趙沖，王碧霞，羅競波，祝帆，李美求

機(jī)械零件在服役過程中，承受的載荷往往是隨機(jī)和反復(fù)多次的，絕大部分的失效模式是疲勞失效。當(dāng)下應(yīng)用最廣泛的疲勞損傷理論是線性疲勞累積損傷理論，即Miner理論[1]。該理論認(rèn)為材料在各個應(yīng)力下的損傷是獨立進(jìn)行的，并且總損傷可以線性地累加起來[2]。因其簡單易操作而受到生產(chǎn)實際的歡迎，但該理論沒有考慮低于疲勞極限的小載荷和加載順序?qū)ζ趽p傷累積的影響，計算結(jié)果往往與實驗的損傷結(jié)果有較大的偏差。王旭亮等[3]提出的模糊疲勞損傷理論將應(yīng)力模糊帶的上邊界置于疲勞極限處，對小于原來疲勞極限的應(yīng)力也考慮其產(chǎn)生的損傷，但沒有考慮小載荷的強(qiáng)化作用和載荷順序的影響。王正等[4]建立了隨機(jī)載荷循環(huán)作用下的結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測模型，分析了結(jié)構(gòu)所受循環(huán)載荷作用的不確定性特征，并采用泊松隨機(jī)分布來描述零件的動態(tài)可靠性模型[5]，但未考慮載荷之間相互影響，得到的機(jī)械結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測模型和零件動態(tài)可靠性模型與實際結(jié)果依然有較大誤差。為此，筆者提出一種將非齊次泊松過程理論與小載荷及其不確定性和伴隨損傷相結(jié)合來計算疲勞損傷量的方法。

1 傳統(tǒng)疲勞累積損傷理論

傳統(tǒng)疲勞累積損傷理論的基本假設(shè)[6]如下：

1)在任何等級載荷的作用下，零件都將產(chǎn)生疲勞損傷，其疲勞損傷的嚴(yán)重程度除了與該級載荷工作的循環(huán)次數(shù)有關(guān)外，還與該級載荷作用下產(chǎn)生疲勞失效的總循環(huán)數(shù)有關(guān)；

2)每一級載荷產(chǎn)生的疲勞損傷是相互獨立且永存的，并且在不同載荷下循環(huán)工作所產(chǎn)生的累積總損傷等于各級載荷水平下的損傷線性累加。

第1條假設(shè)，任何循環(huán)應(yīng)力都能產(chǎn)生損傷。在與疲勞有關(guān)理論的研究中，高于疲勞極限的載荷稱為大載荷，低于疲勞極限的載荷稱為小載荷，鄭松林等[7]在對汽車前軸的實驗中指出，存在一個低載區(qū)，該區(qū)間的小載荷反復(fù)作用，將使結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度得到不同程度的提高。大多數(shù)機(jī)械零件在實際工作過程中，受載是連續(xù)多變的且往往能跨越各個損傷分界點，而疲勞損傷顯然也是一個連續(xù)累積的過程，在各個載荷歷程采用同一種損傷計算方式顯然是不合適的，因此，計算疲勞損傷必須分段處理。

第2條假設(shè)，不同應(yīng)力幅下循環(huán)工作所產(chǎn)生的累積總損傷等于每一應(yīng)力水平下的損傷之和。文獻(xiàn)[8]中大量試驗事實顯示，分別采用L-H加載順序和H-L加載順序得到的疲勞總損傷差別很大，即疲勞損傷不能僅以各級載荷下的損傷簡單地線性相加。

針對以上不足，筆者將求解疲勞損傷過程劃分為3個不同階段分別求出損傷再累加，并在大載荷區(qū)間考慮載荷作用次序的影響。

2 隨機(jī)過程模型的數(shù)學(xué)描述

在整個機(jī)械系統(tǒng)中，各個零件承受載荷出現(xiàn)的過程是一個計數(shù)過程，時間間隔(t0,t)內(nèi)出現(xiàn)的載荷次數(shù)與下限時間t0前出現(xiàn)的載荷無關(guān)，每時每刻出現(xiàn)的載荷是隨機(jī)變化的，且載荷隨時間的變化不是一個平穩(wěn)增量的過程，因此，可以用非齊次泊松過程描述[9～11]。

假設(shè)N(t)為到時刻t為止載荷出現(xiàn)的總次數(shù)，且N(t)滿足以下條件：

1)N(0)=0；

2)在任意時間段內(nèi)載荷出現(xiàn)相互獨立，即任取0

3)對于任意t>0和充分小的Δt>0，有：

現(xiàn)場的機(jī)械零件所受載荷一般滿足以上幾點，即服從參數(shù)為{λ(t)>0,t≥0}的非齊次泊松隨機(jī)分布，數(shù)學(xué)描述如下：

(s,s+t)時間內(nèi)荷載出現(xiàn)n次的概率：

(1)

對載荷進(jìn)行分級處理，各級載荷出現(xiàn)的概率：

(2)

當(dāng)s=0，n=1時，各級載荷出現(xiàn)一次的概率：

P0[Ni(0+t)-Ni(0)=1] =Λi(t+x)exp(-Λi(t+x))

(3)

顯然，式(3)的值在(0，1)之間波動，并且靠近區(qū)間下限，由麥克勞林公式：

(4)

得：

=Mexp(-M)

=M×[1-M+o(-M)]

=M-M2+o(M2)

=M+o(M)

(5)

3 非齊次泊松過程參數(shù)估計

3.1 自適應(yīng)線性單層神經(jīng)元模型

圖1 自適應(yīng)線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

筆者采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計法[12]對上述模型參數(shù)進(jìn)行估計。冪律模型經(jīng)過對數(shù)化處理可以轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，故選用自適應(yīng)線性單層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)。

1)神經(jīng)元計算模型 自適應(yīng)線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。輸入矢量P的每個元素pj(j=1,2,…,r)，通過權(quán)矩陣W與每個輸出神經(jīng)元相連(即全聯(lián)接)；每個神經(jīng)元通過一個求和符號，在與輸入矢量進(jìn)行加權(quán)求和運算后，形成激活函數(shù)的輸入矢量，并經(jīng)過激活函數(shù)f(·)作用后得到輸出矢量A，它可以表示為：

As·1=F(Ws·r·Pr·1+Bs·1)

(6)

自適應(yīng)線性網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)為線性函數(shù)，因而：

As·1=Ws·r·Pr·1+Bs·1

(7)

式中，Bs·1為偏差矢量；s為神經(jīng)元的個數(shù)；r為輸入矢量的位數(shù)；F(·)表示激活函數(shù)。

當(dāng)s=1時，網(wǎng)絡(luò)全矩陣為：

W1·r=(w11,w12,…,w1r)

(8)

2)W-H學(xué)習(xí)規(guī)則 線性神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)采用的是W-H學(xué)習(xí)規(guī)則，又叫δ規(guī)則或最小均方差算法(LMS)。

首先定義一個線性網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差函數(shù)：

(9)

式中，T為目標(biāo)矢量。

根據(jù)梯度下降法，權(quán)矢量的修正值正比于當(dāng)前位置上E(W,B)的梯度，對于第i個輸出節(jié)點有：

(10)

或表示為：

Δwij=ΔbipjΔbi=ηδi

(11)

這里，η為學(xué)習(xí)效率；δi定義為第i個輸出節(jié)點的誤差：

δi=ti-ai

(12)

在一般的實際運用中，η通常取一接近1的數(shù)，或取值為:

(13)

3.2 參數(shù)估計

各級載荷所對應(yīng)的λi(t)求法相同，只需改變相應(yīng)的統(tǒng)計載荷σi，因此，筆者只介紹λ(t)的算法。

對于機(jī)械問題，非齊次泊松強(qiáng)度函數(shù)λ(t)采用冪律模型[13]確定較為合適：

λ(t)=λβtβ-1

(14)

式中，λ為對應(yīng)齊次泊松強(qiáng)度系數(shù)；β為冪律模型變化參數(shù)。

如前所述，在時間(0,t)內(nèi)的均值為：

(15)

對式(15)兩端同時取對數(shù)，可得：

lnm(t)=lnλ+βlnt

(16)

令y=lnm(t)，x=lnt，a=lnλ，則式(16)可簡化為：

y=a+βx

(17)

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計

這是一條斜率為β、截距為a的直線。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

記神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入矢量和目標(biāo)矢量分別為X,Y：

X=[x1，x2，…，xn]T

(18)

Y=[y1，y2，…，yn]T

(19)

其中，xi=lnti；yi=lnm(ti)；ti為第i次統(tǒng)計時間；n為統(tǒng)計次數(shù)。

將統(tǒng)計所得數(shù)據(jù)按照神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計法得到：

(20)

3.3 當(dāng)量載荷

對于隨機(jī)載荷問題，各個時刻各級載荷的出現(xiàn)均有一定的概率，采用最大順序統(tǒng)計量的方法顯然不合適，故而需要對時刻t的載荷進(jìn)行等效處理，即t時刻的當(dāng)量載荷為：

(21)

4 隨機(jī)載荷作用下的損傷計算

圖3 低幅載荷的分區(qū)

在疲勞損傷計算時，常以疲勞極限為界，疲勞極限以下的載荷稱作小載荷，反之，則為大載荷[14]。機(jī)械零件經(jīng)歷一個完整的時間載荷歷程，往往需要承受大小循環(huán)載荷的作用。現(xiàn)用的疲勞損傷理論模型絕大部分都不考慮小載荷的影響，而只認(rèn)為大載荷才對損傷有貢獻(xiàn)。事實上，能夠造成損傷的小載荷可以低到0.5倍的疲勞極限σe，另外，疲勞試驗表明，對于小載荷，存在一個低幅交變載荷區(qū)，如圖3所示。該區(qū)間的載荷反復(fù)作用于零件或結(jié)構(gòu)，將使其疲勞強(qiáng)度得到不同程度的提高，這種現(xiàn)象被稱為低載強(qiáng)化[15]。

下面，筆者基于均勻損傷計算零件在隨機(jī)載荷作用下的總損傷。因譜載荷作用下的任一級應(yīng)力均不是獨立的，前后應(yīng)力間的耦合作用會對材料的損傷和壽命產(chǎn)生較大影響，故而計算損傷應(yīng)分段考慮。

選取材料的疲勞極限σe為分界點，對于大載荷，主要考慮載荷之間的順序效應(yīng)和相互影響；單次循環(huán)載荷產(chǎn)生的損傷DA稱為伴隨損傷[8]，可以分為2部分：一部分為不影響損傷但反映該次循環(huán)應(yīng)力損傷水平的視在損傷DT，主要作用是改變損傷歷程；另一部分為影響損傷的耦合損傷DC，其值與載荷作用順序及當(dāng)前應(yīng)力產(chǎn)生的損傷有關(guān)。對于小載荷，基于隸屬函數(shù)考慮其強(qiáng)化損傷Ds，對于載荷歷程中處于無強(qiáng)化作用區(qū)的小載荷，其損傷強(qiáng)化效果均可忽略，固取其有強(qiáng)化作用區(qū)的下限σL=0.7σe。隸屬函數(shù)的選取可以根據(jù)所研究問題的性質(zhì)選用某種典型的函數(shù)形式，其參數(shù)也可根據(jù)需要滿足的條件而定。損傷值屬于偏大型模糊分布[16]，隸屬函數(shù)μΘ(σi)是在論域[0,σe)上的有界單調(diào)遞增函數(shù)，其值域為[0,1]。

綜上所述，當(dāng)σi∈[0,σL)時：

μΘ(σi)=0Di=0

(22)

當(dāng)σi∈[σL,σe)時：

(23)

當(dāng)σi∈[σe,σM]時：

(24)

(25)

聯(lián)立式(22)、(23)、(24)、(25)得出譜載荷下的總損傷D：

(26)

5 45鋼隨機(jī)載荷作用下的損傷計算

以45鋼為材料的試件進(jìn)行動態(tài)隨機(jī)加載疲勞試驗，試驗中所設(shè)定的8級應(yīng)力幅值水平分別為：σ1=275MPa，σ2=270MPa，σ3=265MPa，σ4=260MPa，σ5=255MPa，σ6=250MPa，σ7=245MPa，σ8=240MPa。平均應(yīng)力σm=0，應(yīng)力比r=-1，疲勞極限σe=244MPa，試驗中設(shè)定載荷隨機(jī)加載程序，不斷地對試件進(jìn)行動態(tài)循環(huán)加載，直至試件發(fā)生破環(huán)。

依據(jù)文獻(xiàn)[17]提供的載荷數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件的rand函數(shù)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)模擬試件承受的載荷，其受載矩陣P如下：

采用非齊次泊松過程與小載荷理論和伴隨損傷相結(jié)合的方法對試件的損傷值進(jìn)行估算，再將估算結(jié)果與試驗結(jié)果進(jìn)行比對，以驗證該估算方法的可行性。損傷估算具體步驟如下：

1)依據(jù)45鋼的S-N曲線[17]:

σ13.711N=1039.736

(27)

得到各級載荷下的單次循環(huán)損傷值，如表1所示。

表1 各級載荷單次循環(huán)損傷表

2)利用步驟1)中的載荷數(shù)據(jù)輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入層，得到各個統(tǒng)計時刻的λi(t)值，進(jìn)而依據(jù)式(21)計算各個時刻的當(dāng)量載荷值。

3)對于小載荷，其隸屬度函數(shù)選用升半梯形分布，即：

(28)

4)根據(jù)式(26)計算試件發(fā)生疲勞破環(huán)時的損傷值。將獲得的數(shù)據(jù)采用前述方法計算所得的參數(shù)帶入式(26)積分，可以求出在載荷循環(huán)8.080×106次時的損傷和為0.92。

從理論意義上來說，一個試件從生產(chǎn)出來到疲勞破環(huán)的整個生命周期中，損傷值必定在區(qū)間[0,1]上單調(diào)上升，破環(huán)時的損傷和，即臨界損傷和D=1。特別地，修正的Miner理論其臨界損傷和D=1.47。

通過Miner線性疲勞損傷理論計算的疲勞損傷和D=1.71，誤差為71%；通過修正的Miner理論計算得到的疲勞損傷和D=2.24，誤差為52%；通過筆者提出的方法進(jìn)行計算，得到的疲勞損傷和D=0.92，誤差僅為8%。由此可以看出，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的考慮小載荷的泊松過程的方法能夠更好的描述損傷累積過程，使材料的疲勞損傷更加接近實際情況。

6 結(jié)論

1)運用非齊次泊松過程理論對機(jī)械零件所受各級載荷的概率進(jìn)行模擬分析，應(yīng)用“當(dāng)量載荷”代替?zhèn)鹘y(tǒng)的“最大載荷”計算零件的損傷，同時，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法估計非齊次泊松隨機(jī)過程的冪律模型參數(shù)，避免了對于微觀變幅載荷過程求解路徑難以選擇的問題。

2)從理論意義上講，非齊次泊松過程對于隨機(jī)載荷的模擬是比較合理的，在求解損傷的過程中，充分考慮了小載荷的影響，同時對于載荷微觀變幅過程中各級載荷之間的相互影響問題也給予了充分的說明，并以8級載荷的隨機(jī)過程試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，誤差僅為8%，相比于傳統(tǒng)的方法誤差大幅降低，表明采用筆者提出的計算方法對隨機(jī)載荷產(chǎn)生的損傷計算更為精確。

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