李 彬，韋文書，呂 艷，惠俊鵬

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展、飛行環(huán)境的復(fù)雜化以及飛行器能力的單一化，單個(gè)飛行器越來越不能滿足現(xiàn)實(shí)需求，有著單飛行器無法比擬優(yōu)勢的多飛行器協(xié)同技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。充分利用多個(gè)飛行器之間的相互配合，從而高可靠性地完成給定任務(wù)需求。

針對多飛行器的編隊(duì)控制技術(shù)，研究人員基于衛(wèi)星和無人機(jī)進(jìn)行了相關(guān)技術(shù)的研究分析，主要的方法包括：基于行為的隊(duì)形控制、基于圖論的隊(duì)形控制和人工勢場法等。對于簡單的任務(wù)，以上方法建模過程過于復(fù)雜，且交互信息的增加對于任務(wù)完成的可靠性帶來風(fēng)險(xiǎn)。本文主要針對多個(gè)飛行對于目標(biāo)實(shí)施探測的應(yīng)用，從協(xié)同探測和編隊(duì)任務(wù)出發(fā)，基于最優(yōu)控制理論[1]，采用主從原理和虛擬結(jié)構(gòu)方法研究了編隊(duì)隊(duì)形的制導(dǎo)與控制方法。

基于衛(wèi)星編隊(duì)[2]，采用主從方法基于軌道方程形成偏差，構(gòu)建了隊(duì)形跟蹤控制器；基于主從方法[3]，通過相對運(yùn)動(dòng)方程實(shí)現(xiàn)隊(duì)形控制，而采用極小值原理構(gòu)成隊(duì)形；考慮多飛行器編隊(duì)時(shí)[4]，通過預(yù)置角度的方式實(shí)現(xiàn)對于隊(duì)形的控制。在基于主從模式實(shí)現(xiàn)隊(duì)形控制時(shí)[5～8]，只實(shí)現(xiàn)了位置速度的簡單控制，但未考慮多種約束情況。本文針對燃料、探測距離、伴飛時(shí)間等多種約束條件的引入，基于最小值理論形成基于主從模式下的隊(duì)形控制，有效進(jìn)行了過程約束滿足。

1 基于探測與編隊(duì)的空間編隊(duì)問題

1.1 探測隊(duì)形

考慮一主兩從 3個(gè)飛行器時(shí)，為滿足在條件受限的情況下探測效能的最大化，應(yīng)使兩個(gè)從飛行器連線與探測方向互相垂直，且垂直于主飛行器的速度方向。在保證探測精度的情況下，應(yīng)考慮后續(xù)隊(duì)形重構(gòu)與探測陣地隊(duì)形形成之間的銜接問題，為節(jié)省燃料，可形成側(cè)前方隊(duì)形，3個(gè)飛行器所在平面垂直與探測視線方向，如圖1所示。

圖1 對目標(biāo)的協(xié)同探測隊(duì)形Fig.1 Collaborative Detection of Target Formation

將編隊(duì)約束量化可得：

式中 x,y,z分別為從飛行器在發(fā)射坐標(biāo)系下的位置；x0, y0, z0分別為在主飛行器速度方向且距其一定距離的虛擬點(diǎn)在發(fā)射坐標(biāo)系下的位置，可根據(jù)主飛行器位置、速度以及距主飛行器的距離求解； xT,yT,zT分別為探測目標(biāo)在發(fā)射坐標(biāo)下的位置；L為主從飛行器間的相對距離。求解上述方程組，可得方程組的兩個(gè)解，即兩個(gè)從飛行器在發(fā)射坐標(biāo)系下的位置。

1.2 編隊(duì)隊(duì)形

當(dāng)任務(wù)需求為在發(fā)現(xiàn)目標(biāo)之后執(zhí)行有效編隊(duì)，使從飛行器機(jī)動(dòng)到主飛行器與目標(biāo)連線上，且距離主飛行器一定距離，然后保持此隊(duì)形對目標(biāo)進(jìn)行伴飛，編隊(duì)如圖2所示。

將編隊(duì)約束量化可得：

式中 xKKV，yKKV，zKKV為從飛行器在發(fā)射系下的位置；x，y，z為主飛行器在發(fā)射系下的位置；xEKV，yEKV，zEKV為對目標(biāo)進(jìn)行彈道預(yù)報(bào)得到的目標(biāo)在發(fā)射系下的位置；k為主從飛行器間距離與從飛行器與目標(biāo)距離的比值。

圖2 編隊(duì)隊(duì)形Fig.2 Multi-target Formation

根據(jù)主從模式和虛擬結(jié)構(gòu)方法形成了對于編隊(duì)的構(gòu)型，滿足基本探測與編隊(duì)的需求，在此基礎(chǔ)上，考慮具體的編隊(duì)控制方法，并引入約束條件開展開閉環(huán)的綜合編隊(duì)制導(dǎo)方法研究。

2 基于開閉環(huán)的編隊(duì)綜合控制方法

空間編隊(duì)持續(xù)時(shí)間長，從飛行器攜帶的燃料受限，因此燃料的消耗在編隊(duì)控制過程中是一至關(guān)重要的約束條件。采用基于雙積分模型的最少燃料最優(yōu)控制技術(shù)可在滿足隊(duì)形精度等要求下實(shí)現(xiàn)最小燃料消耗。

一般的空間運(yùn)動(dòng)由復(fù)雜的軌道運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，但在基準(zhǔn)的慣性坐標(biāo)中，假設(shè)主飛行器遵循自由段飛行運(yùn)動(dòng)方程，從飛行器距離其較近，則主從飛行器的相對運(yùn)動(dòng)在慣性空間中可視為具有一定加速度作用下的牛頓第二運(yùn)動(dòng)方程，即可描述為雙積分模型[1]。雙積分模型是由兩個(gè)積分環(huán)節(jié)組成的二階系統(tǒng)模型，形式如下：

雙積分模型狀態(tài)方程為

在隊(duì)形形成過程中，取從飛行器相對主飛行器彈道坐標(biāo)系的位置和速度作為狀態(tài)量，即取從飛行器相對主飛行器彈道系的過載為制導(dǎo)控制量，即，則狀態(tài)方程為

系統(tǒng)初始狀態(tài)和終端狀態(tài)分別為

考慮到目標(biāo)，設(shè)定自由的目標(biāo)函數(shù)，基于空間運(yùn)動(dòng)燃料最省原則，將目標(biāo)泛函設(shè)為

由于空間運(yùn)動(dòng)的主要?jiǎng)恿橥屏ζ鳎ㄟ^約束自由運(yùn)動(dòng)中控制量的大小，則可對于燃料形成最小的損耗要求。

為了有效節(jié)省燃料，并考慮時(shí)間約束，隊(duì)形控制問題則轉(zhuǎn)換為一個(gè)燃料最省的最優(yōu)軌跡實(shí)現(xiàn)問題。

2.1 開環(huán)控制策略

考慮到相對運(yùn)動(dòng)3個(gè)運(yùn)動(dòng)方向完全分離，則以彈道系x方向?yàn)槔?，給出具有的開閉環(huán)綜合控制方法。

狀態(tài)方程可寫為

目標(biāo)泛函為

根據(jù)狀態(tài)方程，基于極大值原理，系統(tǒng) Hamilton函數(shù)可寫為

對于最小燃料系統(tǒng)，為使H最小，最優(yōu)制導(dǎo)應(yīng)為

為了確定最優(yōu)控制 u*x(t)，必須求解 λx2( t)。由協(xié)態(tài)方程可知：

解得：

由于H函數(shù)不顯含時(shí)間t，且ft自由，所以沿最優(yōu)軌線H函數(shù)等于零，即：

λx2( t )的變化規(guī)律有兩種不同情況：

a）當(dāng) c1= 0時(shí)，為滿足式（10），應(yīng)有 c2=±1。這時(shí)，只能利用式（7）確定最優(yōu)控制 u*(t)的符號(hào)及取值范圍，而無法確定其變化規(guī)律，從而出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。

b）當(dāng) c1≠ 0時(shí)，由式（10）可知，λx2( t) =-c1t + c2是

時(shí)間的線性函數(shù)。在區(qū)間內(nèi)， λx2( t)最多出現(xiàn)一次+1和一次-1，即最多有兩個(gè)點(diǎn)滿足= 1，這屬于平凡系統(tǒng)，最優(yōu)控制必是3位控制，即在-1，0，+1之間最多只能進(jìn)行兩次切換。

應(yīng)用相平面分析法繪制狀態(tài)軌線，并尋找最優(yōu)控制()ut?與最優(yōu)狀態(tài)軌線()xt?之間的關(guān)系。可以看到，采用不同的控制策略時(shí)，相對運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)軌線在相平面上存在不同的變化軌跡，此時(shí)滿足最省燃料。

對于相對位置和速度控制，根據(jù)初始狀態(tài)和末端狀態(tài)，可能的控制方案有4種，如圖3所示。

圖3 控制方案Fig.3 Control Scheme

將 ux(t) = u , 0,-u 代入狀態(tài)方程，可解得響應(yīng)的狀態(tài)軌線，此時(shí)所耗費(fèi)的燃料最小。

2.2 編隊(duì)最優(yōu)控制的閉環(huán)實(shí)現(xiàn)

為解決諸多因素對隊(duì)形形成精度產(chǎn)生的影響，引入狀態(tài)的線性和非線性反饋形成閉環(huán)控制，以保證隊(duì)形形成的精度。

軌控發(fā)動(dòng)機(jī)第 1次開機(jī)時(shí)，只需要保證軌控發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間滿足式（12）即可保證從飛行器相對主飛行器的速度滿足要求。

式中0v為初始速度；fv為期望速度； ()mt為質(zhì)量；F為軌控發(fā)動(dòng)機(jī)的額定推力；FΔ為姿態(tài)角誤差等因素引起的在指定方向的推力的變化量。

u*(t)的表達(dá)式為

式中 +1表示推力方向指向正方向的發(fā)動(dòng)機(jī)工作；-1表示推力方向指向負(fù)方向的發(fā)動(dòng)機(jī)工作；0表示發(fā)動(dòng)機(jī)均不工作；insv為ab～tt之間的理想相對速度。

當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)在后續(xù)的正向開機(jī)和反向開機(jī)時(shí)，對象的控制向量分別可寫為

式中分別對應(yīng)隊(duì)形形成的 3個(gè)階段，即加速階段、慣性飛行階段和減速階段。通過相對位置和速度的偏差引入，則可以采用上述過程實(shí)現(xiàn)控制，修正開環(huán)軌跡受干擾運(yùn)動(dòng)后所帶來的偏差。

3 數(shù)值仿真及分析

結(jié)合上述方法，以隊(duì)形重構(gòu)為例，設(shè)定仿真條件驗(yàn)證方法的有效性。

a）設(shè)定單個(gè)從飛行器質(zhì)量為20 kg，攜帶燃料5 kg；

b）具備獨(dú)立的目標(biāo)探測跟蹤能力，并安裝了軌控和姿控發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行編隊(duì)控制、姿態(tài)控制；

c）軌控發(fā)動(dòng)機(jī)呈十字形安裝在質(zhì)心處，推力為1000 N，比沖量為2940 m/s。

設(shè)定初始偏差，根據(jù)指令進(jìn)行隊(duì)形的生成與穩(wěn)定。仿真結(jié)果如圖4～8所示。

圖4 隊(duì)形生成位置跟蹤效果Fig.4 Formation Build of the Position Tracking Effect

圖5 隊(duì)形形成速度跟蹤效果Fig.5 Formation Build of the Velocity Tracking Effect

圖6 發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火脈沖曲線Fig.6 Engine Ignition Pulse Curve

圖7 PID和準(zhǔn)滑?？刂品椒òl(fā)動(dòng)機(jī)所需要工作的時(shí)間Fig.7 PID and Quasi-sliding Mode Control of Engine Work Required Time

圖8 最省燃料最優(yōu)控制發(fā)動(dòng)機(jī)所需要工作的時(shí)間Fig.8 Most Fuel-efficient Control of the Engine Required Working Time

仿真結(jié)果可以看出，從飛行器相對主飛行器的速度變化單一，軌控發(fā)動(dòng)機(jī)只有一次開關(guān)切換，姿控發(fā)動(dòng)機(jī)只需開關(guān)兩次，減少了發(fā)動(dòng)機(jī)的開關(guān)次數(shù)，發(fā)動(dòng)機(jī)只需工作0.175 s即可，而PID和準(zhǔn)滑?？刂品椒òl(fā)動(dòng)機(jī)所需要工作的時(shí)間為0.6 s左右。隊(duì)形重構(gòu)末端位置偏差小，滿足要求。

4 結(jié)束語

本文基于主從模式和虛擬結(jié)構(gòu)方法進(jìn)行了空間飛行器編隊(duì)問題的約束條件提取，采用燃料最少最優(yōu)控制理論進(jìn)行編隊(duì)的控制，通過極大值原理討論了雙積分系統(tǒng)的軌線變化趨勢，并結(jié)合相平面方法分析了燃料最小條件下的最優(yōu)開環(huán)軌跡策略，并結(jié)合空間運(yùn)動(dòng)條件給出了該方法的閉環(huán)實(shí)現(xiàn)。從仿真結(jié)果可以看出，該方法能滿足編隊(duì)控制的需求，能滿足燃料以及精確約束。相對于傳統(tǒng)方法，可更好滿足時(shí)間上的約束條件。

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