條的寬相等必定得出相應(yīng)的高相等，而高相等如果能結(jié)合已知條件得出“5+3”模式，即可證得正五邊形。

下面介紹一下相應(yīng)的證法思路：

思路一：證明五個(gè)內(nèi)角相等（或證明五個(gè)內(nèi)角均為108°）

證法一（由寧波第七中學(xué)樊貞慧老師提供）：在圖（3）中，根據(jù)菱形的對(duì)角線性質(zhì)容易得到∠ABE=∠EBD=∠DBC；根據(jù)等腰梯形對(duì)角線的性質(zhì)容易得到∠BAC=∠ABE；∠ACB=∠DBC；所以可得∠BAC=∠ABE=∠EBD=∠DBC=∠ACB；根據(jù)△ABC的內(nèi)角和可得∠BAC=∠ABE=∠EBD=∠DBC=∠ACB =36°；∠ABC=108°，所以根據(jù)等腰△ABE和等腰△CBD可得∠BEA=∠ABE=36°；∠BDC=∠DBC=36°；根據(jù)等腰△DBE可得∠BDE=∠BED=72°；即證得了五個(gè)內(nèi)角均為108°而相等，所以正五邊形即可得證。

證法二（由寧波十九中學(xué)蔣國(guó)剛老師提供）：在圖（4）中，

將AB邊沿BC所在的直線反折回去得AB；同證法一類似可以由菱形證明∠ABE=∠EBD=∠DBC，而∠CBA=∠CBA；可得∠ABC=108°。以下證法同證法一類同，此處不做贅述。

思路二：證明五條邊相等

其中四條邊相等，即EA=AB=BC=CD前文已經(jīng)進(jìn)行證明，此處僅需證明ED與另四邊中的一邊相等即可?？蓪⑿枳C明的五邊形如圖（5）放置于直角坐標(biāo)系內(nèi)。

可設(shè)紙條寬為a，EA=AB=BC=CD=b，可得A（0，-a），B（-b，-a），C（-b-，0）

E（，0）

因此，上述兩個(gè)思路的計(jì)算結(jié)果都可以根據(jù)“5+3”要素的判定方法得到正五邊形。

但是這種得到正五邊形的方法并不是一個(gè)傳統(tǒng)的折紙法，那么兩者之間有沒有聯(lián)系？我們可以先將按上述方法折得的紙片打開，然后在進(jìn)行觀察，具體分析如下：

首先將一張矩形紙片對(duì)折后再按如上述所示折出正五邊形后再全部打開（如圖6、圖7）

根據(jù)折疊的方法，容易得到打開后的折痕六邊形ABCDEF為六條邊相等的非正六邊形，且AD恰好是圖6中的正五邊形的一條對(duì)角線，因此根據(jù)原正五邊形易得

然后將紙條沿AC折疊（如圖8），易得B點(diǎn)落在AD上的G點(diǎn)處，沿CG折疊，得折痕CG，同理得折痕BH（如圖9），折痕CG與折痕BH相交于點(diǎn)P，沿直線AP和DP折疊，易證得五邊形PABCD即為正五邊形，且與圖6中的正五邊形相似。

既然折疊可以得到正五邊形，那么尺規(guī)作圖能否得到正五邊形呢？對(duì)于這一點(diǎn)很多老師都不陌生，但是基本上都是借助圓內(nèi)得等分來(lái)作圖。但是正五邊形由于其特殊性，我們也可以采用黃金分割線的特點(diǎn)進(jìn)行作圖。具體如下（如圖10）：

①先作出AB=2AC，∠A=90°的Rt△ABC，取得AB邊上的黃金分割點(diǎn)E；

②以A為圓心，BE為半徑作圓；以B為圓心，AB為半徑作圓；兩圓交于點(diǎn)C；

③作AB的中垂線，與以B為圓心，以BE為半徑的圓相交于點(diǎn)G；

④作BC的中垂線，與以B為圓心，以BE為半徑的圓相交于點(diǎn)H；

⑤順次連結(jié)B、G、A、C、H，得正五邊形BGACH；

現(xiàn)在我們可以看到，通過折疊和尺規(guī)作圖都能得到正五邊形，那么是否折疊問題和尺規(guī)作圖問題之間能夠互相轉(zhuǎn)化呢？其實(shí)，并不盡然。尺規(guī)作圖與折疊圖形之間雖然有某些聯(lián)系存在，但是還是具有一定的區(qū)別。

首先，對(duì)于尺規(guī)作圖來(lái)說(shuō)，主要能夠作出三個(gè)基本作圖要素：

①直線型。主要是線段、射線和直線；

②曲線型。主要是圓和??；

③點(diǎn)型。主要是直線與直線的交點(diǎn)；尋找圓與直線的交點(diǎn)；尋找圓與圓的交點(diǎn)。

而折疊的基本作圖要素主要有四個(gè)：

①折疊，使兩個(gè)已知點(diǎn)重合；

②折疊，使一個(gè)已知點(diǎn)落在某條已知直線上；

③折疊，使兩條已知直線重合；

④折疊，使一條已知直線與自身重合；

將兩者的要素進(jìn)行對(duì)照，就可以發(fā)現(xiàn)，在曲線方面尺規(guī)作圖要強(qiáng)于折疊，但是在直線型問題和點(diǎn)型問題的解決上折疊比尺規(guī)作圖要強(qiáng)大的多。正因?yàn)槿绱?，在正七邊形的問題上，只能通過折疊得到，而無(wú)法用尺規(guī)作圖得到。（但是能夠通過尺規(guī)作圖能到近似的正七邊形，詳見《鉗工手冊(cè)》）

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生的折疊技能和方法是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)操作動(dòng)手能力的有效途徑，學(xué)生通過折疊的學(xué)習(xí)，既能夠提高對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，又能夠掌握和提高數(shù)學(xué)的空間想象能力和分析解決問題的應(yīng)用能力。