張?jiān)茮_，戴旭初

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230026)

0　引　言

信道編碼盲辨識(shí)技術(shù)指在通信鏈路中接收端在未知信道編碼的情況下，僅根據(jù)接收序列，利用編碼的冗余性對信道編碼進(jìn)行識(shí)別和分析，從而識(shí)別出其所使用的信道編碼方式和參數(shù). 卷積碼是目前使用最為廣泛的幾種信道編碼之一，針對卷積碼盲辨識(shí)技術(shù)的研究較多[1，2]. 如圖 1 所示，目前關(guān)于卷積碼的盲辨識(shí)研究基本上都將識(shí)別過程分為三個(gè)步驟，即參數(shù)估計(jì)、監(jiān)督矩陣識(shí)別和生成矩陣識(shí)別，并按照順序逐一完成. 由于卷積碼的生成矩陣和監(jiān)督矩陣互為對偶矩陣，因此，研究重點(diǎn)集中在參數(shù)估計(jì)和監(jiān)督矩陣識(shí)別上[3-6].

目前，k/n卷積碼的盲辨識(shí)算法中，抗噪性能較好的算法一般使用GJETP算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，再通過求解對偶碼的方式識(shí)別監(jiān)督矩陣，并通過迭代算法提升算法性能[6]. 近年來，在已知編碼參數(shù)的條件下對監(jiān)督矩陣進(jìn)行識(shí)別，可以達(dá)到非常好的抗噪性能，如文獻(xiàn)[7]提出的基于Walsh-Hadamard變換的k/n卷積碼監(jiān)督矩陣識(shí)別方法. 但是在卷積碼的參數(shù)估計(jì)方面，由于GJETP算法依賴于高斯消元法，因此對信噪比要求比較高，且GJETP算法每次迭代僅僅使用一個(gè)方陣進(jìn)行高斯消元，其對接收數(shù)據(jù)的利用并不充分，導(dǎo)致卷積碼參數(shù)估計(jì)的抗噪能力較差，從而限制了卷積碼盲辨識(shí)的整體性能.

圖 1　通信鏈路基本結(jié)構(gòu)圖Fig.1　A schematic diagram for a general communication link

本文提出一種基于Walsh變換的k/n卷積碼參數(shù)的盲估計(jì)方法，能夠充分利用接收到的數(shù)據(jù). 假設(shè)系統(tǒng)使用卷積碼進(jìn)行信道編碼，并且接收端已經(jīng)獲得經(jīng)過解調(diào)和硬判決后完整的含錯(cuò)接收序列y. 信道碼參數(shù)盲估計(jì)的主要任務(wù)是，僅根據(jù)接收序列y，對卷積碼的編碼參數(shù)(n,k,u)進(jìn)行估計(jì)，這里n表示卷積碼的碼字長度，k表示信息位長度，u表示該卷積碼的總體約束長度.

本文假定所識(shí)別的卷積碼編碼器是一個(gè)最優(yōu)編碼器，即在同樣編碼參數(shù)條件下具有最大自由距離的編碼器[8]. 最優(yōu)卷積碼編碼器在同樣參數(shù)下具有更好的抗噪性能，并具有一些好的代數(shù)性質(zhì)[9]，充分應(yīng)用這些性質(zhì)將有助于卷積碼參數(shù)的估計(jì). 此外，本文假設(shè)通信系統(tǒng)在接收端使用硬判決，因此，可以將信道模型建模為二進(jìn)制對稱信道，用以等效高斯信道和硬判決兩個(gè)處理過程.

1　卷積碼與Walsh-Hadamard變換

1.1　卷積碼的基本概念和性質(zhì)

令C(n,k,u)表示一個(gè)具有k個(gè)輸入，n個(gè)輸出的卷積碼，其中u表示該卷積碼的總體約束長度. 可以使用一個(gè)k×n的多項(xiàng)式矩陣G(D)來表示卷積碼C的生成矩陣，即

(1)

式中：gi,j(D)∈F2[D], ?i=1,…,k, ?j=1,…,n，是生成多項(xiàng)式；D代表延時(shí)操作符；F2[D]表示二元域上多項(xiàng)式環(huán).

與文獻(xiàn)[6]相同，本文令ui表示生成矩陣G(D)第i行的記憶深度，則卷積碼的總體約束長度u可以表示為

(2)

如果記卷積碼C的對偶碼的生成矩陣為H(D)，則H(D)為G(D)的一個(gè)監(jiān)督矩陣，且文獻(xiàn)[8]證明了在最優(yōu)編碼器條件下，監(jiān)督矩陣的總體約束長度u⊥=u.

1.2　Walsh-Hadamard變換

Walsh-Hadamard變換(以下簡稱Walsh變換)是一種廣義的傅里葉變換，目前在視頻編碼、快速頻譜分析中都有廣泛的應(yīng)用[10]. 本文使用遞歸的方式定義k階Walsh-Hadamard矩陣，即

(3)

Walsh變換定義W為整數(shù)域向量到自身的一個(gè)映射，即W∶Zn→Zn，記整數(shù)域上的向量v=[v0,v1,…,v2N-1]，則可以將Walsh變換表示為

W(v)=vH(N)=V=[V0,V1,…,V2N-1]，

(4)

稱V是v的Walsh譜. 令

(5)

稱Vmax為v的Walsh譜峰值.

文獻(xiàn)[11]給出了關(guān)于Walsh-Hadamard矩陣的另一個(gè)重要性質(zhì)，其第i行第j列的元素Hij可以表示為

(6)

式中：in和jn代表i和j對應(yīng)的二進(jìn)制向量，且i,j= 0.1,…,2N-1.

1.3　利用Walsh變換求解二元域上線性方程組

在數(shù)字序列分析中，經(jīng)常會(huì)遇到求解二元域上線性方程組AxT=0問題，這里A是定義在二元域上的mn維矩陣，x是定義在二元域上待求解的1n維行向量，T代表轉(zhuǎn)置. 根據(jù)文獻(xiàn)[11]，可以利用Walsh變換求解該二元域的線性方程組，具體的方法為：

1) 根據(jù)所需的置信度或者虛警概率選擇合適的判決門限γ；

2) 統(tǒng)計(jì)A的行向量出現(xiàn)頻次，構(gòu)造一個(gè)用以Walsh變換的行向量v；

3) 對v應(yīng)用Walsh變換得到其Walsh譜V；

4)V中大于門限γ的分量下標(biāo)對應(yīng)的二進(jìn)制向量即為AxT=0的解集.

2　卷積碼參數(shù)的盲估計(jì)

卷積碼參數(shù)盲估計(jì)的目的是僅根據(jù)接收序列y，估計(jì)出卷積碼的參數(shù).

圖 2　構(gòu)造截?cái)嗑仃嘡i的示例圖Fig.2　Examples of constructing truncation matrix Ri

2.1　基本原理

首先，利用接收序列y構(gòu)造截?cái)嗑仃? 接收序列y是一個(gè)比特流序列，即y=[y1,y2,…]. 依次使用序列y的元素從左至右、從上至下構(gòu)造一個(gè)Ll的矩陣Ri，l表示截?cái)嗑仃嚨牧袛?shù)，并稱Ri為接收序列y的截?cái)嗑仃嚕瑘D 2 給出了截?cái)嗑仃嚨膬蓚€(gè)例子.

其次，考察截?cái)嗑仃嘡i的秩虧特性. 假設(shè)傳輸信道無噪聲，即接收序列y不含錯(cuò)，根據(jù)文獻(xiàn)[6]，由k/n卷積碼編碼的接收序列y構(gòu)成的截?cái)嗑仃嘡i在二元域下具有如式(7)的秩特性

(7)

式中：α是正整數(shù)；nc是當(dāng)l從小到大遞增時(shí)，第一次使得截?cái)嗑仃嘡l秩虧的l，且

(8)

根據(jù)上述性質(zhì)可知，隨著l的增加，截?cái)嗑仃嘡i會(huì)有周期性的秩虧，其周期就是碼字長度n. 基于秩虧的周期性以及式(7)和式(8)的關(guān)系，可以將需要估計(jì)的三個(gè)參數(shù)(n,k,u)聯(lián)系起來. 因此，分析截?cái)嗑仃嘡i的秩虧特性，可以實(shí)現(xiàn)卷積碼參數(shù)的估計(jì).

2.2　魯棒性估計(jì)方法

對于有噪信道，由于噪聲的干擾，式(7)將不再成立. 考慮到含噪的截?cái)嗑仃嘡i是否秩虧等價(jià)于含錯(cuò)方程是否有非平凡解，從而可以根據(jù)1.3中給出的方法來求解這個(gè)二元域上線性方程組.

選取合適的截?cái)嗑仃囎畲罅袛?shù)lmax，分別對l=1,2,…,lmax的截?cái)嗑仃嘡i應(yīng)用Walsh變換，得到其Walsh譜Vi，用z(l)表示Vi中大于門限值的分量數(shù)量，即

Z(l)=card{Vli>γ|i=1,2,…,2′-1},

(9)

則兩個(gè)非零z(l)之間的間隔就是要估計(jì)的參數(shù)n，且可以使用

rank(Ri)=l-[log2(Z(k)+1)]

(10)

來估計(jì)Rl的秩.

假設(shè)找到相鄰的兩個(gè)秩虧的截?cái)嗑仃嘡l1和Rl2，并得到其秩rank(Rl1)和rank(Rl2)，則有

(11)

(12)

(13)

為了進(jìn)一步增加參數(shù)估計(jì)的魯棒性，可加入相鄰譜峰值差距不能過大這一約束條件. 若用d表示相鄰譜峰值的比值，則一般可取d∈[0.7,1.5].

基于上述分析，一個(gè)完整的卷積碼參數(shù)的魯棒性估計(jì)算法描述為：

輸入： 接收序列y，判決門限γ，截?cái)嗑仃嚨男袛?shù)L

初始化：l=1，f=0，h=0，d1，d2whilel

使用接收序列y構(gòu)造L×l的截?cái)嗑仃嘡i

對Ri應(yīng)用Walsh變換得到譜向量Vl，以及Vl的譜峰值mi

Z(l)=card{Vli>γ|i=1,2,…,2l-1}

ifml>max(γ,d1*h) then

iff=0‖f=l-1‖ml>d2*hthen

f=l

h=ml

else

返回參數(shù)，算法結(jié)束

end

end

l=l+1

End

在參數(shù)估計(jì)算法中，d1和d2是用以控制判斷秩虧的譜峰值差距的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，一般取d1=0.7，d2=1.5即可；f是前一個(gè)譜峰對應(yīng)的截?cái)嗑仃噷挾龋琱是前一個(gè)譜峰的譜峰值.

最后，簡要分析一下卷積碼參數(shù)盲估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度. 可以看出參數(shù)識(shí)別方法的主要計(jì)算量在于Walsh變換. 對于長度為l的實(shí)序列，快速Walsh變換的復(fù)雜度為O(l·2l)，因此，本文方法的計(jì)算復(fù)雜度為O(lmax·2lmax).

2.3　門限的選擇

在卷積碼參數(shù)估計(jì)算法中使用了一個(gè)檢測門限，用來挑選Walsh譜中的譜峰. 如果選取過大，會(huì)導(dǎo)致在信道傳輸錯(cuò)誤率較高的情況下丟掉真實(shí)譜峰，即漏警； 如果選取過小，又會(huì)導(dǎo)致一些虛假譜峰的出現(xiàn)，也就是所謂的虛警. 本小節(jié)將分析研究門限γ與虛警概率P之間的關(guān)系，在達(dá)到預(yù)期虛警概率P的同時(shí)，最小化γ，使得漏警概率最低，從而提升參數(shù)估計(jì)算法的性能.

對截?cái)嗑仃嘡l應(yīng)用Walsh變換，可以看作將Rl中的行映射到Walsh-Hadamard矩陣中的行，再將被映射的行在整域中相加，得到的行向量就是Walsh變換后的結(jié)果. 因此，截?cái)嗑仃嘡l的Walsh譜第i個(gè)分量i=1,2,…,2l-1，也是截?cái)嗑仃嘡l中的行，與Walsh-Hadamard矩陣中的元素相對應(yīng)，每一行映射成1或-1. 由于Rl的行具有隨機(jī)性，其映射結(jié)果可以看作一個(gè)取值為{1,-1}且滿足等概分布的離散隨機(jī)變量，記為ξi,j,j=1,2,…,L. 則對于Rl的Walsh譜的第i個(gè)分量，令

如果i對應(yīng)的二進(jìn)制向量并不是線性方程組的一個(gè)解，但有ξi>γ，則產(chǎn)生一次虛警. 記ξi的概率密度函數(shù)為FL(x)，由于ξi,j,j=1,2,…,L，滿足獨(dú)立同分布，可以根據(jù)De Moivre-Laplace定理得到

(14)

式中：E{ξij}和Var{ξi,j}分別表示ξi,j的均值和方差；P{·}是概率函數(shù). 由于E{ξi,j}=0以及Var{ξi,j}=1，所以，Φ(x)是正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù). 記單個(gè)譜峰分量產(chǎn)生虛警的概率為Pfa，當(dāng)L較大時(shí)，由式(14) 可以得到

(15)

對于長度為2l的Walsh譜，當(dāng)各分量相互獨(dú)立時(shí)，其整體的虛警概率PF為

PF=1-(1-Pfa)2l.

(16)

如果要求參數(shù)估計(jì)算法的整體虛警概率不大于P，即PF≤P，則根據(jù)式(15)和(16)可以得到

(17)

式中：Φ-1(·)表示Φ(·)的反函數(shù).

在保證整體虛警概率小于等于P同時(shí)，應(yīng)使漏警概率最小，即γ應(yīng)取較小的值. 因此，式(17)取等號(hào)即可得到最優(yōu)門限γopt，為

(18)

圖 3　C(3,1,3)碼的門限值γ與虛警概率PF關(guān)系Fig.3　The relationship between threshold γ and false alarm probability PF of C(3,1,3)

3　仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1　檢測門限γ與虛警概率PF的關(guān)系

主要考察在不同的檢測門限γ下，通過實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得到的虛警概率，以及與基于理論分析得到的虛警概率之間的關(guān)系.

仿真條件設(shè)置為： 采用C(3,1,3)碼編碼器對數(shù)據(jù)信息進(jìn)行編碼，數(shù)據(jù)矩陣Rl的行數(shù)L=1 000，統(tǒng)計(jì)結(jié)果是通過10 000次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值.

圖 3 給出了在信道傳輸錯(cuò)誤率Pe=0,0.01,0.03,0.05四種情況下，參數(shù)估計(jì)算法門限γ與虛警概率PF的關(guān)系曲線，圖中理論曲線由式(15)和式(16)計(jì)算得到，其余曲線都是通過實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)獲得的.

從圖 3 可以看到，理論曲線是真實(shí)虛警概率的上界，并且隨著Pe的增大，實(shí)驗(yàn)結(jié)果逐漸接近于理論曲線. 這是因?yàn)槭?16)是在Walsh譜分量之間相互獨(dú)立這一假設(shè)下導(dǎo)出的，但在無噪或低噪聲情況下，這一條件并不嚴(yán)格成立，各個(gè)譜分量之間有一定的相關(guān)性. 但是隨著噪聲增大，從Rl到Walsh譜之間的映射趨向隨機(jī)，導(dǎo)致各個(gè)譜分量之間的相關(guān)性減弱，從而使得實(shí)際關(guān)系曲線逼近理論曲線.

另外，通過圖 3 還可以觀察到，在給定虛警概率的約束下，由式(18)確定的譜峰檢測門限γopt要高于實(shí)際需要的門限，這將導(dǎo)致漏警概率有所增加. 但是在實(shí)際應(yīng)用中，由于缺乏信道傳輸錯(cuò)誤率、編碼器參數(shù)等先驗(yàn)信息，利用式(18)來確定檢測門限仍是一個(gè)較好的選擇.

3.2　卷積碼參數(shù)盲估計(jì)算法的性能與信道傳輸錯(cuò)誤率的關(guān)系

針對四個(gè)不同的卷積編碼器，考察本文提出的參數(shù)估計(jì)方法的性能與信道傳輸錯(cuò)誤率的關(guān)系，并與文獻(xiàn)[6]中GJETP算法的性能進(jìn)行對比.

仿真條件設(shè)置為： 信息序列為3×104Bit，截?cái)嗑仃嘡l最大列寬lmax=30，行數(shù)L=1 000，四個(gè)卷積編碼器分別是C(2,1,6),C(3,1,3),C(3,2,3)和C(4,1,4).

用參數(shù)估計(jì)的正確率Pc作為評價(jià)參數(shù)估計(jì)方法性能優(yōu)劣的指標(biāo)，其定義為

Pc=參數(shù)估計(jì)正確的次數(shù)/蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)的總次數(shù).

仿真實(shí)驗(yàn)中，蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)設(shè)為1 000.

圖 4 給出了本文提出的算法(Walsh)、GJETP算法的參數(shù)估計(jì)正確率Pc與信道傳輸錯(cuò)誤率Pe的關(guān)系曲線，其中圖 4(a)～(d) 分別對應(yīng)四種不同編碼器.

圖 4　四個(gè)卷積碼的參數(shù)估計(jì)正確率Pc與信道傳輸錯(cuò)誤率Pe關(guān)系Fig.4　The relationship between probability of correct parameters estimation Pc and channel error probability Pe of four convolutional encoders

從圖 4 可以看出，本文提出算法的性能對不同編碼器均優(yōu)于GJETP算法； 在Pc相同的條件下，本文方法所對應(yīng)的Pe要高于GJETP算法，這表明本文方法的抗噪性能要優(yōu)于GJETP算法. 另一方面，在Pe≤0.07時(shí)，本文方法對不同編碼器的識(shí)別正確率均達(dá)到了95%以上.

4　結(jié)　論

本文提出了一種基于Walsh變換的卷積碼參數(shù)盲估計(jì)方法，可以從含有較大噪聲的接收序列中完成k/n卷積碼編碼參數(shù)(n,k,u)的估計(jì). 相較于現(xiàn)有的算法，本文提出的方法具有更好的抗噪性能，在信道傳輸錯(cuò)誤率Pe≤0.07時(shí)，本文方法對不同編碼器的識(shí)別正確率均達(dá)到了95%以上，具有良好的實(shí)用價(jià)值.

在很多使用卷積碼編碼的通信系統(tǒng)中可能對卷積碼加入刪余結(jié)構(gòu)，因此，如何識(shí)別其母碼和刪余結(jié)構(gòu)是未來工作的一個(gè)方向； 另一方面，現(xiàn)有通信系統(tǒng)接收機(jī)很多采用軟判決而不是硬判決方式進(jìn)行譯碼，因此，改進(jìn)算法使之適用于軟判決譯碼的通信系統(tǒng)是一個(gè)值得深入研究的一個(gè)課題.