葉良銓

摘 要：近年來(lái)，與多面體相關(guān)的外接球的表面積或體積問(wèn)題頻繁出現(xiàn)在高考或各種模擬考試卷中，試題的廣度、深度、難度都在不斷加大，并常常位于客觀題靠后的位置，成為逐步興起的高考熱點(diǎn)。解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是選好解題策略。策略一，找模型（正方體、長(zhǎng)方體）；找“墻角”塞，（直三棱柱，正棱柱，正棱錐，正四面體）；策略二，定球心（分別過(guò)兩個(gè)面的外心作面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)，即為球心）.

關(guān)鍵詞：高考；視圖；還原；外接球；策略

隨著高考對(duì)立體幾何知識(shí)考查的深入，進(jìn)一步拓寬了對(duì)立體幾何問(wèn)題的命題空間和解題空間，試題的結(jié)構(gòu)、背景、交匯更加豐富、更加新穎。全國(guó)卷中往往是只給出幾何體的三視圖，要求考生求原幾何體外接球的表面積和體積.其難點(diǎn)在于準(zhǔn)確還原原幾何體和幾何體外接球半徑的求解.本文結(jié)合實(shí)例，更加系統(tǒng)的介紹由三視圖如何準(zhǔn)確還原幾何體以及幾何體外接球半徑的幾類求法，希望對(duì)同行有所幫助.

1 預(yù)備知識(shí)

預(yù)備知識(shí)一：由三視圖還原幾何體的通法：垂直拉升法（三線交匯得頂點(diǎn)）.

由三視圖還原幾何體的步驟：

全國(guó)卷中，往往需要由三視圖還原幾何體，這就要求考生要有很強(qiáng)的空間想象能力，要通過(guò)不斷猜想、驗(yàn)證、調(diào)整才能得出原幾何體.而有些較復(fù)雜的反常規(guī)的三視圖，在高考有限的時(shí)間內(nèi)卻很難做到，給考生設(shè)置了一道攔路虎，也會(huì)使考生對(duì)后面的答題產(chǎn)生心理波動(dòng).

例1.（2014年高考全國(guó) I 卷理科第12題）如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為4，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度是（ ）

A. 6 B. 6 C.4 D. 4

解析：步驟1：由三視圖可知，原幾何體的長(zhǎng)、寬、高均為4，所以我們可用一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方體作為載體對(duì)三視圖進(jìn)行還原，如圖2（1）.

步驟2：根據(jù)正視圖，在正方體中畫出正視圖上的四個(gè)頂點(diǎn)的原象所在的線段。即在正方體的后“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A'B'D'C'，然后從后→前垂直拉伸，用紅線表示如圖2（2）.

步驟3：側(cè)視圖有三個(gè)頂點(diǎn)，畫出它們的原象所在的線段。即在正方體的右“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A'B'C'，然后從右→左垂直拉伸，用藍(lán)線表示如圖2（3）.

步驟4：俯視圖有三個(gè)頂點(diǎn)，畫出它們的原象所在的線段。即在正方體的下“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A'B'D'C'，然后從下→上垂直拉伸，用綠線表示如圖2（4）.

步驟5：三種顏色線的公共點(diǎn)（只有兩種顏色線的交點(diǎn)不行； 雖是三種顏色的交點(diǎn)，但如果在其三個(gè)方向上的點(diǎn)都是三種顏色的交點(diǎn)，則此點(diǎn)要剔除）即為原幾何體的頂點(diǎn)，連接各頂點(diǎn)即為原幾何體，如圖2（5）.

步驟6：驗(yàn)證圖2（6）所得的幾何體是否符合題意.

結(jié)合圖2（6），易知BC=AB=4，CA=4 ，

AD=DC=2 容易求得，AD=6，故最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)BD=6，故選B.

以上方法步驟歸納為：①畫；②垂；③選；④連；⑤驗(yàn)。

注：（1）還原三個(gè)視圖無(wú)先后順序；（2）三視圖的虛線表示在幾何體不可視的位置：后面、右面、下面等.實(shí)線在幾何體表示可視的位置：前面、左面、上面等.

預(yù)備知識(shí)二：球的定義、性質(zhì)、常用結(jié)論.

定義：空間中，若一個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)幾何體的各頂點(diǎn)的距離都相等，則這個(gè)定點(diǎn)就是該幾何體的外接球的球心.

性質(zhì)：球心與截面圓（小圓）圓心的連線垂直于截面圓.

基于上述的定義與性質(zhì)，可以得到確定簡(jiǎn)單多面體外接球的球心的位置有如下結(jié)論[ 1 ]：

結(jié)論1：長(zhǎng)方體和正方體的外接球的球心在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處.

結(jié)論2：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.

結(jié)論3：正棱錐的外接球的球心在其體高上，具體位置可通過(guò)列方程計(jì)算來(lái)確定.

結(jié)論4：正棱柱的外接球的球心在上下底面中心的連線的中點(diǎn)處.

結(jié)論5：直三棱柱的外接球的球心在上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)處.

結(jié)論6：過(guò)幾何體其中兩個(gè)面（外心較易找到）的外心分別作這兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)即為球心.

預(yù)備知識(shí)三：三角形的外心.

1. 定義：△ABC外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱為△ABC的外心。

它是△ABC各邊中垂線的交點(diǎn).

2. 性質(zhì)：①直角△ABC的外心在斜邊的中點(diǎn)處.

②等邊△ABC的外心在中線的三等分點(diǎn)處.

③設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理

有： = = =2R.

2 簡(jiǎn)單多面體外接球半徑的求法

那么在具體問(wèn)題中，又如何應(yīng)用上面的兩個(gè)預(yù)備知識(shí)求簡(jiǎn)單多面體外接球的半徑呢？下面我就通過(guò)幾個(gè)實(shí)例加以總結(jié)，并模型化.

（1）模型一 長(zhǎng)方體（正方體）模型

①“墻角模型”（三線兩兩垂直），如圖3（1），（2），（3），（4）

方法：找三條兩兩互相垂直的線段，分別作為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高a，b，c，

用公式：2R= ，即R= .

例2. （2017·蘭州市實(shí)戰(zhàn)考試）一個(gè)幾何體的三視圖如圖4（1）所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為（ ）

A B C 3 D 3

解析：由三視圖還原成的幾何體是四棱錐P—ABCD，如圖4（2）所示，其外接球即為邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球，注意：DA、DC、DP兩兩互相垂直，形似“墻角”，而正方體的體對(duì)角線就是其外接球的直徑，故外接球的直徑2R= = ，即R= ，所以球的表面積S=4 R2= ，選A.

②直三棱柱（底面為直角三角形）模型

題設(shè)：如圖5（1）直三棱柱中ABC-A1B1C1中，AB AC，A1A 面ABC，AB=a，AC=b，AA1=c，求此三棱柱外接球的表面積.

解析：根據(jù)此三棱柱的特征，可補(bǔ)成如圖5（2）的長(zhǎng)方體，從而外接球的半徑R= .

③對(duì)棱相等模型

題設(shè)：已知三棱錐（四面體）的三組對(duì)棱對(duì)應(yīng)相等，分別為x，y，z，求此三棱錐的外接球的表面積.

解析：如圖6，AD=BC=x，AC=BD=y，AB=CD=z.

第一步：畫一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c；并標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱.

第二步：列方程組，解方程

a2+b2=BC2=x2

b2+c2=AC2=y2 a2+b2+c2= .

c2+a2=AB2=z2

第三步：根據(jù)墻角模型，2R= ，

即R= .

第四步：由球的表面積公式S=4 R2求得.

（2） 模型二 共斜邊的直角三角形模型

題設(shè)：如圖7（1）所示，三棱錐P-ABQ中，∠APB=∠AQB=900，求三棱錐外接球的半徑.

解析：取斜邊AB的中點(diǎn)O，連接OP、OQ，則有

OP= AB=OA=OB=OQ，所以點(diǎn)O 即為球心，在△POQ中可求得球半徑R.

例3 （2016年福建省質(zhì)檢理科10） 如圖7（2），在三棱錐P-ABC中，PA=2 ，PC=2，AB= ，BC=3，∠ABC= ，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（ ）

（A） 4 （B） （C） （D）16

解析：在RtΔABC中，AC= =4所以在ΔPAC中AC2=16，PA2+PC2=16，即：PA2+PC2=AC2，∠APC=900.所以AC的中點(diǎn)0即為球心，故R= AC=2，所以S=4 R2=16 ，選D.

（3）模型三 正棱錐模型（以正三棱錐為例）

正棱錐的外接球球心在體的高線上.

題設(shè)：如圖8，已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，求此三棱錐外接球的表面積.

第一步：確定球心的位置。取ΔABC的外心H，連接PH，在PH上任取點(diǎn)O，則恒有ΔOAH≌ΔOCH，所以恒有OA=OB=OC，故當(dāng)OA=OP時(shí)，點(diǎn)O便為球心.

第二步：計(jì)算.設(shè)OA=OP=R，則在RtΔOAH中：

OH=h-R，AH=r= a× = a，由勾股定理得R2=（ a）2+（h-R）2，從而解出R= .故此三棱錐的外接球的表面積為4 （ ）2.

（4）模型四 直三棱柱（底面不為直角三角形）

題設(shè)：如圖9，直三棱柱中ABC-A1B1C1中，A1A⊥面ABC，AB=a，AC=b，BC=c，A1A=h，求此三棱柱外接球的表面積.

解析：設(shè)O1，O2分別為△ABC和△A1B1C1的外心，可推得O1，O2的中點(diǎn)即為三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心O.在△ABC中，由余弦定理得：cosA= ，所以sinA= ，所以由正弦定理得△ABC外接圓的直徑2r= ，即O1A= ，又OO2= ，所以在RtΔOO2A中，求得R=OA= .

（5） 模型五 定球心

球心在過(guò)截面圓圓心的垂線上.

例4 （2016年福建省單科質(zhì)檢理科15變式）如圖10，三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2 ，AB=4，∠BAC=300。若三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 .

解析：依題意得，△PAC為正三角形，其外心在底邊AC的高線PH的三等分點(diǎn)O2處；又因?yàn)樵讦BC中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=2 ，所以，AB2=AC2+BC2.故∠ACB=900，所以ΔABC的外心在斜邊AB的中點(diǎn)O1處。由題意可得PH⊥面ABC，可推得O1H⊥面PAC，過(guò)O1作OO1∥PH，過(guò)O2作OO2∥O1H，OO1與OO2交于點(diǎn)O，則有OO1⊥面ABC，OO2⊥面PAC，所以點(diǎn)O即為三棱錐P-ABC的球心。所以在RtΔOO1B中O1B= AB=2，OO1=O2H= PH=1，，所以外接球半徑R2=OB2=OO12+O1B2=5，所以外接球的表面積為20 .

（6） 模型六 建系型

例5 如圖11（1），邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格，某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 .

解析：由垂直拉伸法（三線交匯得頂點(diǎn)）可還原原幾何體，如圖10（2）所示，三棱錐P-ABC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A（1，2，0），B（0，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1）；設(shè)球心O（x，y，z），球半徑為R.依題意有OA2=OB2=OC2=OP2=R2：即

（x-1）2+ （y-2）2+z2=R2

x2+（y-2）2+z2=R2

x2+（y-1）2+z2=R2

x2+y2+（z-1）2=R2

即O（ ， ， ），所以R2= ，故外接球的表面積為11 .

另解：可構(gòu)造如圖11（3）所示的直三棱柱PBC-PQA，利用模型四來(lái)解決，讀者不妨可以試解一下.

總之，解決幾何體外接球的問(wèn)題遵循兩個(gè)策略，策略一，找模型.如正方體、長(zhǎng)方體（找“墻角”塞）、直三棱柱、正棱柱、正棱錐、正四面體； 策略二，定球心.分別過(guò)兩個(gè)面的外心作面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)，即為球心.

參考文獻(xiàn)：

[1] 武增明.確定多面體外接球球心的策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（1）：10.