曾小林， 吳明智

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400067； 2.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074)

0 引 言

測度論中，原子是一個(gè)很基礎(chǔ)的概念。給定一個(gè)測度空間(Ω，F(xiàn)，P)，設(shè)A∈F，A?Ω，如果P(A)>0且對A的任意可測子集B，要么P(B)=0， 要么P(B)=P(A)，則稱A為一個(gè)P-原子，簡稱為原子[1]；如果A的任意可測子集B都不是原子，就稱A是一個(gè)無原子可測集。原子的數(shù)學(xué)定義與經(jīng)典物理學(xué)中的原子概念是一致的：原子里面除了它自己以外，不含比它還小的原子。

如果測度P對應(yīng)的σ-代數(shù)F中沒有任何原子，就稱P為非原子測度。當(dāng)提到無原子可測集時(shí)，不言自明地有一個(gè)測度，將它限制在無原子可測集上就可形成一個(gè)非原子測度。所以為了簡潔起見，專注于討論無原子可測集。

1922年，SIERPINSKI W建立了如下定理。

定理1 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)測度空間，A∈F是一個(gè)無原子可測集，使得P(A)=a>0，那么對任意實(shí)數(shù)b∈[0，a]，存在B∈F，B?A使P(B)=b。盡管這個(gè)定理看起來很簡單，但是它的證明相當(dāng)復(fù)雜，即使經(jīng)過后人大量簡化，依然需要使用很專門的知識和高超的技巧[2]。

原子的概念在隨機(jī)賦范模理論的研究中常被用到。比如：隨機(jī)賦范模中的Banach-Alaoglu定理與BBKS定理[3]的研究、從閉區(qū)間到完備隨機(jī)賦范模的抽象值函數(shù)Riemann可積性的進(jìn)一步研究[4]、各種隨機(jī)共軛空間關(guān)系的深入討論[5]、隨機(jī)賦范模上非零連續(xù)線性泛函的存在性[6]等。在研究可測函數(shù)的分布函數(shù)與非增函數(shù)的重排函數(shù)時(shí)，程民德等[7]學(xué)者在其專著中也使用了定理1。

鑒于原子這一基礎(chǔ)概念在隨機(jī)泛函分析和實(shí)分析中的重要性，它的基本性質(zhì)引起格外關(guān)注。針對測度在無原子可測集上的取值問題，提出兩個(gè)新的命題，即第2節(jié)的命題2，3進(jìn)行詳細(xì)討論，從而對定理1給出一種新的證明，同時(shí)也完善了人們對文獻(xiàn)[7]中相應(yīng)問題的認(rèn)識。

1 預(yù)備知識

隨機(jī)變量集合的性質(zhì)，如同數(shù)學(xué)分析中實(shí)數(shù)集的性質(zhì)一樣，在相關(guān)研究領(lǐng)域中扮演重要的角色?？紤](Ω，F(xiàn)，P)上的實(shí)值隨機(jī)變量全體形成的集合L0(F，R)，下述重要命題是眾所周知的：

命題1[8]設(shè)D是L0(F，R)中的某個(gè)非空集合，則必有D的可數(shù)子集{an，n≥1}，{bn，n≥1}，使得∨D=∨n≥1an，∧D=∧n≥1bn。

進(jìn)一步，如果D關(guān)于L0(F，R)中的序≤是上(下)定向的，那么上述序列{an，n≥1}({bn，n≥1})可以選為關(guān)于序≤是非降的(非增的)，相應(yīng)結(jié)論簡記為an↑∨D(bn↓∧D)。

所謂的上定向是指：如果a，b∈D，則存在c∈D使得a≤c，b≤c。下定向是指：如果a，b∈D，則存在d∈D使得d≤a，d≤b。

而L0(F，R)中的序≤是幾乎處處意義下的不等式關(guān)系。涉及隨機(jī)變量的運(yùn)算都是幾乎處處意義下的，不再一一指明。

2 主要結(jié)果及其證明

引理1 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)測度空間，A∈F 是一個(gè)無原子可測集，使得P(A)=a>0，則存在A1∈F，使得A1?A且P(A1)∈[a/3，2a/3]。

證明(反證法)假設(shè)對任意C∈F，C?A有P(C)2a/3。

因A中無原子，必存在B∈F，B?A使得0

0

當(dāng)0

注意集族C(C0) = {D∈F|D?C0，2a/3 a/3時(shí)，由反證假設(shè)知P(B)>2a/3，從而B∈C(C0)；當(dāng)P(B)≤a/3時(shí)，P(C0B)=P(C0)-P(B)>2a/3-a/3=a/3，亦由反證假設(shè)知P(C0B)>2a/3，從而C0B∈C(C0)。因此C(C0)是非空的。

令ξ= ∧{ID：D∈C(C0)}

先證{ID：D∈C(C0)}是下定向的。事實(shí)上，任取D1，D2∈C(C0)，則Di?C0，2a/3

P(D1)-P(C0D2)>2a3-a/3=a/3。

仍然由反證假設(shè)知P(D1∩D2)>2a/3，所以D1∩D2∈C(C0)，顯然IDi≥ID1∩D2，i=1，2，因此{(lán)ID：D∈C(C0)}是下定向的。

命題2 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)測度空間，A∈F 是一個(gè)無原子可測集，使得P(A)=a>0，則A中存在單調(diào)不增的子集列{An，n≥1}?F滿足P(An)∈[a/3n，2na/3n]。

證明(數(shù)學(xué)歸納法)對集A運(yùn)用引理1得：存在A1∈F，使得A1?A且P(A1)∈[a/3，2a/3]。記P(A1)=a1。

假設(shè)對n=k，存在A1，A2，…，Ak∈F使得Ak?Ak-1?…?A1?A且P(Ak)∈[a/3k，2ka/3k]，記P(Ak)=ak，對集Ak運(yùn)用引理1得：存在Ak+1∈F，使得Ak+1?Ak且P(Ak+1)∈[ak/3，2ak/3]，由于ak∈[a/3k，2ka/3k]，故得P(Ak+1)∈[a/3k+1，2k+1a/3k+1]。證畢。

命題3 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)測度空間，A∈F 是一個(gè)無原子可測集，使得P(A)≥λ>0，則存在C∈F，使得C?A且λ/3≤P(C)≤2λ/3。

證明(反證法)假設(shè)對任意C∈F，C?A有P(C)<λ/3或P(C)>2λ/3。

觀察集族G = {C∈F|C?A，0 0，由命題2知：A中存在單調(diào)不增的子集列{An，n≥1}?F滿足P(An)∈[a/3n，2na/3n]，由于2n/3n→0，故當(dāng)n充分大時(shí)2na/3n<λ/3，此時(shí)0

令η= ∨{IC∶C∈C}，類似引理1中的證明，易得對任意的C1，C2∈C，有C1∪C2∈C，從而易知集合{IC∶C∈G}是上定向的。

當(dāng)P(F)=λ/3時(shí)，結(jié)論成立。

當(dāng)P(F)<λ/3時(shí)，注意P(AF)=P(A)-P(F)>λ-λ/3=2λ/3，記P(AF)=b>0， 對集AF運(yùn)用命題2得：AF中存在單調(diào)不增的子集列{Bn，n≥1}?F 滿足P(Bn)∈[b/3n，2nb/3n]。故當(dāng)n充分大時(shí)，00矛盾。證畢。

下面給出定理1的一種新證明。

定理1之證先用數(shù)學(xué)歸納法證明事實(shí)(1)：

(1)

歸納基礎(chǔ)：不失一般性設(shè)0b，由命題3得：存在C1∈F，使得C1?A且b/3≤P(C1)≤2b/3。則b1=b-P(C1)∈[b/3，2b/3]。由于P(AC1)=P(A)-P(C1)=a-P(C1)>b-P(C1)=b1，由命題3得：存在C2∈F，使得C2?AC1且b1/3≤P(C2)≤2b1/3。則b2=b-P(C1∪C2)=b-P(C1)-P(C2)=b1-P(C2)∈[b1/3，2b1/3]?[b/32，22b/32]。

(n=2，…k)。只需證存在滿足條件的Ck+1。

事實(shí)(1)得證。

注記1 文獻(xiàn)[7]第163頁給出了定理1的另一個(gè)巧妙證明，依賴于可測集剖分和實(shí)數(shù)集上確界技巧。但需要指出的是，那個(gè)證明過程中F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n如果只含空集?，方法將會失效。人們自然會問這種情況可能出現(xiàn)嗎？利用命題2立即可以看出這是不可能的。主要結(jié)果的證明中所采用的反證法和分情形討論法在實(shí)變函數(shù)、高等概率論的研究中也是很普遍的。

3 結(jié)束語

利用下定向的隨機(jī)變量集合的下確界性質(zhì)，通過對可測集細(xì)致的剖分，結(jié)合可測集的性質(zhì)、測度的有限可加性與從上連續(xù)性，憑借反證法證明了測度為正數(shù)a的無原子可測集中必存在某個(gè)可測子集，使得其測度落在區(qū)間[a/3，2a/3]內(nèi)。然后，用數(shù)學(xué)歸納法證明了無原子可測集中必有一個(gè)單調(diào)不增的子集列，使得對無論多小的正實(shí)數(shù)區(qū)間，子集列中總存在某個(gè)集，其測度落在區(qū)間內(nèi)。接著，以上述結(jié)論與類似方法為基礎(chǔ)，證明了測度不小于某正實(shí)數(shù)λ的無原子可測集中必存在某可測子集，使得其測度落在區(qū)間[λ/3，2λ/3]內(nèi)。進(jìn)一步給出下述經(jīng)典事實(shí)的一個(gè)新證明：如果0

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