張 敏

(上海市徐匯區(qū)逸夫小學(xué)，上海 200237)

數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)是高度抽象與概括。數(shù)形結(jié)合思想可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。根據(jù)中低年級(jí)兒童的年齡和心理特點(diǎn)，兒童的認(rèn)識(shí)都是要經(jīng)歷一個(gè)直觀到抽象的過程。因此，教師在教學(xué)中要注意“數(shù)形結(jié)合”，從直觀到抽象，幫助學(xué)生更好地理解算理，辨析概念，發(fā)展空間思想，分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系以及提高解題能力。

一、“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)涵及理論基礎(chǔ)

1.“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)結(jié)合起來進(jìn)行考慮的一種思想。[1]它既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，并充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路。數(shù)形結(jié)合思想方法包含兩個(gè)方面：一是同數(shù)及形，即“數(shù)”上構(gòu)“形”，對(duì)于表面上屬于代數(shù)類的問題，充分利用“形”，把其中的數(shù)量關(guān)系的幾何特征形象地表示出來，通過對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用；二是同形及數(shù)，即“形”中覓“數(shù)”，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)關(guān)系特征，尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，將幾何問題代數(shù)化，利用代數(shù)的算法優(yōu)勢(shì)，以“數(shù)”助“形”，使問題獲得解決。[2]

2.“數(shù)形結(jié)合”思想的理論基礎(chǔ)

(1)表征理論

本文主要研究數(shù)學(xué)的外部表征，即“數(shù)”與“形”的表征。不同表征傳遞的信息不同，“數(shù)”表征比“形”表征抽象，傳遞更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)信息；“形”表征比較具體和直觀，因?yàn)閳D形更貼近客觀世界，所以傳遞的信息更易被學(xué)生認(rèn)知?；诖?，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生將“數(shù)”與“形”表征相結(jié)合整體運(yùn)用，所獲得的有效信息和線索更多。而當(dāng)題目中的表征不適合問題解決時(shí)，學(xué)生會(huì)通過表征轉(zhuǎn)化獲得更適合的新表征，以便更快速有效地解決問題。

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供練習(xí)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生深入了解什么是“數(shù)”表征，什么是“形”表征。在練習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)自主發(fā)現(xiàn)兩者之間的規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系，形成有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

(2)認(rèn)知建構(gòu)主義理論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)建構(gòu)學(xué)習(xí)的活動(dòng)。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握不是被動(dòng)的接受和模仿，而是運(yùn)用自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行理解和解釋，以達(dá)到建構(gòu)新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的。學(xué)生需要在教師的指導(dǎo)下，經(jīng)過親身實(shí)踐和體驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)關(guān)于“數(shù)”與“形”的概念，加強(qiáng)自身對(duì)于“數(shù)”與“形”的體驗(yàn)和理解，深度挖掘知識(shí)背后的聯(lián)系。這能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)意義的理解，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建多元的數(shù)學(xué)思維模式。

二、“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)

基于“數(shù)形結(jié)合”的理論基礎(chǔ)，本文通過具體案例讓學(xué)生深入了解什么是“數(shù)”表征，什么是“形”表征，并能夠運(yùn)用自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行理解和解釋，以達(dá)到建構(gòu)新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的。

1.計(jì)算教學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

當(dāng)今社會(huì)，家長為了孩子不輸在起跑線上，早就開始搶跑。在讀小學(xué)之前，幼兒已經(jīng)學(xué)會(huì)了很多的計(jì)算，有的甚至?xí)辔粩?shù)加減法。然而這些學(xué)生只是機(jī)械地“依樣畫葫蘆”，對(duì)于為什么這樣算根本就不清楚。學(xué)前搶跑反而阻礙了孩子數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，因此教師要重視算理的教學(xué)指導(dǎo)，讓學(xué)生深入了解什么是“數(shù)”表征。

例如，一年級(jí)第一學(xué)期的“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”的教學(xué)中，教師從生活情景中引出算式“5+9=”該如何算呢？學(xué)生紛紛開動(dòng)腦筋，有的畫一畫數(shù)一數(shù)，有的用小圓片擺一擺，有的用數(shù)射線算一算等，呈現(xiàn)了各種方法。當(dāng)交流比較哪種算法更好時(shí)，學(xué)生紛紛表示數(shù)的方法太麻煩。而小圓片和數(shù)射線的方法中，第一步也是最重要的一種方法就是“湊十法”，同時(shí)學(xué)生感受到先湊到10計(jì)算比較簡便。于是便出現(xiàn)了兩種方法，如圖1所示。

圖1 進(jìn)位加法教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合圖

教師引導(dǎo)學(xué)生說說擺的方法時(shí)， 可以問：(1)為什么要在9個(gè)小圓片的基礎(chǔ)上再增加一片？ (2)哪來的“1”，誰給的“1”？給完還剩幾？(3)算式怎么表示？在這樣的圖文結(jié)合中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算理列出算式，先算什么，再算什么，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合小圓片圖用數(shù)學(xué)語言完整地表述整個(gè)計(jì)算過程。

這兩種方法都是通過動(dòng)手?jǐn)[小圓片的過程，在直觀實(shí)物中建立表象。小圓片與算式匹配起來，真正做到“數(shù)形結(jié)合”，使學(xué)生對(duì)于進(jìn)位加法的算理理解更加深刻，如此才能從真正意義上理解算理，掌握計(jì)算方法。在計(jì)算教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法能使學(xué)生更好地理解算理，更快地掌握計(jì)算方法，起到了事半功倍的效果。

2.概念教學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

由于概念本身的高度概括和抽象難懂等特點(diǎn)，概念教學(xué)一直是教學(xué)中的難點(diǎn)，給教師帶來了一定的挑戰(zhàn)。有的教師讓學(xué)生把概念中的定義、公式一遍一遍地讀，學(xué)生還是一知半解。因此為更好地理解概念，教師應(yīng)該從“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)思想出發(fā)，讓學(xué)生深入了解什么是“形”表征。同時(shí)也讓學(xué)生親自實(shí)踐，進(jìn)行建構(gòu)。

如在“有余數(shù)除法”的教學(xué)中，要讓學(xué)生首先感知“余數(shù)”的概念，余數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？“余數(shù)一定要比除數(shù)小”這個(gè)結(jié)論又是怎樣得到的？這些概念對(duì)于學(xué)生來說都是非常抽象的。于是教師設(shè)計(jì)了如下活動(dòng)：

(1)13顆糖，平均分給4個(gè)小朋友，每人得到幾顆？

(2)匯報(bào)交流，感受“分到不能分”。

回答1：13顆糖，平均分給4個(gè)小朋友，每人得到3顆，還剩余1顆。

回答2：13顆糖，平均分給4個(gè)小朋友，每人得到2顆，還剩余5顆。

這時(shí)候?qū)W生馬上舉手說糖還沒有分完，還可以每人再分一次，從直觀操作中感知：要分到不能分為止。

(3)數(shù)形結(jié)合中引出算式表示方法，認(rèn)識(shí)算式各部分的名稱。

誰能把分的過程用算式表示出來？

引導(dǎo)學(xué)生思考：如果12顆糖平均分給4個(gè)人，每人分到3顆，算式我們會(huì)寫。但現(xiàn)在剩余1顆該如何表示呢？

由此引出算式：13÷4=3(顆)……1(顆)

請(qǐng)學(xué)生根據(jù)分糖的過程或者圖片，說說算式中每個(gè)數(shù)表示什么意思？

(4)分14、15、16顆糖，并把結(jié)果用算式記錄，觀察發(fā)現(xiàn)余數(shù)特點(diǎn)。

13÷4=3(顆)……1(顆)

14÷4=3(顆)……2(顆)

15÷4=3(顆)……3(顆)

16÷4=4(顆)

引導(dǎo)學(xué)生觀察，余數(shù)有什么特點(diǎn)？余數(shù)有1、2、3，會(huì)不會(huì)有4？為什么？結(jié)合分糖再次驗(yàn)證“一定要分到不能分為止”，所以余數(shù)一定要比除數(shù)小。

由此可見，在“有余數(shù)的除法”教學(xué)中，讓學(xué)生通過“分一分”的實(shí)踐活動(dòng)，用算式記錄分的過程實(shí)質(zhì)就是“數(shù)形結(jié)合”的過程。通過這樣的教學(xué)方法，學(xué)生對(duì)于余數(shù)的產(chǎn)生、余數(shù)的含義以及余數(shù)和除數(shù)間的關(guān)系有了深刻的認(rèn)識(shí)。

概念教學(xué)中教師切不可進(jìn)行簡單教學(xué)，因?yàn)樗烙浻脖呈菦]用的，一定要結(jié)合生活實(shí)際，通過“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)，讓學(xué)生真正把握理解概念、建立數(shù)學(xué)模型，這樣的教學(xué)引導(dǎo)是至關(guān)重要的。

3.應(yīng)用教學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

應(yīng)用教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，需要學(xué)生用綜合能力來解決問題，因此如何將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為生活實(shí)例，把問題直觀簡單化至關(guān)重要。了解數(shù)與形的關(guān)系，獲得更多有效信息和線索，學(xué)生通過表征轉(zhuǎn)化，能夠獲得更適合的新表征，有效地解決問題。

比如三年級(jí)第二學(xué)期“怎樣圍面積最大”一節(jié)課，教師提供相同數(shù)量的火柴，要求學(xué)生圍一個(gè)面積最大的圖形，通過動(dòng)手操作，觀察比較，發(fā)現(xiàn)要想圍出面積最大的圖形，必須是越接近于正方形面積越大。利用這個(gè)知識(shí)，再去學(xué)習(xí)“復(fù)習(xí)與提高”板塊——組兩位數(shù)使乘積最大，聯(lián)系起來學(xué)習(xí)就相當(dāng)簡單了。比如8、4、6、2，任選兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，使乘積最大。學(xué)生知道第一步把最大的8、6兩個(gè)數(shù)分別放在這兩個(gè)數(shù)的最高位，“8□×6□”，后面該如何選擇，到底是“82×64”還是“84×62”，有的學(xué)生通過計(jì)算找到了乘積最大的，而有的學(xué)生根據(jù)周長一定圍出面積最大的知識(shí)得出：只要兩個(gè)數(shù)的差越小，乘積就越大，可以把兩數(shù)想象成長方形的兩條相鄰的邊，乘積就是其面積，因此可以通過建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系找到解題的關(guān)鍵。從“組乘積最大的兩位數(shù)”聯(lián)想到“怎樣圍面積最大的”知識(shí)，利用數(shù)與形的關(guān)系，通過表征轉(zhuǎn)換，起到了很好的教學(xué)效果。

又如在應(yīng)用題的教學(xué)中，常見的“相遇”問題、“植樹”問題等都是可以通過畫圖等方法進(jìn)行更加直觀地呈現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系有重要的作用，這些思考方式其實(shí)也是一種數(shù)形結(jié)合思想。

三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)策略

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合解決問題的意識(shí)，借助數(shù)與形的關(guān)系，進(jìn)行相互的等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而加深對(duì)知識(shí)的理解，化解難點(diǎn)，順利解決問題，發(fā)展思維能力。這個(gè)過程既需要教師對(duì)教材的深刻理解，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)思想暗線的分析、目標(biāo)的把握，也需要學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的方法。下面具體介紹幾種“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)策略：

1.在數(shù)形結(jié)合中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力

教師在教學(xué)時(shí)要充分借助實(shí)物、幾何直觀，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的重要作用，從具體實(shí)例到一般意義的抽象概括，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想突破難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。比如五年級(jí)第一學(xué)期在教學(xué)“平行四邊形面積”的時(shí)候，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思路，通過剪拼，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的長方形，再進(jìn)行面積公式的推導(dǎo)。通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生巧用面積模型，自然理解了長方形面積公式，通過新舊知識(shí)聯(lián)系，掌握算理。只有將精確的數(shù)字運(yùn)算和能表達(dá)問題的符號(hào)、圖形等配合起來，才會(huì)更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化的魅力，幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地把握“形”的特點(diǎn)。學(xué)生在建立了“形”的表征后，再用數(shù)字或字母總結(jié)歸納出來數(shù)學(xué)規(guī)律或法則，更易理解，也更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化的魅力。

2.在數(shù)形結(jié)合中滲透模型思想

在數(shù)學(xué)中，常常借助字母、數(shù)字或其他符號(hào)建立起的關(guān)系式、表達(dá)式、方程、函數(shù)、圖表等，這些都是數(shù)學(xué)模型，用來表征特定的現(xiàn)實(shí)問題。這些知識(shí)往往非常抽象，學(xué)生理解起來很難，給教學(xué)增加了難度。在教學(xué)時(shí)要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助于數(shù)形關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而加深對(duì)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。比如在四年級(jí)第二學(xué)期“位置的表示方法”的教學(xué)中，讓學(xué)生在具體情境中認(rèn)識(shí)“列”與“行”，理解“數(shù)對(duì)”的含義，從具體的實(shí)物圖到方格紙的抽象過程，在滲透坐標(biāo)思想的過程中抽象出“數(shù)對(duì)”概念，建立數(shù)與形的聯(lián)系，掌握數(shù)學(xué)抽象的概念，建立數(shù)學(xué)模型思想。

3.在數(shù)形結(jié)合中培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

教師應(yīng)該充分挖掘“數(shù)與形”的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造圖像，提高學(xué)生解決問題的能力。比如在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生計(jì)算一套桌椅的價(jià)格，自然引出兩種方法，通過觀察比較建立聯(lián)系，最后抽象出“乘法分配律”字母公式。學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上把握字母公式，既輕松又簡單，這比死記硬背字母公式或者反復(fù)讀“乘法分配律”的一大段概念效果好得多。數(shù)形結(jié)合教學(xué)的最終目的是提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想，華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分開萬事休?！币虼?，在日常教學(xué)中，教師要深刻理解數(shù)與形是數(shù)學(xué)的一體兩面，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合的方法，引導(dǎo)學(xué)生以形釋數(shù)、以數(shù)注形，豐富和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感與幾何直觀能力，提升學(xué)生初步的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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