范桁1)2)?

1)(中國科學(xué)院物理研究所,固態(tài)量子信息與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

2)(中國科學(xué)院大學(xué),拓?fù)淞孔佑?jì)算卓越創(chuàng)新中心,北京 100190)

(2018年4月17日收到;2018年4月30日收到修改稿)

1 引 言

過去的20多年,量子信息、量子計(jì)算與量子模擬獲得了長足的發(fā)展,而在最近幾年,整個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展又呈現(xiàn)出不同的特色,人們更加關(guān)注含有多量子比特?cái)?shù)的量子計(jì)算和量子模擬,即在保證量子操作保真度的前提下,力圖提高量子比特的數(shù)目,最近的一些實(shí)驗(yàn)所涉及的量子比特?cái)?shù)目達(dá)到數(shù)十個(gè),已經(jīng)接近經(jīng)典計(jì)算機(jī)所能模擬的最多量子比特?cái)?shù),進(jìn)而有可能實(shí)現(xiàn)所謂的量子優(yōu)勢或者量子霸權(quán).但是另一方面,各個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺距離實(shí)用化量子計(jì)算所需要的成千上萬的量子比特?cái)?shù)又有相當(dāng)?shù)木嚯x,量子邏輯門保真度距離容錯性量子計(jì)算的閾值還有大幅提升的空間.所以最近幾年量子計(jì)算與量子模擬有其獨(dú)有的特色,即量子比特?cái)?shù)目處于中等規(guī)模,從十多個(gè)到數(shù)百個(gè),保真度較高,比如對應(yīng)錯誤率在0.1%—1%左右,但是并沒有達(dá)到大規(guī)模容錯性量子計(jì)算的閾值,暫時(shí)不能實(shí)現(xiàn)含有很多邏輯門的量子計(jì)算任務(wù).本文回顧了最近多量子比特量子計(jì)算和量子模擬的發(fā)展,同時(shí)對近期的研究課題做了展望,希望能對現(xiàn)階段量子計(jì)算和量子模擬的研究有所啟示.

2 多體量子模擬

2.1 量子動力學(xué)模擬

利用人工可控量子系統(tǒng)來比對模擬宇宙與自然界中各種不同量子及經(jīng)典現(xiàn)象,并為此構(gòu)建通用量子模擬器是Feynman[1]提出的概念.特別對于量子系統(tǒng),經(jīng)典計(jì)算機(jī)由于規(guī)模和速度等限制常常并不能有效地模擬其性質(zhì),而通用型量子模擬器則具有先天的優(yōu)勢;另一方面通用型量子模擬器可以實(shí)現(xiàn)任意的量子態(tài)演化,則和通用型量子計(jì)算機(jī)具有完全同樣的功能.從這一點(diǎn)而言,量子計(jì)算機(jī)和量子模擬器實(shí)際是一個(gè)概念,而強(qiáng)調(diào)了不同的使用側(cè)重點(diǎn),量子計(jì)算機(jī)側(cè)重其計(jì)算功能,量子模擬器則側(cè)重比對模擬.但是,現(xiàn)有的量子計(jì)算系統(tǒng)由于退相干影響及操控精度等問題,保真度并不理想,量子計(jì)算實(shí)現(xiàn)側(cè)重于幾個(gè)量子比特的小規(guī)模比特?cái)?shù)和原理演示,距離實(shí)用化需求還有較大的距離.但是相對而言,量子模擬由于主要研究量子性質(zhì),對操控和測量精度等要求不高,所以已經(jīng)接近較大規(guī)模的量子比特?cái)?shù).最近,哈佛大學(xué)[2]和馬里蘭大學(xué)[3]的課題組分別實(shí)現(xiàn)了多達(dá)50多個(gè)量子比特?cái)?shù)的量子多體模擬.哈佛大學(xué)Lukin課題組[2]利用了中性銣87(87Rb)冷原子系統(tǒng),系統(tǒng)哈密頓量寫為

其中,算子坐標(biāo)定義在原子能級上,而參數(shù)可實(shí)驗(yàn)調(diào)控.它們實(shí)驗(yàn)研究了此系統(tǒng)的量子動力學(xué)性質(zhì),這是一種典型的量子模擬方法,即量子系統(tǒng)初態(tài)可以實(shí)驗(yàn)制備,較為常見的方法是全部的量子比特都被制備為零態(tài) |0···0?,然后根據(jù)所研究的問題使得此初態(tài)按照特定的哈密頓量進(jìn)行演化,其中哈密頓量可以是固定的,也可以對某些參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)調(diào)控,在特定的時(shí)間量子態(tài)會演化為具有一定性質(zhì)的量子態(tài),通過對量子態(tài)的讀出和分析從而實(shí)現(xiàn)對一定量子過程的模擬.Lukin課題組利用里德伯型原子實(shí)現(xiàn)了哈密頓量(1)式中參數(shù)的程序化調(diào)控,系統(tǒng)具有隨距離6次方衰減的相互作用Vij,相干操控的原子數(shù)達(dá)到51個(gè).實(shí)驗(yàn)中當(dāng)原子數(shù)目為7時(shí),系統(tǒng)可以從初態(tài)演化到反鐵磁態(tài),其占比為68%,考慮到探測效率,修正后的概率可以達(dá)到77%左右,當(dāng)系統(tǒng)擴(kuò)大至51個(gè)原子時(shí),反鐵磁態(tài)概率達(dá)到0.11%,考慮到系統(tǒng)保真度隨原子數(shù)目是指數(shù)衰減的,此反鐵磁態(tài)的實(shí)現(xiàn)結(jié)果已相當(dāng)好.

量子模擬是研究量子動力學(xué)行為的理想方法,自然界中量子系統(tǒng)的演化很難控制和改變,所以不同參數(shù)下的量子動力學(xué)性質(zhì)不能被系統(tǒng)地探知.但是量子模擬利用人工可控量子系統(tǒng),不同的量子動力學(xué)可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)實(shí)現(xiàn)并多次重復(fù),從而使得其性質(zhì)可以從多個(gè)角度來探索,比如對參數(shù)進(jìn)行大范圍掃描.Lukin課題組也實(shí)驗(yàn)展示了系統(tǒng)跨越量子相變點(diǎn)的量子淬火動力學(xué)行為,演示了疇壁(domain-wall)密度的振蕩行為,和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果完全符合.

馬里蘭大學(xué)Monroe課題組[3]利用囚禁離子平臺同樣模擬了多體量子動力學(xué).此實(shí)驗(yàn)展示了具有53個(gè)量子比特的量子模擬器,其系統(tǒng)哈密頓量是橫場伊辛模型,可以寫為

其中,算子定義在量子比特空間,參數(shù)分別為相互作用和局域磁場.相互作用隨距離按照0.8—1左右的指數(shù)衰減;局域磁場Bz對所有量子比特相同但可調(diào),當(dāng)Bz取不同的數(shù)值時(shí),可以使得系統(tǒng)處于不同的量子相.實(shí)驗(yàn)中初態(tài)為|0···0?,并進(jìn)行通過相變點(diǎn)和不通過相變點(diǎn)的兩種量子淬火形式,隨時(shí)間變化量子態(tài)完美的演示了量子動力學(xué)性質(zhì),特別是當(dāng)通過相變點(diǎn)時(shí)會具有動力學(xué)相變行為[4],實(shí)驗(yàn)通過測量平均自旋磁化率給出了量化結(jié)果.

2.2 時(shí)間晶體量子模擬

晶體結(jié)構(gòu)一般是指空間特定方向晶格具有周期性性質(zhì),時(shí)間晶體的概念首先由諾貝爾獎獲得者Wilczek[5]提出,指在時(shí)間域可被探測的周期性行為,但時(shí)間是連續(xù)的,所以時(shí)間晶體伴隨有時(shí)間域的對稱破缺.相關(guān)理論研究也將原有的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣和修改[6].時(shí)間晶體的實(shí)現(xiàn)最近有兩個(gè)實(shí)驗(yàn)引起大家的關(guān)注,分別由Monroe課題組[7]和Lukin課題組[8]完成.下面對這些結(jié)果進(jìn)行簡單的回顧.

時(shí)間晶體可以在量子多體系統(tǒng)通過周期驅(qū)動來實(shí)現(xiàn),Monroe課題組的周期驅(qū)動過程由下面幾個(gè)哈密頓量分別進(jìn)行描述[7]:

在一個(gè)周期T=t1+t2+t3內(nèi),系統(tǒng)按照時(shí)間順序分別根據(jù)各自的哈密頓量進(jìn)行演化,系統(tǒng)初態(tài)仍然是直積態(tài)|0···0?.第一個(gè)哈密頓量將使得系統(tǒng)自旋發(fā)生反轉(zhuǎn),對應(yīng)于量子比特的比特反轉(zhuǎn)操作;第二個(gè)哈密頓量描述系統(tǒng)中各個(gè)自旋間具有相互作用;第三個(gè)哈密頓量代表有局域無序的磁場.系統(tǒng)按照上述三個(gè)過程重復(fù)周期演化.系統(tǒng)本身是周期驅(qū)動的,其哈密頓量周期為T,而量子態(tài)經(jīng)過兩個(gè)周期變?yōu)樵瓉淼膽B(tài),從而實(shí)現(xiàn)時(shí)間域的周期變化即時(shí)間晶體.Monroe課題組利用了10個(gè)鐿離子所構(gòu)成的一維自旋鏈實(shí)驗(yàn)?zāi)M了時(shí)間晶體,其中單點(diǎn)磁化率被用來表征量子態(tài)的演化過程.

Lukin課題組[8]利用金剛石氮空位中心系綜來實(shí)現(xiàn)多量子比特,金剛石氮空位中心指金剛石中會有氮原子取代碳,并和緊鄰格點(diǎn)的空穴形成一個(gè)具有量子特性的電子態(tài),由于金剛石相對純凈的環(huán)境,此量子態(tài)所實(shí)現(xiàn)的量子比特在室溫就具有超長的相干時(shí)間,可以作為量子比特的理想載體.但是這種氮空位中心是隨機(jī)產(chǎn)生的,一般相互間距離較遠(yuǎn)且沒有相互作用,時(shí)間晶體的實(shí)現(xiàn)需要大量有相互作用的氮空位中心,所以實(shí)驗(yàn)利用了氮空位中心濃度非常高的系綜.另外實(shí)驗(yàn)施加了非常強(qiáng)的特定方向的微波場,使得系綜中幾乎各向同性的自旋海森伯相互作用變?yōu)橐粋€(gè)方向的相互作用占主導(dǎo)地位,這樣多量子比特系統(tǒng)有效哈密頓量可以寫為

其中,自旋間相互作用Jij隨距離衰減,另外系綜中氮空位中心在空間是無序排列的,自然地實(shí)現(xiàn)了相互作用無序.實(shí)驗(yàn)中量子比特被初始化后全部旋轉(zhuǎn)至|0?和|1?的疊加態(tài)|+ ···+?,隨后系統(tǒng)按照有效哈密頓量(4)式進(jìn)行演化并隨后進(jìn)行相位反轉(zhuǎn)操作,這個(gè)操作是周期重復(fù)的,以此實(shí)現(xiàn)周期驅(qū)動,通過將自旋極化率數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換得到系統(tǒng)在周期驅(qū)動下的振蕩頻率,從而確認(rèn)時(shí)間晶體的實(shí)現(xiàn).

時(shí)間晶體的實(shí)現(xiàn)有兩個(gè)關(guān)鍵要求需要滿足:第一,初態(tài)是直積態(tài),同時(shí)是相互作用哈密頓量的本征態(tài),實(shí)際也分別是比特反轉(zhuǎn)操作或者相位反轉(zhuǎn)操作以及局域場的本征態(tài);第二,周期驅(qū)動過程中需要有強(qiáng)無序.時(shí)間晶體的實(shí)現(xiàn)機(jī)制為系統(tǒng)盡可能地保證處于初態(tài)及其對應(yīng)的比特反轉(zhuǎn)或者相位反轉(zhuǎn)態(tài)上,但是同時(shí)必須有量子比特間相互作用,初態(tài)是此相互作用哈密頓量的本征態(tài),這樣可使得多量子比特能盡可能地保持同步演化,防止少數(shù)量子比特的誤差有積累效應(yīng).系統(tǒng)無序局域場或無序相互作用有兩個(gè)目的,保證系統(tǒng)處于多體局域化量子相,防止系統(tǒng)過快熱化變?yōu)椴痪哂腥魏螌ΨQ破缺的熱態(tài),同時(shí)避免少數(shù)量子比特的誤差快速擴(kuò)展至整個(gè)系統(tǒng),保證時(shí)間晶體的質(zhì)量.

2.3 量子多體局域化模擬

局域化分為安德森局域化和多體局域化,其中安德森局域化為大家所熟知,而多體局域化在過去的十余年也受到了普遍的關(guān)注.兩種局域化的區(qū)別在于系統(tǒng)是否存在相互作用.和局域化對應(yīng)的現(xiàn)象為熱化.安德森局域化存在于無相互作用的多體系統(tǒng),稱為局域態(tài),與之對應(yīng)的為擴(kuò)展態(tài).以固體系統(tǒng)為例,局域態(tài)和擴(kuò)展態(tài)在有限溫度時(shí)都表現(xiàn)為金屬特性,但是在接近絕對零度時(shí),擴(kuò)展態(tài)系統(tǒng)表現(xiàn)為金屬特性,而局域態(tài)系統(tǒng)表現(xiàn)為絕緣體特性.多體局域態(tài)存在于有相互作用系統(tǒng),和安德森局域化不同的是由于相互作用的影響,系統(tǒng)溫度低于非零的臨界溫度時(shí),多體局域態(tài)系統(tǒng)就從金屬轉(zhuǎn)化為絕緣體.這種現(xiàn)象對安德森局域只能在絕對零度發(fā)生.從系統(tǒng)模型方面而言,多體局域化系統(tǒng)的哈密頓量非可積,保證系統(tǒng)并不對應(yīng)于自由費(fèi)米子模型或者具有無窮多守恒量,而可積系統(tǒng)的局域化則對應(yīng)于安德森局域.多體局域態(tài)存在于有限溫度,所以一般要求系統(tǒng)處于高激發(fā)態(tài),而安德森局域則要求系統(tǒng)處于基態(tài).

除了諸多的不同,安德森局域和多體局域相對于熱化又有很多的共同點(diǎn).經(jīng)典系統(tǒng)的熱化需要環(huán)境傳遞熱量,但是在孤立量子系統(tǒng),熱化指系統(tǒng)從初態(tài)演化到具有特定性質(zhì)的平衡態(tài),其特征表現(xiàn)為任意的子系統(tǒng)處于熱態(tài),即其密度矩陣可以寫為e?βH的熱態(tài)形式,其中β對應(yīng)溫度的倒數(shù),與之對應(yīng),局域化則最大限度地保持初態(tài)的形式,其波函數(shù)演化緩慢或者幾乎不變,系統(tǒng)表現(xiàn)為沒有能量傳遞或者粒子輸運(yùn).在一般情況下,系統(tǒng)將傾向于熱化,而要實(shí)現(xiàn)多體局域化則需要有強(qiáng)的無序局域場存在,從而防止或者延緩熱化的發(fā)生.同時(shí)有理論指出,孤立系統(tǒng)的熱化對應(yīng)于本征值熱化假定,即考察系統(tǒng)哈密頓量的任意一個(gè)非特殊本征態(tài),得到的子系統(tǒng)約化密度矩陣都是熱態(tài)的形式,那么孤立系統(tǒng)從一般的初態(tài)進(jìn)行演化,一定會達(dá)到熱化.熱態(tài)的一個(gè)性質(zhì)是其密度矩陣的馮·諾依曼熵滿足體積率,即其大小和量子比特?cái)?shù)成正比.簡要總結(jié),熱化滿足本征值熱化假定,長時(shí)間演化所達(dá)到的定態(tài)是熱態(tài),其馮·諾依曼熵滿足體積率,而局域態(tài)違反本征值熱化假定,系統(tǒng)保持初態(tài)的形式,其馮·諾依曼熵不滿足體積率.由于我們考察的是孤立量子系統(tǒng),系統(tǒng)始終處于純態(tài)形式,子系統(tǒng)約化密度矩陣的馮·諾依曼熵就是糾纏熵.

孤立量子系統(tǒng)的熱化對理解統(tǒng)計(jì)力學(xué)的一些基本假定有幫助,和經(jīng)典系統(tǒng)的混沌存在深入的聯(lián)系,同時(shí)局域化則是熱化的反面,可反映在系統(tǒng)哈密頓量本身的特性方面.系統(tǒng)熱化的發(fā)生需要哈密頓量能譜分布較為均勻,性質(zhì)上表現(xiàn)為能級間距的分布滿足魏格納分布,而局域化的發(fā)生需要能級間距滿足泊松分布.

多體局域化、安德森局域化和熱化這三種不同的物態(tài)可以由一個(gè)指標(biāo)區(qū)分出來,這個(gè)指標(biāo)就是系統(tǒng)糾纏熵隨時(shí)間的變化行為.對熱化現(xiàn)象,糾纏熵快速增長至最大值并保持不變;對安德森局域,糾纏熵增長至一個(gè)較低的數(shù)值并長時(shí)間保持不變;而對多體局域化,糾纏熵保持長時(shí)間緩慢增長的特性,具體表現(xiàn)為隨時(shí)間呈對數(shù)增長.這些性質(zhì)反映了系統(tǒng)演化的特性,多體局域化是系統(tǒng)局域無序場和粒子間相互作用競爭的結(jié)果,所以糾纏熵隨時(shí)間表現(xiàn)出由相互作用導(dǎo)致的增長現(xiàn)象和由局域無序場所導(dǎo)致的壓制熱化而糾纏熵增長速度非常緩慢這一結(jié)果.

量子模擬多體局域化在多個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)已經(jīng)實(shí)現(xiàn),德國馬普所Bloch課題組[9]實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了一維費(fèi)米子準(zhǔn)無序光晶格的多體局域化,其局域化強(qiáng)度用引入的非平衡度函數(shù)來量化,即熱化時(shí)粒子將處于平衡位置,則非平衡度為零,而粒子保持在非平衡的初態(tài)時(shí),其非平衡度較大.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)隨著無序強(qiáng)度增大,非平衡度也隨之增大,驗(yàn)證了多體局域的實(shí)現(xiàn).同時(shí),歐洲另一課題組利用核磁共振系統(tǒng)的偶極關(guān)聯(lián)核自旋觀察到局域化與非局域化的轉(zhuǎn)變[10].Bloch課題組[11]同時(shí)也在二維玻色子無序光晶格中展示了多體局域化的實(shí)現(xiàn),在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中非平衡度和背離均方根兩種度量被用來量化局域化程度,初態(tài)被制備到高度非平衡態(tài),通過調(diào)節(jié)局域無序場強(qiáng)度來控制多體局域化和熱化的產(chǎn)生.馬里蘭大學(xué)Monroe課題組[12]利用鐿的離子阱系統(tǒng)采用程序化的隨機(jī)無序局域場實(shí)現(xiàn)了多體局域化,局域化程度用單粒子的磁化強(qiáng)度來量化,其初態(tài)制備在高能量的反鐵磁態(tài)|0101···?.已知糾纏熵的時(shí)間演化可以很好地標(biāo)定多體局域化,但是約化密度矩陣的讀取需要量子態(tài)層析(state tomograophy)法,對實(shí)驗(yàn)測量技術(shù)和精度的要求非常高,測量需要具有類似單光子分辨這樣的技術(shù),前面回顧的這幾個(gè)實(shí)驗(yàn)都沒能確認(rèn)這一證據(jù).

最近,浙江大學(xué)、中國科學(xué)院物理研究所及中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的相關(guān)課題組[13]利用10量子比特的超導(dǎo)量子器件,也成功地模擬了量子多體局域化.由于超導(dǎo)器件本身的特殊設(shè)計(jì),使得量子比特間具有長程相互作用,其哈密頓量不可積,具備了實(shí)現(xiàn)多體局域化的條件;每個(gè)量子比特的局域磁場可以程序化施加,從而產(chǎn)生強(qiáng)度可調(diào)的無序局域場;實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)相干性足以保證實(shí)驗(yàn)的高精度完成,采用量子態(tài)層析法得到了隨時(shí)間演化的約化密度矩陣.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示在強(qiáng)無序局域場下,糾纏熵隨時(shí)間呈對數(shù)增長,即糾纏熵按照時(shí)間對數(shù)函數(shù)線性增長.

同樣是利用超導(dǎo)量子比特,谷歌的Martinis實(shí)驗(yàn)組[14]利用成一維排列的9量子比特樣品,通過調(diào)節(jié)每個(gè)量子比特的失諧來實(shí)現(xiàn)局域無序場,實(shí)驗(yàn)測量了系統(tǒng)的能譜,從而發(fā)現(xiàn)得到的能級分布滿足多體局域化所要求的泊松分布形式,證明多體局域化得到實(shí)現(xiàn).

2.4 熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、拓?fù)洹稣摰攘孔幽M

量子多體問題的研究中經(jīng)常會涉及熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)等的概念和方法,特別是當(dāng)涉及量子少體和多體系統(tǒng)、量子孤立系統(tǒng)的熱力學(xué)演化、非平衡態(tài)物理等研究時(shí),由于量子系統(tǒng)良好的操控和相干特性、低噪音及可控噪音設(shè)計(jì)、精確的量子態(tài)讀出都能使得我們可以高精度地檢驗(yàn)熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)及與量子科學(xué)結(jié)合方面的基本公式和原理.我們前面回顧的局域化所對應(yīng)的熱化就是關(guān)于量子孤立系統(tǒng)的演化問題.

最近,非平衡統(tǒng)計(jì)中的加津斯基(Jarzynski)等式在離子阱系統(tǒng)就可被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[15],精確模擬噪音可以研究馬爾可夫和非馬爾可夫過程的互相轉(zhuǎn)化,實(shí)驗(yàn)在光子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)[16],熱力學(xué)中的可逆及不可逆過程在超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)被實(shí)驗(yàn)演示[17].

同時(shí)也可以考慮對應(yīng)模擬的形式,將一些非物理可觀測量對應(yīng)為可物理探測量來研究,比如統(tǒng)計(jì)物理中的李-楊零點(diǎn)分布于復(fù)平面而不可觀測,經(jīng)過對應(yīng)則可以在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)并觀測到[18].

量子多體系統(tǒng)會表現(xiàn)出拓?fù)涮匦?量子模擬可以用來模擬拓?fù)湮飸B(tài),也可以用來演示分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)等特性,比如任意子的編織性質(zhì)被分別在光量子系統(tǒng)[19]和超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)模擬[20].

量子場論常應(yīng)用于高能粒子物理,量子計(jì)算機(jī)也可用來模擬量子場論.最近利用離子阱系統(tǒng),奧地利Blatt課題組[21]利用幾個(gè)量子比特模擬了格點(diǎn)規(guī)范理論中真空量子漲落,通過研究量子糾纏演化來模擬粒子反粒子的產(chǎn)生.

2.5 量子化學(xué)模擬

量子化學(xué)的基組計(jì)算方法將多原子分子的波函數(shù)表示為單原子的多軌道,基組中的軌道數(shù)量正比于分子中的原子數(shù)目.在利用量子比特系統(tǒng)來模擬波函數(shù)時(shí),可以簡單地利用一個(gè)量子比特的|1?態(tài)和|0?態(tài)表示一個(gè)軌道的填充和非填充,同時(shí)需要注意這個(gè)量子比特是一種費(fèi)米子表示,也可考慮在研究某些具體問題時(shí)只局限于某些確定基組或者子空間,從而減少對量子比特?cái)?shù)的需求.在模擬中,可以利用量子相位估計(jì)法得到分子哈密頓量的能譜,隨著量子比特?cái)?shù)的增加,比如幾百個(gè)量子比特,能譜的精確性可以達(dá)到或者超越現(xiàn)有計(jì)算技術(shù),其中水分子的量子模擬被作為例子進(jìn)行了系統(tǒng)的研究[22],并考慮利用光量子系統(tǒng)來模擬水分子最小基組的情況[23].

考慮到量子計(jì)算機(jī)的知識并不為量子化學(xué)領(lǐng)域所熟知,谷歌Babbush等課題組[24]也提供了一種直接將量子化學(xué)基組計(jì)算方法和費(fèi)米體系計(jì)算轉(zhuǎn)化為量子計(jì)算機(jī)基本邏輯門操作的軟件,以期方便各領(lǐng)域的研究人員使用.

量子模擬在過去幾年的進(jìn)展非常之多,這里只是回顧了部分內(nèi)容,前期發(fā)展也有相關(guān)綜述可以參考[25].

3 量子計(jì)算

建造量子計(jì)算機(jī)的主要目的之一是執(zhí)行量子計(jì)算任務(wù),即實(shí)現(xiàn)量子算法的運(yùn)行.在過去的研究中,人們提出了各種量子算法,具有代表性的是肖爾(Shor)大數(shù)分解算法[26]、Harrow-Hassidim-Lloyd(HHL)解線性方程組算法[27]、格羅夫爾(Grover)搜索[28]、量子退火算法、玻色取樣等,這里簡單回顧其中的進(jìn)展.

解線性方程組HHL算法分別在光量子系統(tǒng)[29]和核磁共振系統(tǒng)[30]以及超導(dǎo)量子計(jì)算系統(tǒng)[31]得以實(shí)現(xiàn),這些實(shí)驗(yàn)分別利用4個(gè)量子比特及邏輯門操作演示了二元一次方程組的求解,證明此算法的可行性.HHL線性方程組算法的優(yōu)勢并不在于求解方程組本身,而考慮對依賴解矢量所定義的量子態(tài)的某個(gè)觀測量感興趣的情況,即我們并不需要明確知道解矢量本身,而只是對某個(gè)算子的期望值感興趣,HHL算法會具有量子優(yōu)勢.可以期望,當(dāng)我們能精確地測控更多量子比特?cái)?shù)時(shí),應(yīng)該可以運(yùn)行包含更多變量的HHL算法.

量子肖爾算法的實(shí)驗(yàn)演示具有挑戰(zhàn)性,在過去的十多年里也有一系列的進(jìn)展,肖爾算法關(guān)于15的分解最早在核磁共振系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)[32],實(shí)驗(yàn)中利用了7個(gè)核自旋量子比特,其中4個(gè)量子比特用來編碼數(shù)字15,3個(gè)量子比特作為周期探測.肖爾算法后續(xù)又在光量子系統(tǒng)[33]和離子阱系統(tǒng)等利用各種稍有不同的方案分別實(shí)現(xiàn)[34],其中離子阱系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)雖然只用了5個(gè)量子比特,但是一個(gè)量子比特被重復(fù)使用從而減少了對量子比特總數(shù)的要求,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)杜江峰課題組利用絕熱量子計(jì)算方法在核磁共振系統(tǒng)成功演示了143的分解[35]和35的分解[36].

量子算法中格羅夫爾搜索也曾在多種實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)[37,38].

量子退火算法主要在D-Wave公司的超導(dǎo)量子模擬器運(yùn)行和測試.D-Wave公司最近幾年已經(jīng)出品了從D-Wave,D-Wave II到D-Wave 2000Q等不斷升級的量子退火機(jī),最新機(jī)型具有2000多量子位,其運(yùn)行模式可以用系統(tǒng)哈密頓量來描述[39]:

其中量子比特間的相互作用按照其硬件8個(gè)一組進(jìn)行耦合,而每組中的8個(gè)量子比特分為兩小組,每小組中4個(gè)量子比特和另外的4個(gè)兩兩相互耦合,而局域可控磁場和耦合方向一致也是在z方向,雖然這個(gè)哈密頓實(shí)際是經(jīng)典伊辛模型的形式,但是由于其初態(tài)可以制備為疊加態(tài)形式|+···+?,所以無疑是可以按照量子模式運(yùn)行的.但是在量子比特?cái)?shù)達(dá)到100多個(gè)量子比特時(shí),還需要確認(rèn)量子退火算法在其運(yùn)行過程中并不會變?yōu)闊釕B(tài)而失去量子效應(yīng)[40].

量子退火機(jī)可以被用來研究優(yōu)化問題,因?yàn)槠涔茴D量的基態(tài)對應(yīng)某個(gè)優(yōu)化問題的解,其運(yùn)行模式是從初態(tài)|+···+?按照哈密頓量進(jìn)行演化到某個(gè)經(jīng)典態(tài),而哈密頓量參數(shù)根據(jù)所需要優(yōu)化的問題來設(shè)計(jì)調(diào)控,例如希格斯(Higgs)的優(yōu)化問題就可以用量子退火機(jī)來解決[41].但是最關(guān)鍵的問題是,具有百量級到千量級量子比特?cái)?shù)的這種中等規(guī)模量子位的量子退火機(jī)是否具有超越經(jīng)典計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢,正如瑞士Troyer課題組指出的,這個(gè)問題實(shí)際很難明確定義[42],即使考慮到量子比特?cái)?shù)增長的趨勢,應(yīng)該說現(xiàn)有D-Wave量子退火機(jī)是否具有量子優(yōu)勢仍然沒有確定性結(jié)論[42,43].

玻色取樣算法對應(yīng)求矩陣積和式(permanent)的值,即矩陣行列式中的減號全部替換為加號,玻色取樣的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)競爭也非常激烈[44?46],先期的三個(gè)實(shí)驗(yàn)幾乎同時(shí)宣布和發(fā)表,最近潘建偉課題組的進(jìn)展也引起了廣泛關(guān)注[47],實(shí)驗(yàn)中利用5光子9模式的干涉效應(yīng)來實(shí)現(xiàn)玻色取樣的演示.

量子計(jì)算主要有兩個(gè)發(fā)展方向:第一是設(shè)計(jì)更多的量子算法,使得量子計(jì)算機(jī)能被廣泛使用并起到人類生活不可或缺的作用;第二是建造含有更多量子比特的通用量子計(jì)算機(jī),需要攻堅(jiān)的目標(biāo)有:可擴(kuò)展的量子比特器件制備、長退相干時(shí)間、更多量子比特的高保真度相干控制及邏輯門實(shí)現(xiàn).

4 數(shù)字式量子計(jì)算機(jī)模擬器及量子計(jì)算云平臺

量子計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)有很多種方案,不同方案各有優(yōu)劣,但是面臨的共同問題除了擴(kuò)展性所導(dǎo)致的量子比特?cái)?shù)目限制,還有相干時(shí)間和邏輯門操作精度問題,錯誤將導(dǎo)致邏輯門實(shí)現(xiàn)數(shù)目不多,精度有限.另一方面,量子計(jì)算機(jī)的所有運(yùn)行規(guī)律是已知的,實(shí)際上可以利用經(jīng)典計(jì)算機(jī)定義量子計(jì)算機(jī)的運(yùn)行,從而用軟件實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的虛擬機(jī).簡單地說,我們可以利用經(jīng)典計(jì)算機(jī)建成一個(gè)量子計(jì)算機(jī)的模擬器,其運(yùn)行完全遵照量子計(jì)算機(jī)的規(guī)律,可稱其為量子計(jì)算虛擬機(jī),或者數(shù)字式量子計(jì)算機(jī)模擬器.這方面的研究剛剛起步,關(guān)于虛擬機(jī)數(shù)據(jù)和性能的結(jié)果有限,發(fā)表的研究論文不多,這里只是進(jìn)行粗略的概述.

IMB的量子體驗(yàn)網(wǎng)站提供了超導(dǎo)量子計(jì)算云平臺[48],作為超導(dǎo)量子計(jì)算的模擬輔助工具,此平臺也提供了兩種數(shù)字式量子模擬器,分別具有20個(gè)量子比特和32個(gè)量子比特,其中20個(gè)量子比特的模擬機(jī)具有跳轉(zhuǎn)的控制語句功能(即計(jì)算機(jī)if語句),而利用高性能服務(wù)器平臺建設(shè)的32個(gè)量子比特模擬器沒有此功能,另外,模擬器只是對公眾提供少于100個(gè)邏輯門的操作.量子計(jì)算需要有單發(fā)(single-shot)測量的功能,這是量子算法的基本需求,比如應(yīng)用廣泛的量子隱形傳態(tài)就需要單發(fā)測量及反饋操作功能,量子測量結(jié)果可以用多次單發(fā)測量的統(tǒng)計(jì)平均得到,或者模擬器能給出測量概率數(shù)值.

我們課題組提供了具有34個(gè)以上量子比特的量子計(jì)算虛擬機(jī)云平臺(QtVM)[49],具有跳轉(zhuǎn)控制功能、單發(fā)測量功能、循環(huán)語句控制、基于單發(fā)測量的反饋操作等,運(yùn)行量子匯編語言,量子邏輯門數(shù)量原則上沒有限制,20量子比特時(shí)每天可以運(yùn)行約三百萬到一千萬門數(shù)量,是一種全功能的通用量子計(jì)算機(jī)數(shù)字模擬器.

中國本源量子提供基于半導(dǎo)體量子點(diǎn)的量子計(jì)算云平臺和超導(dǎo)量子計(jì)算云平臺[50],也提供了具有32個(gè)量子比特的數(shù)字式量子計(jì)算模擬器,近期已經(jīng)升級為具有64個(gè)量子比特的模擬功能,可以給出末態(tài)的概率.

瑞士Troyer課題組[51]也提供了云量子計(jì)算虛擬機(jī)和量子匯編語言運(yùn)行.

量子計(jì)算虛擬機(jī)運(yùn)行速度是一個(gè)重要指標(biāo),但是常常由于測試時(shí)服務(wù)器還有其他進(jìn)程而有較大差別,得到的測試數(shù)據(jù)并不完全可信,一般可以采取在不同時(shí)間段分別運(yùn)行5次而取其中最少用時(shí),但數(shù)據(jù)間有時(shí)也有數(shù)量級的差別.我們在中國科學(xué)院物理研究所的測試數(shù)據(jù)為20量子比特,100單比特旋轉(zhuǎn)門和100個(gè)受控非門,100次單發(fā)測量運(yùn)行時(shí)間為2 s左右,而34個(gè)量子比特用時(shí)14.8 h.此系統(tǒng)還可以運(yùn)行更多的量子比特,35個(gè)量子比特100邏輯門用時(shí)少于5 h.由于IBM只提供少于100門操作,我們測試的數(shù)據(jù)顯示完成同樣任務(wù),其最少用時(shí)仍然是我們的4倍多.應(yīng)該注意的是利用經(jīng)典計(jì)算機(jī)模擬量子計(jì)算機(jī)有很明顯的指數(shù)增長效應(yīng),比如多一個(gè)量子比特則運(yùn)行時(shí)間倍增,而門數(shù)量、測量次數(shù)等一般也有同樣的現(xiàn)象.

現(xiàn)階段,數(shù)字式量子計(jì)算機(jī)模擬器相比于物理量子比特量子計(jì)算機(jī)的突出優(yōu)勢是其功能齊全,邏輯門次數(shù)原則上沒有限制,因此是理想的量子算法和量子模擬測試平臺.但是,隨著量子比特?cái)?shù)的增長則需要呈指數(shù)增長的經(jīng)典計(jì)算機(jī)資源,導(dǎo)致數(shù)字式全功能的通用量子計(jì)算機(jī)最大只能模擬大約不超過50個(gè)量子比特.如果降低通用功能要求,則能模擬的量子比特?cái)?shù)會更多,這方面也是有意義的課題;而探索既能保證可信性、又能實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子系統(tǒng)模擬的方法,例如蒙特卡羅[52]、張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)等技術(shù)[53],一直都是重要的科學(xué)研究領(lǐng)域.

潘建偉課題組[54]和清華大學(xué)龍桂魯課題組[55]也分別提供了超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)云平臺和核磁共振量子計(jì)算云平臺供科研人員及大眾測試.

5 量子軟件及量子機(jī)器學(xué)習(xí)

如同經(jīng)典計(jì)算機(jī)具有功能多樣的軟件,量子計(jì)算機(jī)的人機(jī)交互也需要量子軟件,從而實(shí)現(xiàn)把各種任務(wù)轉(zhuǎn)化為量子計(jì)算機(jī)能運(yùn)行的量子邏輯門操作和測量讀出,如果和經(jīng)典系統(tǒng)類比,量子軟件也可以說是量子計(jì)算機(jī)的靈魂.可以期望和經(jīng)典計(jì)算機(jī)一樣,量子計(jì)算機(jī)最高端是高級語言,高級語言被編譯為量子計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的邏輯門操作、量子信息的傳輸?shù)?比如表現(xiàn)為量子匯編語言,但是具體在量子硬件方面則還需要量子態(tài)控制和量子糾錯等技術(shù)[56].

由于機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的巨大成功和發(fā)展?jié)摿?量子機(jī)器學(xué)習(xí)[57]也被認(rèn)為具有重要的應(yīng)用前景,量子機(jī)器學(xué)習(xí)將致力于設(shè)計(jì)出特色量子軟件,以期利用線性方程組求解的HHL量子算法、D-Wave量子計(jì)算機(jī)的優(yōu)化處理和玻爾茲曼機(jī)、量子向量機(jī)和量子形式的基礎(chǔ)線性代數(shù)程序(Basic Linear Algebra Subprograms)等技術(shù)實(shí)現(xiàn)基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法的量子加速.

如果我們著眼于量子軟件,則發(fā)現(xiàn)其應(yīng)具有賦值、循環(huán)等基本功能,同時(shí)也應(yīng)該包含中段的測量讀出并反饋操作等功能,所以量子匯編語言并不能簡單地完全由通用量子邏輯門組成,也應(yīng)具有測量反饋語句、中段測量結(jié)果處理等功能需要經(jīng)典計(jì)算機(jī)完成.從這一點(diǎn)來看,量子計(jì)算機(jī)不應(yīng)該理解為只是完全按照量子力學(xué)原理運(yùn)行的計(jì)算機(jī),而應(yīng)該想象為具有量子功能器件,但其操控、優(yōu)化、中間測量結(jié)果處理、經(jīng)典信息存儲等系列任務(wù)仍然由經(jīng)典計(jì)算機(jī)完成,是一種現(xiàn)有經(jīng)典計(jì)算機(jī)的升級.

但是也有量子相干反饋控制方案指出,量子計(jì)算也可以不需要中段的經(jīng)典信息和控制等的介入而實(shí)現(xiàn)全量子相干操作[58],從而避免經(jīng)典信息處理時(shí)有可能引發(fā)的指數(shù)增長計(jì)算資源的需求問題.

量子軟件是一個(gè)開放性課題,其發(fā)展還處于較為初級的階段,應(yīng)該兼具實(shí)現(xiàn)量子算法,起到聯(lián)通底層量子器件與上層面向大眾實(shí)際應(yīng)用的橋梁作用.

6 討論與展望

量子計(jì)算和量子模擬等發(fā)展迅速,重要結(jié)果和相關(guān)文獻(xiàn)繁多,本文主要內(nèi)容是作者課題組近期重點(diǎn)關(guān)注的研究方向,出發(fā)點(diǎn)是為今后的研究打好基礎(chǔ),所以不免在選題方面有所偏好,另一方面我們也希望盡量能對相關(guān)內(nèi)容做一個(gè)全景式的綜述,涵蓋一些重要進(jìn)展,希望能對讀者有所幫助.

量子計(jì)算與量子模擬最近一兩年呈現(xiàn)出爆發(fā)性發(fā)展的趨勢,整個(gè)領(lǐng)域的關(guān)注點(diǎn)也具有新的特色,可以總結(jié)為下面4點(diǎn):第一,研究趨向于中等規(guī)模量子比特?cái)?shù)的科學(xué)問題和技術(shù)突破;第二,不局限于特定量子計(jì)算物理實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),而是更關(guān)注具有普適性的多量子比特量子計(jì)算和量子模擬問題;第三,關(guān)注點(diǎn)從原來的純粹原理性演示過渡到具有真正實(shí)用價(jià)值并超越經(jīng)典計(jì)算機(jī)的問題;第四,更注重量子計(jì)算機(jī)各種功能的高效集成和更高的自動化.

總之,量子計(jì)算的發(fā)展已經(jīng)進(jìn)入到一個(gè)新的歷史階段,挑戰(zhàn)和機(jī)遇并存,進(jìn)入量子計(jì)算這一令人激動的研究領(lǐng)域不再需要先掌握全面系統(tǒng)的量子計(jì)算知識,而是結(jié)合量子多體凝聚態(tài)系統(tǒng)、量子場論與統(tǒng)計(jì)、高能物理、量子化學(xué),機(jī)器學(xué)習(xí)、大數(shù)據(jù)處理優(yōu)化等方面的專門知識,輔助以量子計(jì)算基本原理,就可能在量子計(jì)算領(lǐng)域做出創(chuàng)新性成果.這一方面反映出量子計(jì)算基本理論趨于完善,另一方面量子計(jì)算和各學(xué)科的融合才剛剛起步,未來的發(fā)展前景遠(yuǎn)大.

而量子計(jì)算機(jī)的建成則科學(xué)性和工程性并存,一方面原理上沒有不可克服的困難,另一方面技術(shù)和工程上又具有很大的不確定性,需要在相干時(shí)間和操控精度等方面有系列突破才能建成量子計(jì)算原型機(jī).

感謝中國科學(xué)院物理研究所向濤研究員、潘新宇研究員、王磊研究員、孟子楊研究員、趙士平研究員、鄭東寧研究員、金貽榮副研究員,浙江大學(xué)王浩華教授,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)朱曉波教授,北京大學(xué)穆良柱教授、何瓊毅教授以及胡明亮、胡雪元、許凱、陳錦俊、彭益、葛自勇、曾昱、張煜然、王正安、劉尚、葉柄天、王賀明、王雯、王峻、韓兆宇等就相關(guān)課題所進(jìn)行的多次深入討論,感謝諸多合作者的幫助.

[1]Feynman R P 1982 Int.J.Theor.Phys.21 467

[2]Bernie H,Schwartz S,Keesling A,Levine H,Omran A,Pichler H,Choi S,Zibrov A S,Endres M,Greiner M,Vuleti? V,Lukin M D 2017 Nature 551 579

[3]Zhang J,Pagano G,Hess P W,Kyprianidi A,Becker P,Kaplan H,Gorshkov A V,Gong Z X,Monroe C 2017 Nature 551 601

[4]Heyl M,Polkovnikov A,Kehrein S 2013 Phys.Rev.Lett.110 135704

[5]Wilczek F 2013 Phys.Rev.Lett.111 250402

[6]Yao N Y,Potter A C,Potimiche I D,Vishwanath A 2017 Phys.Rev.Lett.118 030401

[7]Zhang J,Hess P W,Kyprianidis A,Becker P,Lee A,Smith J,Pagano G,Potirniche I D,Potter A C,Vishwanath A,Yao N Y,Monroe C 2017 Nature 543 217

[8]Choi S,Choi J,Landig R,Kucsko G,Zhou H,Isoya J,Jelezko F,Onoda S,Sumiya H,Khemani V,Keyserlingk C,Yao N Y,Demler E,Lukin M D 2017 Nature 543 221

[9]Schreiber M,Hodgman S S,Bordia P,Lüschen H P,Fischer M H,Vosk R,Altman E,Schneider U,Bloch I 2015 Science 349 842

[10]Alvarez G A,Suter D,Kaiser R M 2015 Science 349 846

[11]Choi J Y,Hild S,Zeiher J,Schau? P,Rubio-Abadal A,Yefsah T,Khemani V,Huse D A,Bloch I,Gross C 2016 Science 352 1547

[12]Smith J,Richerme P,Neyenhuis B,Hess P W,Hauke P,Heyl M,Huse M A,Monroe C 2016 Nat.Phys.12 907

[13]Xu K,Chen J J,Zeng Y,Zhang Y R,Song C,Liu W,Guo Q,Zhang P,Xu D,Deng H,Huang K,Wang H,Zhu X,Zheng D,Fan H 2018 Phys.Rev.Lett.120 050507

[14]Roushan P,Neill C,Tangpanitanon J,Bastidas V M,Megrant A,Barends R,Chen Y,Chen Z,Chiaro B,Dunsworth A,Fowler A,Foxen B,Giustina M,Je ff rey E,Kelly J,Lucero E,Mutus J,Neeley M,Quintana C,Sank D,Vainsencher A,Wenner J,White T,Neven H,Angelakis D G,Martinis J 2017 Science 358 1175

[15]An S,Zhang J N,Um M,Lü D,Lu Y,Zhan J,Yin Z Q,Quan H T,Kim K 2015 Nat.Phys.11 193

[16]Liu B H,Li L,Huang Y F,Li C F,Guo G C,Laine E M,Breuer H P,Piilo J 2011 Nat.Phys.7 931

[17]Guo X Y,Peng Y,Peng C N,Deng H,Jin Y R,Tang C,Zhu X B,Zheng D,Fan H 2017 arXiv:171010234[quantph]

[18]Peng X H,Zhou H,Wei B B,Cui J,Du J,Liu R B 2015 Phys.Rev.Lett.114 010601

[19]Lu C Y,Gao W B,Gühne O,Zhou X Q,Chen Z B,Pan J W 2009 Phys.Rev.Lett.102 030502

[20]Zhong Y P,Xu D,Wang P,Song C,Guo Q J,Liu W X,Xu K,Xia B X,Lu C Y,Han S,Pan J W,Wang H 2016 Phys.Rev.Lett.117 110501

[21]Martinez E A,Muschik C A,Schindler P,Nigg D,Erhard A,Heyl M,Hauke P,Dalmonte M,Monz T,Zoller P,Blatt R 2016 Nature 534 516

[22]Aspuru-Guzik A,Dutoi A D,Love P J,Head-Gordon M 2005 Science 309 1704

[23]Lanyon B P,Whit fi eld J D,Gillett G G,Goggin M E,Almeida M P,Kassal I,Biamonte J D,Mohseni M,Powell B J,Barbieri M,Aspuru-Guzik A,White A G 2010 Nat.Chem.2 106

[24]McClean J R,Kivlichan I D,Sung K J,Steiger D S,Cao Y,Dai C,Fried E S,Gidney C,Gimby B,H?ner T,Hardikar T,Havlí?ek V,Huang C,Jiang Z,Neeley M,O’Brien T,Oz fi dan I,Radin M D,Romero J,Rubin N,Sawaya N P D,Setia K,Sim S,Steudtner M,Sun W,Zhang F,Babbush R 2017 arXiv:171007629[quant-ph][25]Georgescu I M,Ashhab S,Nori F 2014 Rev.Mod.Phys.86 153

[26]Shor P 1997 SIAM J.Comput.26 1484

[27]Harrow A W,Hassidim A,Lloyd S 2009 Phys.Rev.Lett.103 150502

[28]Grover L K 1997 Phys.Rev.Lett.79 325

[29]Cai X D,Weedbrook C,Su Z E,Chen M C,Gu M,Zhu M J,Li L,Liu N L,Lu C Y,Pan J W 2013 Phys.Rev.Lett.110 230501

[30]Pan J,Cao Y,Yao X,Li Z,Ju C,Chen H,Peng X,Kais S,Du J 2014 Phys.Rev.A 89 022313

[31]Zheng Y R,Song C,Chen M C,Xia B,Liu W,Guo Q J,Zhang L,Xu D,Deng H,Huang K,Wu Y,Yan Z,Zheng D,Lu L,Pan J W,Wang H,Lu C Y,Zhu X 2017 Phys.Rev.Lett.118 210504

[32]Vandersypen L M K,Ste ff en M,Breyta G,Yannoni C S,Mark H,Sherwood M H,Chuang I L 2001 Nature 414 883

[33]Lu C Y,Browne D E,Yang T,Pan J W 2007 Phys.Rev.Lett.99 250504

[34]Monz T,Nigg D,Martinez E A,Brandl M F,Schindler P,Rines R,Wang S X,Chuang I L,Blatt R 2016 Science 351 1068

[35]Xu N Y,Zhu J,Lu D,Zhou X,Peng X,Du J 2012 Phys.Rev.Lett.108 130501

[36]Xu K B,Xie T,Li Z,Xu X,Wang M,Ye X,Kong F,Geng G,Duan C,Shi F,Du J 2017 Phys.Rev.Lett.118 130504

[37]Jones J L,Mosca M,Hansen R H 1998 Nature 393 344[38]Figgat C,Maslov D,Landsman K A,Linke N M,Debnath S,Monroe C 2017 Nat.Commun.8 1918

[39]Johnson M W,Amin M H,Gildert S,Lanting T,Hamze F,Dickson N,Harris R,Berkley A J,Johansson J,Bunyk P,Chapple E M,Enderud C,Hilton J P,Karimi K,Ladizinsky E,Ladizinsky N,Oh T,Perminov I,Rich C,Thom M C,Tolkacheva E,Truncik C J,Uchaikin S,Wang J,Wilson B,Rose G 2011 Nature 473 194

[40]Boixo S,R?nnow T,Isakov S V,Wang Z,Wecker D,Lidar D A,Martinis J M,Troyer M 2014 Nat.Phys.10 218

[41]Mott A,Job J,Vlimant J R,Lidar D,Spiropulu M 2017 Nature 550 375

[42]Ronnow T F,Wang Z,Job J,Boixo S,Isakov S V,Wecker D,Martinis J M,Lidar D A,Troyer M 2014 Science 345 420

[43]Heim B,Ronnow T F,Isakov S V,Troyer M 2015 Science 348 215

[44]Broome M A,Fedrizzi A,Rahimi-Keshari S,Dove J,Aaronson S,Ralph T C,White A G 2013 Science 339 794

[45]Spring J B,Metcalf B J,Humphreys P C,Kolthammer W S,Jin X M,Barbieri M,Datta A,Thomas-Peter N,Langford N K,Kundys D,Gates J C,Smith B J,Smith P G R,Walmsley I A 2013 Science 339 798

[46]Tillmann M,Daki? B,Heilmann R,Nolte S,Szameit A,Walther P 2013 Nat.Photon.7 540

[47]Wang H,He Y,Li Y H,Su Z E,Li B,Huang H L,Ding X,Chen M C,Liu C,Qin J,Li J P,He Y M,Schneider C,Kamp M,Peng C Z,H? fl ing S,Lu C Y,Pan J W 2017 Nat.Photon.11 361

[48]IMB Q Experience, http://quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/experience

[49]InstituteofPhysicsofCAS,Fan group,QtVM,http://q.iphy.ac.cn

[50]OriginQC,www.qubitonline.cn

[51]Station Q Zurich,http://wwwcompphysethzch/research/station-q-zurichhtml

[52]Shao H,Qin Y Q,Capponi S,Chesi S,Meng Z Y,Sandvik A W 2017 Phys.Rev.X 7 041072

[53]Liao H J,Xie Z Y,Chen J,Liu Z Y,Xie H D,Huang R Z,Normand B,Xiang T 2017 Phys.Rev.Lett.118 137202

[54]Alibaba Superconducting Quantum Computer Online,http://quantumcomputer.ac.cn

[55]Tsinghua University,Long group,NMRCloudQ,http://nmrcloudq.com/zh-hans/

[56]Chong F T,Franklin D,Martonosi M 2017 Nature 549 180

[57]Biamonte J,Wittek P,Pancotti N,Rebentrost P,Wiebe N,Lloyd S 2017 Nature 549 195

[58]Lloyd S 2000 Phys.Rev.A 62 022108