后軍軍, 王佐才,2, 任偉新,2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院， 安徽 合肥 230009； 2.合肥工業(yè)大學(xué)橋梁結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測(cè)新理論與新技術(shù)研究中心， 安徽 合肥 230009)

引 言

利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行系統(tǒng)識(shí)別和損傷探測(cè)是當(dāng)前的熱點(diǎn)研究問(wèn)題之一，特別是結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的瞬時(shí)特征，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別和損傷識(shí)別的重要指標(biāo)，對(duì)于評(píng)估結(jié)構(gòu)狀況具有十分重要的作用[1-2]。

為獲得結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)特征，諸多時(shí)頻分析方法，如短時(shí)傅里葉變換、小波變換、希爾伯特-黃變換等[3-5]，被廣泛應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)的響應(yīng)分析之中。其中，基于希爾伯特變換的信號(hào)分析方法，可以通過(guò)定義單一信號(hào)分量的解析信號(hào)，并由此定義出單一信號(hào)分量的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率，該方法被廣泛應(yīng)用于實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)的分析。然而基于希爾伯特變換的信號(hào)分析方法，首先需要獲取結(jié)構(gòu)單一的信號(hào)分量，因此，在利用希爾伯特變換進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析前，需要對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分解。其中希爾伯特-黃變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?，提取出本征模態(tài)函數(shù)，再對(duì)本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換，得到其瞬時(shí)頻率和幅值[6]。為了避免在經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾奶幚磉^(guò)程中出現(xiàn)模態(tài)混疊，提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?，集合?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸饪梢詮膿诫s噪聲的信號(hào)中恢復(fù)出原信號(hào)[7]。另外，F(xiàn)eldman[8]提出了希爾伯特振動(dòng)分解。利用這一分解方法，可以將解析信號(hào)中的最大能量組分的瞬時(shí)頻率通過(guò)低通濾波器提取出來(lái);同時(shí)，運(yùn)用相干探測(cè)技術(shù)也可以提取出該最大能量組分的瞬時(shí)幅值，并進(jìn)一步在非線性特征參數(shù)的提取中獲得應(yīng)用[9]。

最近，Chen和Wang[10]提出了基于希爾伯特變換的解析模式分解方法，可以解析地提取出信號(hào)中的低頻部分。解析模式分解算法可視作一個(gè)低通濾波器，并可濾除振動(dòng)信號(hào)中的高頻噪聲干擾，也可用于具有密集模態(tài)的振動(dòng)信號(hào)的分解[11-12]。通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的解析模式分解和希爾伯特變換分析，此方法被進(jìn)一步應(yīng)用于時(shí)變非線性系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別之中[13-15]。但是，解析模式分解理論建立在信號(hào)為連續(xù)的前提條件下。當(dāng)振動(dòng)信號(hào)為離散信號(hào)時(shí)，運(yùn)用上述傳統(tǒng)的解析模式分解方法提取低頻部分時(shí)會(huì)存在一些誤差。同時(shí)，當(dāng)信號(hào)中存在噪聲或者非平穩(wěn)部分時(shí)，會(huì)導(dǎo)致傅里葉譜出現(xiàn)扭曲，從而，難以找到信號(hào)分解的截止頻率。為了避免振動(dòng)信號(hào)傅里葉譜出現(xiàn)扭曲，提出了從功率譜出發(fā)研究對(duì)隨機(jī)信號(hào)的頻域分析方法。而功率譜估計(jì)是用有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)信號(hào)的功率譜，其中自回歸功率譜模型法是功率譜估計(jì)的核心方法之一，其在實(shí)際工程中有著重要的應(yīng)用價(jià)值，如在地震勘探信號(hào)處理、水聲信號(hào)處理等多個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用[16]。為了更好地選擇信號(hào)分解的截止頻率，Lauria和Pisani[17]提出了利用LP非線性周期譜來(lái)獲取信號(hào)解析模式分解中的截止頻率。

針對(duì)結(jié)構(gòu)中振動(dòng)信號(hào)的離散性，論文首先提出了擴(kuò)展離散解析模式分解，通過(guò)分析離散信號(hào)的特點(diǎn)，給出了離散信號(hào)的頻響特征，進(jìn)而給出了關(guān)于離散信號(hào)分解的兩步分解法。為了更好地對(duì)截止頻率進(jìn)行自動(dòng)化優(yōu)化選取，提出用自回歸功率譜代替?zhèn)鹘y(tǒng)的傅里葉譜選取截止頻率的方法。以吉安贛江公路大橋?yàn)楣こ虒?shí)例，驗(yàn)證了方法的有效性。

1 擴(kuò)展離散解析模式分解

1.1 連續(xù)信號(hào)的解析模式分解

(1)

如果x(t)的每一主成分的頻率滿足：|ω1|<ωc1,|ωc1|<|ω2|<ωc2…ωc(n-1)<|ωn|<ωcn，其中ωcp為選取的截止頻率。則每個(gè)信號(hào)分量可以表示為[10]：

(2)

sp(t)=sin(ωcpt)H[x(t)cos(ωcpt)]-

cos(ωcpt)H[x(t)sin(ωcpt)]

(3)

式(2)及(3)中s0(t)=0，H[·]表示對(duì)括號(hào)中的函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換。理論的核心是利用截止頻率ωc將原始信號(hào)中的低頻部分s(t)提取出來(lái)，且s(t)能夠由下式[10]獲得。

(4)

因此式(4)就像一個(gè)低通濾波器，通過(guò)了信號(hào)的低頻部分，濾掉了其高頻部分。

1.2 離散解析模式分解

由于式(1)中的解析模式分解定理是源于對(duì)連續(xù)信號(hào)的推導(dǎo)，因此在適用于振動(dòng)響應(yīng)離散信號(hào)時(shí)，要求具有足夠大的采樣頻率。因而，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)離散信號(hào)的有效分析，進(jìn)一步拓展了解析模式分解理論，提出離散解析模式分解理論。對(duì)于離散解析模式分解理論，可以表示為：對(duì)于一個(gè)具有N個(gè)樣本點(diǎn)的離散信號(hào)：x(0),x(1),x(2),…,x(i),… (i=0,1,2,…,N-1),它的離散傅里葉變換可以表示為

(5)

式中k表示離散的頻率分量。

由于該信號(hào)的離散傅里葉變換是以N為周期的，所以在一個(gè)基本周期內(nèi)(0 ≤k≤N-1)，定義的離散點(diǎn)k如圖1所示。

圖1 定義在離散傅里葉變換上的點(diǎn)k
Fig.1 The defined discrete point k for the discrete Fourier transform

(6)

(7)

(8)

(9)

xp(t)=AP(t)cos(θp(t))

(10)

式中Ap(t)表示信號(hào)xp(t)的幅值，θp(t)為第p個(gè)分量的相位角。而對(duì)于離散信號(hào)，式(10)可以表示為

(11)

式中ωp(q)表示信號(hào)分量xp在時(shí)間點(diǎn)qΔt處的頻率，θp0為信號(hào)分量xp的初始相位角。故式(4)的離散形式可以表示為

(12)

0<ω1(q)<ω2(q)<…<ωK1(q)<ωc(q)<

(13)

(14)

第二步：將第一步濾出的s′(t)作為輸入信號(hào)，選擇與第一步相同的截止頻率，通過(guò)式(14)濾出信號(hào)s″(t)。

分別將濾出的s′(t)和s″(t)帶入等式(14)中得到：

(15)

(16)

通過(guò)疊加等式(15)和(16)，可以發(fā)現(xiàn)提取的低頻信號(hào)的頻率在任意時(shí)刻均小于截止頻率

(17)

2 截止頻率選取方法

擴(kuò)展離散解析模式分解理論進(jìn)行信號(hào)分解時(shí)，必須選取截止頻率。所以，信號(hào)進(jìn)行擴(kuò)展離散解析模式分解的核心內(nèi)容之一就是準(zhǔn)確選取合適的截止頻率。傳統(tǒng)的截止頻率的選取方法是將原始時(shí)間序列函數(shù)經(jīng)過(guò)傅里葉變換獲得頻譜圖，然后在頻譜圖中找到兩極值之間的某個(gè)位置，而該位置所對(duì)應(yīng)的頻率值即可作為選定的截止頻率。傳統(tǒng)的截止頻率的選取方法依賴于頻譜圖，一旦頻譜圖出現(xiàn)扭曲或者過(guò)于復(fù)雜時(shí)，就很難找到準(zhǔn)確的截止頻率。因此，用傳統(tǒng)的截止頻率選取方法選取截止頻率時(shí)，往往會(huì)導(dǎo)致分解信號(hào)出現(xiàn)一定程度的誤差。為了更好地準(zhǔn)確地選擇信號(hào)分解的截止頻率，本文提出了一種基于自回歸功率譜的截止頻率選取方法。

2.1 自回歸功率譜

隨機(jī)信號(hào)的總能量是無(wú)限的，但其平均功率卻是有限的，因此要對(duì)隨機(jī)信號(hào)的頻域進(jìn)行分析，應(yīng)從功率譜出發(fā)進(jìn)行研究才有意義。功率譜估計(jì)是用有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)信號(hào)的功率譜，即利用給定的N個(gè)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度。而自回歸功率譜模型法是功率譜估計(jì)的核心方法之一，其在實(shí)際工程中有著重要的應(yīng)用價(jià)值，如在地震勘探信號(hào)處理、水聲信號(hào)處理等多個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用。

信號(hào)的功率譜可以通過(guò)下式來(lái)進(jìn)行計(jì)算

(18)

式中rx(m)為x(n)的自相關(guān)函數(shù)，N為x(n)的長(zhǎng)度。

由于數(shù)據(jù)存在截?cái)?，所以功率譜的分辨率較低。同時(shí)，由功率譜密度的定義可知，信號(hào)的均值以及各段極值并不能準(zhǔn)確求得，信號(hào)的方差也存在較大偏差?，F(xiàn)階段為了獲得精確度較高的功率譜，一般采用參數(shù)模型功率譜估計(jì)，參數(shù)模型計(jì)算可根據(jù)下式獲得

(19)

在式(19)中，假定x(n)為被白噪聲u(n)激勵(lì)的線性系統(tǒng)輸出，p和q表示參數(shù)模型的階數(shù)。當(dāng)bk=0時(shí)，此時(shí)x(n)可由下式獲得

(20)

式(20)所表達(dá)的參數(shù)模型即為自回歸模型。

(21)

式(21)為自回歸模型的標(biāo)準(zhǔn)方程式。通過(guò)式(21)可以計(jì)算出模型的參數(shù)ak和σ2。

綜上所述，自回歸功率譜pAR(ejω)可以由下式計(jì)算得到

(22)

式中σ2為u(n)的方差，p為自回歸模型階數(shù)。

對(duì)于功率譜的分辨率而言，譜的清晰度與信號(hào)的長(zhǎng)度呈反比例關(guān)系為

(23)

式中 Δf為分辨率，T為信號(hào)的時(shí)長(zhǎng)。

自回歸功率譜是在最小均方差意義上給定的數(shù)據(jù)擬合，所以自回歸功率譜有著更高的分辨率。但在保證自回歸功率譜較高分辨率的同時(shí)，譜曲線中不出現(xiàn)實(shí)際不存在的虛假頻段，需要選擇合適的自回歸模型階數(shù)p。實(shí)際上，確定模型階數(shù)的方法有多種，本文采用最終預(yù)測(cè)誤差判據(jù)法[18-19]確定模型階數(shù)。即當(dāng)下式中FRE取得最小值時(shí)，k的取值即為最優(yōu)的模型階數(shù)p的值

(24)

式中N為離散信號(hào)長(zhǎng)度，ρk為最小化預(yù)報(bào)錯(cuò)誤的能量。

2.2 自回歸功率譜選擇截止頻率

自回歸功率譜的密度曲線是相對(duì)光滑的，分辨率也較高，這一特點(diǎn)為其代替傅里葉譜選擇截止頻率提供了優(yōu)勢(shì)條件。自回歸功率譜選擇截止頻率的方法為：首先獲得原始時(shí)間序列函數(shù)的自回歸功率譜，考慮到自回歸功率譜的密度曲線光滑、分辨率高、去噪強(qiáng)的特點(diǎn)，其密度曲線中每一個(gè)顯著的譜峰就可以看成信號(hào)的一個(gè)單一模態(tài)，故可以取兩相近譜峰極值的平均值所對(duì)應(yīng)的頻率作為選定的截止頻率。實(shí)際計(jì)算自回歸功率譜模型時(shí)，用于計(jì)算的算法有多種?？紤]到算法的簡(jiǎn)潔性，本文選擇伯格算法[20-21]計(jì)算自回歸功率譜模型。

3 數(shù)值模擬

3.1 數(shù)值模擬1

以一個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證上述擴(kuò)展離散解析模式分解方法的有效性。離散時(shí)間序列x(t)由2個(gè)信號(hào)組成。

x(t)=x1(t)+x2(t)，

x1(t)=e-3(t-0.4)sin[20π(t-0.4)]u(t-0.4),

x2(t)=e-2(t-0.2)sin[460π(t-0.2)]u(t-0.2)

其中u(t)為階躍函數(shù)。采樣頻率為500 Hz，截止頻率選為50 Hz。則原始時(shí)間序列函數(shù)如圖2所示。

圖2 原始信號(hào)x(t)Fig.2 The original signal x(t)

圖3 一步低通濾波器濾波Fig.3 The one step low-pass filter

圖4 兩步低通濾波器濾波Fig.4 The two step low-pass filter

由圖3和4的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在一步低通濾波器中分離出的低頻部分與x1(t)有較大差異；而利用兩步低通濾波器可以很好地從離散信號(hào)x(t)中提取低頻部分x1(t)。所以，上述所述擴(kuò)展離散解析模式分解對(duì)離散信號(hào)的低頻部分的提取是有效的。

3.2 數(shù)值模擬2

為了驗(yàn)證上述截止頻率選取方法的有效性，分析了一個(gè)帶有4層附屬層的36層框架結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的每一層的質(zhì)量和層間的剛度分別為1.29×106kg和1.0×109N/m。附屬層的質(zhì)量是主體層質(zhì)量的2%，而附屬層的層間剛度是主體層間剛度的0.03%。結(jié)構(gòu)的阻尼假設(shè)為經(jīng)典阻尼，其中前4階模態(tài)的阻尼比均為1%，而其他高階模態(tài)的阻尼比均為零。結(jié)構(gòu)整體承受均值為零，方差為0.001g的高斯白噪聲激勵(lì)。結(jié)構(gòu)頂層加速度響應(yīng)如圖5所示，其中采樣頻率為20 Hz。圖6為頂層加速度響應(yīng)的傅里葉變換，為了較為清楚地顯示傅里葉譜圖，圖6的縱坐標(biāo)為取以10為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。

圖5 頂層加速度響應(yīng)
Fig.5 The measured acceleration at the top level

圖6 頂層加速度傅里葉譜
Fig.6 The Fourier spectrum of the top level acceleration

從圖6的傅里葉譜中可以看出，信號(hào)存在密集模態(tài)成分，不易找出這些密集模態(tài)部分的截止頻率。在此，計(jì)算頂層加速度響應(yīng)的自回歸功率譜，由式(24)可確定模型階數(shù)p，取150，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。同樣地，圖7中的縱坐標(biāo)為取以10為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。從圖7可以看出，自回歸功率譜去除了原有傅里葉譜中的許多虛假頻段，得到了比較光滑清晰的譜曲線?？梢詮淖曰貧w功率譜中找到截止頻率，截止頻率分別為：0.19,0.4,0.56,0.7,0.9 Hz。

圖7 頂層加速度自回歸功率譜
Fig.7 The auto-regressive power spectrum of the top level acceleration

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述截止頻率選取方法的有效性，本文利用采集的江西省吉安贛江公路大橋的環(huán)境振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)大橋進(jìn)行了振動(dòng)響應(yīng)分析。吉安贛江公路大橋于1995年建成通車(chē)，橋梁全長(zhǎng)1577 m，東、西引道長(zhǎng)3.2 km，主橋橋孔為60 m+4×100 m+60 m預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)箱梁。橋梁設(shè)計(jì)荷載：汽車(chē)-超20級(jí)，人群-3.5 kN/m2。該橋主橋上部結(jié)構(gòu)構(gòu)造為雙箱單室連續(xù)箱梁，下部結(jié)構(gòu)為V形預(yù)應(yīng)力混凝土墩。左半跨橋共3跨橋梁的環(huán)境振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的測(cè)點(diǎn)布置如圖8所示。由于對(duì)稱性，右半跨橋共3跨橋梁的環(huán)境振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的測(cè)點(diǎn)布置與圖8對(duì)稱。

圖8 贛江大橋半幅橋的測(cè)點(diǎn)布置圖(單位：m)Fig.8 The layout of half bridge of Ganjiang Bridge(Unit:m)

選取測(cè)點(diǎn)6的一組加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其加速度時(shí)程如圖9所示。圖10為測(cè)點(diǎn)6加速度響應(yīng)的傅里葉譜圖，為了較為清楚地顯示傅里葉譜圖，圖10的縱坐標(biāo)為取以10為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。

圖9 測(cè)點(diǎn)6加速度響應(yīng)Fig.9 The acceleration of the measured point 6

圖10 測(cè)點(diǎn)6加速度傅里葉譜
Fig.10 The Fourier spectrum of the acceleration at the measured point 6

從圖10的傅里葉譜中難以找出信號(hào)分解的截止頻率。計(jì)算測(cè)點(diǎn)6加速度響應(yīng)自回歸功率譜，同樣，由式(24)可確定模型階數(shù)p,取85，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。圖11中的縱坐標(biāo)為取以10為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。由圖11可知，在測(cè)點(diǎn)6加速度響應(yīng)的自回歸功率譜中可以清楚地選出截止頻率的位置，截止頻率分別為：3.5和5.5 Hz，這里只選取了前兩階模態(tài)。利用在自回歸功率譜中找到的截止頻率，對(duì)贛江公路大橋測(cè)點(diǎn)6的環(huán)境振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行擴(kuò)展離散解析模式分解，分解得到前兩階振動(dòng)響應(yīng)如圖12所示。

圖11 測(cè)點(diǎn)6加速度自回歸功率譜Fig.11 The auto-regressive power spectrum of the acceleration at the measured point 6

圖12 測(cè)點(diǎn)前兩階振動(dòng)響應(yīng)Fig.12 The first two order vibration response

將該橋的每一個(gè)測(cè)點(diǎn)同測(cè)點(diǎn)6一樣進(jìn)行計(jì)算得到每一個(gè)測(cè)點(diǎn)的前兩階振動(dòng)響應(yīng)，然后對(duì)該橋進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。實(shí)際上，模態(tài)參數(shù)識(shí)別是振動(dòng)工程理論中的一個(gè)重要分支，是研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的一種近代方法。模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，每個(gè)模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。模態(tài)參數(shù)識(shí)別主要是通過(guò)采集系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并求解，進(jìn)而獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。模態(tài)參數(shù)識(shí)別的基本方法有多種，如頻域法、時(shí)域法、單自由度法和多自由度法等，其中希爾伯特變換[22]是重要的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法之一。

基于上述論述，對(duì)實(shí)橋數(shù)據(jù)作希爾伯特變換處理，得到各測(cè)點(diǎn)前兩階振動(dòng)的瞬時(shí)幅值和相位角，再將得到的各測(cè)點(diǎn)瞬時(shí)幅值取平均,同時(shí)結(jié)合各相位角的正負(fù)可以得到吉安贛江公路大橋的前兩階對(duì)最大值歸一化的振型，其中圖13為獲得的1階豎向振型，圖14為獲得的2階豎向振型，由于對(duì)稱性，圖13和14只畫(huà)出了左半橋3跨橋梁的振型圖。

圖13 一階豎向振型Fig.13 The first order vertical mode

圖14 二階豎向振型
Fig.14 The second order vertical mode

5 結(jié) 論

論文研究了結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)擴(kuò)展離散解析模式分解和截止頻率選取的優(yōu)化方法。提出了離散信號(hào)分解的兩步擴(kuò)展離散解析模式分解，有效地解決了解析模式分解進(jìn)行離散信號(hào)分解時(shí)留有高頻殘余量的問(wèn)題。同時(shí)，論文為解決離散解析模式分解的截止頻率自動(dòng)化選取，提出了用自回歸功率譜代替傅里葉譜選取截止頻率的方法，自回歸功率譜的譜曲線的峰值清晰且無(wú)虛假峰值，可以有效地獲得解析模式分解所需的截止頻率。論文通過(guò)對(duì)一模擬的離散信號(hào)和對(duì)一個(gè)具有密集模態(tài)的36層框架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分解,驗(yàn)證了所提方法的有效性。最后,對(duì)吉安贛江公路大橋進(jìn)行環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)，獲測(cè)了加速度時(shí)程數(shù)據(jù),利用所提方法對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行了有效分解，獲得了大橋的前兩階加速度振動(dòng)響應(yīng),利用分解的振動(dòng)響應(yīng)，進(jìn)而識(shí)別出了大橋的前兩階振型。主要結(jié)論有:

(1)擴(kuò)展離散解析模式分解是解析模式分解在離散信號(hào)處的有效延展,可以解決離散的振動(dòng)信號(hào)分解的誤差問(wèn)題。

(2)利用自回歸功率譜代替傅里葉譜在擴(kuò)展離散解析模式分解中可以有效地獲得信號(hào)分解的截止頻率。

(3)提出的利用自回歸功率譜選取振動(dòng)信號(hào)離散解析模式分解截止頻率的方法可以對(duì)具有密集模態(tài)信號(hào)或者具有低信噪比的信號(hào)，如環(huán)境振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行有效分解，通過(guò)分解的信號(hào)，可以較好地識(shí)別結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率與振型。

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