潘益娟

摘 要：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)過(guò)程中教師引導(dǎo)學(xué)生觀察命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從已知條件、所要解決的問(wèn)題結(jié)論等多方位有目的地指導(dǎo)觀察分析，通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想等手段觀察問(wèn)題，深入思考挖掘題目的隱含條件，領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的構(gòu)思訣竅，開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，形成一條解決問(wèn)題的思維鏈，促使他們熟練掌握正確地解決問(wèn)題的方式方法.

關(guān)鍵詞：引導(dǎo)觀察；醞釀思路；正確運(yùn)用

培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，是教學(xué)的重要目的之一，也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生綜合能力的一個(gè)重要手段[ 1 ].因此，除了在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)上重視教材內(nèi)容的特點(diǎn)外，還應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。如在指導(dǎo)學(xué)生參加福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)他們觀察問(wèn)題的特點(diǎn)，開(kāi)拓他們的解題思路，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，熟練正確地解決問(wèn)題.

1 觀條件隱含，察結(jié)論聯(lián)系

例1.設(shè)x= ，求 的值.

分析：本題為化簡(jiǎn)求值，通常先把x= 化為x= =4- ，再把 化簡(jiǎn)后，把x=4- 代進(jìn)去求值，甚為麻煩。通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)如能從條件x=4- 中繼續(xù)變化，可得x2-8x+13=0，這一隱含條件再將所求的分母、分子中析出x2-8x+13，求法將極大地簡(jiǎn)化.

解：∵x= ， ∴x2-8x+13=0 .

∵

=

= =5 .

例2.已知：（ ）m+（ ）m=4，求m的值.

分析：觀察題目，發(fā)現(xiàn)它隱含（ ）m×（ ）m=1.所以，（ ）m與（ ）m與可以看成是一元二次方程x2-4x+1=0的兩根，得x1.2=2± =（ ）2= （ ）-2 ∴m=±2

上述二例中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從已知條件看到它背后隱含的條件，給解題提供了充足條件，聯(lián)系問(wèn)題結(jié)論實(shí)際要求，通過(guò)選擇合適的運(yùn)算方式，從而十分簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題.

2 觀所求結(jié)論，察已知題設(shè)

例3.若x-y=3，x2+y2=10，求x2-y2的值.

分析：按常規(guī)，本題可以通過(guò)解方程組x-y=3x2+y2=10，得出x，y.但觀察已知條件可知x2-y2與已知只差一個(gè)（x+y），且x+y=± =± =± ，從而x2- y2=（x+y）（x-y）=±3 .

例4.若a是方程x4+4x3+2x+2=0的一個(gè)根，不用求a的值，將 化簡(jiǎn).

分析：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，可觀察到所要求的結(jié)論與已知存在著密切的聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)，所要求的分母a3+4a2+2與已知方程左邊x4+4x3+2x+2中前三項(xiàng)即x4+4x3+2x有形似之處，所以不妨在已知條件a是方程x4+4x3+2x+2=0的根上做文章.

解：∵a是方程x4+4x3+2x+2=0的根.

∴x4+4x3+2x+2=0即x4+4x3+2x=-2.

∴ = = =-a2+2a .

上述二例，培養(yǎng)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)聯(lián)想其與已知條件所存在的關(guān)系，這可以給解題提供清晰的思路，促使問(wèn)題得以輕松有效地解決.

3 觀題目特點(diǎn)，察所學(xué)知識(shí)

（1） 巧用二次函數(shù)性質(zhì)

例5.已知：a，b，c都是實(shí)數(shù)a≠b，且16a+8b+c>0，9a-6b+c<0.證明：b2>ac.

分析：通過(guò)觀察，本題可轉(zhuǎn)化為y=ax2+bx+c 的相關(guān)問(wèn)題來(lái)解決，把條件變形為a（-4）2-2b（-4）+c>0，a·32-2b·3+c<0，這意味著二次函數(shù)y=ax2-2bx+c，當(dāng)x=-4時(shí)y>0，而當(dāng)x=3y時(shí)y<0，因此，得知函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖象有在x軸的上方，也有在x軸的下方，故圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，即一元二次方程y=ax2-2bx+c有兩個(gè)不等實(shí)根，故判別式△>0，即（-2b）2-4ac>0，從而b2>ac.

通過(guò)這個(gè)例子的已知條件與所求證的問(wèn)題觀察，聯(lián)想到它可利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)解決，這就顯示了通過(guò)觀察和聯(lián)想能開(kāi)闊解題的思路，促進(jìn)問(wèn)題得以有效解決.

（2）活用根與系數(shù)的關(guān)系

例6.求證：若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，則x+z=2y.

分析：本題若按一般方法來(lái)解的話，應(yīng)先將已知條件中方程的左邊根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則展開(kāi)，再利用因式分解去化簡(jiǎn)整理，這樣解題計(jì)算過(guò)程則較為復(fù)雜，若從已知條件的特征上認(rèn)真觀察的話，可知已知等式的左邊與一元二次方程的判別式形式差不多，所以本題可看成是方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有兩個(gè)相等根的條件，而且還觀察到當(dāng)t=1時(shí)這個(gè)方程成立，∴t=1是方程的根.于是根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得： =1 ，所以x+z=2y. 例7.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足

a2-a-bc+1=0 ①

2a2-2bc-b-c+2=0 ② ，

證明：a≥1.

分析：通過(guò)觀察，根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)系數(shù)含有a且有實(shí)根的二次方程，由①式得bc=a2-a+1…③

以①×2-②得b+c=2a…④，由③、④及根與系數(shù)的關(guān)系可知實(shí)數(shù)b，c是方程x2-2ax+a2-a+1=0的兩個(gè)實(shí)根，故其判別式△≥0，即（-2a）2-4（a2-a+1）≥0，得a≥1.

（3）綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

例8：解不等式 >x +|x-1|.

分析：本題通常解法是先分區(qū)間去絕對(duì)值符號(hào)，然后解無(wú)理不等式，相當(dāng)復(fù)雜.但通過(guò)觀察題目結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)可運(yùn)用函數(shù)的圖象直觀地看出解的范圍 .

解：y=x+|x-1|=1（x≤1）2x-1（x>1） 如圖1，函數(shù)y= 與y = x +|x-1|的圖象交于B、A兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x1=2，x2=-6，從圖形觀察知，在-6

∴原不等式解集為-6

在教學(xué)實(shí)踐中，教師與學(xué)生都深深地感受到：觀察一個(gè)問(wèn)題，不僅要有目的、有重點(diǎn)，還要進(jìn)行類(lèi)比、聯(lián)想才能使問(wèn)題用合理、簡(jiǎn)潔的方式達(dá)到優(yōu)化解決的目的.

從以上例題可看出幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都有它的構(gòu)思訣竅，而大部分學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，不知道要如何下手，沒(méi)有方法可尋，所以，我們必須根據(jù)題目的要求，引導(dǎo)學(xué)生觀察要點(diǎn)，開(kāi)拓思路，對(duì)問(wèn)題的各種形式進(jìn)行對(duì)比觀察，尋找轉(zhuǎn)機(jī)，也許能達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果，讓他們有的放矢地解決問(wèn)題[ 2 ].

參考文獻(xiàn)：

[1] 崔亞明.數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生觀察力[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2010（11）：86-87.

[2] 鄭雅莉.地理教學(xué)中逆向思維能力的培養(yǎng)[J].考試周刊，2015（25） ：118-119.