劉澤鵬，陳媛媛

(1. 中北大學(xué) 光電信息與儀器工程工程研究中心，山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0　引　言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)于圖像質(zhì)量的要求越來(lái)越高，然而，大部分獲得的圖像由于噪聲的存在，其質(zhì)量往往達(dá)不到人們的要求. 噪聲降低了圖像的質(zhì)量，使得人們不能有效的獲取到圖像中的信息，也給圖像的后續(xù)處理帶來(lái)各種困難. 因此，需要一種快速且有效的方法來(lái)去除圖像中的噪聲.

傳統(tǒng)的圖像去噪方法有空域和頻域兩大類(lèi)，其工作思想主要是基于圖像的有效信息和噪聲頻率特性的差別來(lái)去除噪聲. 空域去噪的方法主要包括均值濾波、高斯濾波、中值濾波和維納濾波法等，該類(lèi)方法的主要缺點(diǎn)是不能很好地保留圖像的邊緣信息，降噪后的圖像質(zhì)量視覺(jué)較差； 頻域去噪方法主要是通過(guò)對(duì)含有噪聲的圖像進(jìn)行各種變換，例如小波變換、小波包變換等，從而進(jìn)行降噪，該類(lèi)方法雖然降噪效果優(yōu)于空域法，但效果不穩(wěn)定，算法的設(shè)計(jì)比較復(fù)雜.

本文將壓縮感知[1-4]理論運(yùn)用到圖像去噪過(guò)程，利用壓縮感知中的算法對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)和噪聲去除. 目前，常用的重構(gòu)算法[5]主要分為兩大類(lèi)： 基于L1范數(shù)的凸優(yōu)化算法和基于L0范數(shù)的貪婪算法. 凸優(yōu)化算法的重構(gòu)思想是通過(guò)添加約束項(xiàng)來(lái)逼近最優(yōu)解，主要算法包括基追蹤(basic pursuit，BP)、全變分(total variation, TTV)等； 貪婪算法的重構(gòu)思想是通過(guò)選擇合適的原子并通過(guò)一系列迭代實(shí)現(xiàn)信號(hào)的原始逼近，該類(lèi)算法主要包括匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，MP)、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)、壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling orthogonal matching pursuit，CoSaMP)以及子空間追蹤(subspace pursuit，SP)等. 對(duì)比兩種算法，基于L0范數(shù)的貪婪算法雖然重構(gòu)速度優(yōu)于凸優(yōu)化算法，但是其重構(gòu)精度沒(méi)有凸優(yōu)化算法高，而且隨著凸優(yōu)化算法的改進(jìn)，其部分算法的重構(gòu)速度已不亞于貪婪算法. 近年來(lái)，眾多學(xué)者基于壓縮感知對(duì)圖像去噪提出了各種方法[5-12]，取得了不錯(cuò)的效果. 本文采用全變分[13]算法中的TVAL3算法對(duì)含噪圖像進(jìn)行去噪，通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真，表明本文的算法優(yōu)于其它壓縮感知算法.

1　壓縮感知基本理論

2006年，美國(guó)科學(xué)家Donoho、Candès和Tao等人提出壓縮感知[1-4](compressed sensing, CS)理論，理論指出，假如信號(hào)本身是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后，通過(guò)求解一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題就可以從低維空間以高概率重構(gòu)出原信號(hào).

假設(shè)x∈RN的一維信號(hào)，可以通過(guò)某個(gè)稀疏基φ=[φ1,φ2,…,φN]對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，信號(hào)x∈RN在基φ下的表示為

(1)

式中： 當(dāng)向量θ中絕對(duì)值較大的元素很少，則可以認(rèn)為θ是稀疏的或者是可壓縮的. 如果向量θ中只有K個(gè)元素值不為零，其它元素值都為零，則稱θ為K稀疏信號(hào)(嚴(yán)格稀疏)，其中K?N.

通過(guò)一個(gè)與稀疏基不相關(guān)的測(cè)量矩陣Φ對(duì)信號(hào)x∈RN進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量矩陣Φ∈RM×N(M?N),可以得到測(cè)量向量y. 式(2)為信號(hào)x經(jīng)過(guò)測(cè)量矩陣Φ得到測(cè)量向量y的過(guò)程.

y=Φx=Φφθ=Aθ,

(2)

式中：A為傳感矩陣，也叫CS信息算子，A∈RM×N，y∈RM，為測(cè)量值. 對(duì)于給定的y，從式(2)可求出θ是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，但由于M?N, 即方程的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù), 是一個(gè)欠定性問(wèn)題, 一般來(lái)講無(wú)確定解，因此重構(gòu)過(guò)程是一個(gè)NP難問(wèn)題. 對(duì)此，Candès和Tao研究并證明了如果傳感矩陣A滿足有限等距性質(zhì)(RIP)[14,15]，在某種意義來(lái)說(shuō)，等同于測(cè)量矩陣Φ和稀疏基φ不相關(guān).

定義1(RIP)對(duì)于矩陣A∈RM×N，若對(duì)任意θ∈RI和常數(shù)δ∈(0,1), 如果

(1-δ)‖θ‖2≤‖AIθ‖2≤(1+δ)‖θ‖2

(3)

成立，其中θ為K稀疏信號(hào)，I?{1,2，…，N}，︱I︱≤K，AI表示由索引集合I?{1,2，…，N}在A中列向量構(gòu)成的子矩陣，則稱矩陣A滿足有限等距性(RIP). 通常稱使得式(3)成立的參數(shù)δ的最小值為有限等距常數(shù)(RIC)，記為δm.

式(2)中的θ可以求解L0最小范數(shù)而精確重構(gòu)，重構(gòu)公式為

min‖θ‖0s.t.y=Aθ.

(4)

由于式(3)是一個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題，求解是一個(gè)NP難問(wèn)題. 由此轉(zhuǎn)化為求解L1最小范數(shù)問(wèn)題，重構(gòu)公式為

min‖θ‖1s.t.y=Aθ.

(5)

式(4)為一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，于是可以化簡(jiǎn)為線性規(guī)劃問(wèn)題，求解該問(wèn)題典型的算法為凸優(yōu)化算法，凸優(yōu)化算法是將非凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)而求解，如基追蹤(BP)算法、梯度投影方法和全變分(TV)算法等.

2　基于TVAL3的圖像去噪

2.1　TVAL3重建算法

TVAL3[5]算法以全變分正則化模型為基礎(chǔ)，采用增強(qiáng)拉格朗日(augmented lagrangian method)和交替方向變換(alternating direction method)求解目標(biāo)函數(shù). 該方法速度快，重建質(zhì)量高，而且靈活性好，支持多種測(cè)量矩陣和約束條件.

TVAL3算法模型為全變分正則化(total variation regularization)，即

(6)

式中：A為測(cè)量矩陣；u為輸入的原始圖像；i和j表示圖像的行與列；b為測(cè)量值；Diu表示圖像的變分或梯度值. 其中圖像的全變分公式為

(7)

采用拉格朗日方法將目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于

(8)

引入松弛變量w，模型變成

(9)

目標(biāo)函數(shù)則變成

(10)

通過(guò)引入松弛變量和增廣拉格朗日方法，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(11)

采用交替方向變換方法，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈨蓚€(gè)子問(wèn)題，即求w和u，通過(guò)迭代方法首先求解w，再求u.

w的子問(wèn)題為

(12)

u的子問(wèn)題為

(13)

采用交替最小化法求解式(10)，獲得

uk+1=uk-αkdk,

其中，

根據(jù)公式，對(duì)于所有的i, 有

vi←vi-β(Diui-wi),

λ←λ-μ(Aui-b).

2.2　壓縮感知的去噪圖像模型

本文所處理加性高斯白噪聲的含噪圖像的模型為

y=x+n,

(14)

式中：y為含噪圖像；x為清晰圖像；n為加性噪聲. 首先根據(jù)壓縮感知理論，對(duì)含噪圖像進(jìn)行稀疏表示，即

y=x+n=φs,

(15)

式中：φ為對(duì)含噪圖像采用的稀疏基. 然后對(duì)含噪圖像進(jìn)行觀測(cè)測(cè)量，為

Y=X+N=ΦS.

(16)

最后，通過(guò)TVAL3算法求解一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行圖像的重構(gòu)和去噪，即

(17)

通過(guò)求解式(17)的最小目標(biāo)函數(shù)來(lái)估計(jì)清晰圖像的稀疏表示，然后恢復(fù)重建圖像，從而去除噪聲.

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)仿真所用的環(huán)境為Intel(R) Core(TM) i5-4200U CPU @1.60GHz 2.30 GHz 4.00GBRAM Window7.32bit MATLAB 7.11.0(2010b). 實(shí)驗(yàn)采用256×256的Albert.Einstein作為原始圖像，對(duì)原始圖像添加均值為0，方差為0.005的加性高斯白噪聲作為含噪圖像，采用離散小波變換(DWT)對(duì)含噪圖像進(jìn)行稀疏化處理，選取高斯隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣Φ∈RM×N. 為了說(shuō)明本文算法的重構(gòu)效果，將本文算法與其它壓縮感知的重建算法OMP和SP進(jìn)行對(duì)比，最后對(duì)三種算法的峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR/dB)和重構(gòu)時(shí)間(t/s)進(jìn)行了對(duì)比分析.

(18)

式中：I(i,j)為原始圖像像素值；I′(i,j)為恢復(fù)圖像像素值；I(i,j)max表示圖像顏色的最大數(shù)值，8 bit圖像取值最大為255.

在采樣率分別為0.4和0.8時(shí)，通過(guò)利用本文重建算法與其它對(duì)比的壓縮感知重建算法OMP和SP進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真對(duì)比，重構(gòu)結(jié)果對(duì)比如圖 1 和圖 2 所示.

圖 1　采樣率為0.4時(shí)三種算法的重建圖像Fig.1　The reconstructing image of the three algorithms at a sampling rate of 0.4

圖 2　采樣率為0.8時(shí)三種算法的重建圖像Fig.2　The reconstructing image of the three algorithms at a sampling rate of 0.8

圖 1 和圖 2 中，(a)是原始圖像，(b)是添加均值為0，方差為0.005的加性高斯白噪聲含噪圖像，(c)是三種算法各自恢復(fù)的圖像. 對(duì)比上述的恢復(fù)圖像及三種算法的PSNR和重構(gòu)時(shí)間，可以看出，采樣率越高，圖像的恢復(fù)效果越好. 可見(jiàn)本文算法在重構(gòu)性能上明顯優(yōu)于其它兩種對(duì)比的壓縮感知重建算法. 而且隨著采樣率的提高，本文算法的重建時(shí)間縮短，原因是由于采樣率提升，TVAL3算法求解所需的迭代次數(shù)減少，在采樣率為0.4時(shí)，TVAL3算法所需的迭代次數(shù)為78次，但采樣率在 0.8 時(shí)，TVAL3算法的迭代次數(shù)減少到57次，所以所需時(shí)間變短.

綜上所述，通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真的重構(gòu)效果和數(shù)據(jù)對(duì)比可知，本文采用的TVAL3算法對(duì)含噪圖像的重構(gòu)效果和噪聲去除明顯優(yōu)于對(duì)比的壓縮感知算法，使得重構(gòu)圖像的效果越來(lái)越好，重構(gòu)時(shí)間變短.

4　結(jié)　語(yǔ)

本文針對(duì)傳統(tǒng)圖像去噪的不足，采用了一種基于壓縮感知的圖像去噪方法，該方法以全變分正則化為模型，采用增強(qiáng)拉格朗日和交替方向變換求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. 通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真表明，該方法能夠很好地進(jìn)行圖像重構(gòu)和噪聲去除，在含噪圖像的重構(gòu)效果和噪聲去除方面明顯優(yōu)于對(duì)比的壓縮感知算法.