鐘 旺,李春祥

(上海大學(xué)土木工程系,上海200444)

非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速是一種具有非線性和非平穩(wěn)性的特殊序列信號,其中的非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速是強(qiáng)非平穩(wěn)過程.盡管極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine,ELM)能夠較好地?cái)M合風(fēng)速的非線性部分,但風(fēng)速非平穩(wěn)部分將對預(yù)測效果造成較大的影響,因此降低風(fēng)速非平穩(wěn)性就顯得尤為重要[1].降低非平穩(wěn)性的主要方法有小波變換和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD).EMD將復(fù)雜非平穩(wěn)性信號分解成不同頻率段的信號,從而降低序列的非平穩(wěn)性;集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(ensemble empirical mode decomposition,EEMD)將白噪聲序列加入到原始序列,這樣盡可能地得到數(shù)據(jù)信號的真實(shí)形態(tài),然后再對數(shù)據(jù)信號進(jìn)行EMD分解;快速集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(fast ensemble EMD,FEEMD)是EEMD的快速實(shí)現(xiàn)形式.

目前,預(yù)測模型主要有時(shí)間序列模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artif i cial neural network,ANN)模型、支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)模型和最近的ELM.ELM是Huang等[2-3]于2004年提出的一種性能優(yōu)良的新型單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(single-hidden layer feed forward neural networks,SLFNs),其基本思想是訓(xùn)練前設(shè)置合適的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù),在執(zhí)行過程中只需要輸入權(quán)值和為隱層偏置隨機(jī)賦值,整個(gè)過程無需迭代,一次性產(chǎn)生唯一的最優(yōu)解.與ANN相比,ELM顯著提高了網(wǎng)絡(luò)的泛化能力和學(xué)習(xí)速度,具有強(qiáng)非線性擬合能力.因此,當(dāng)前國內(nèi)外研究人員非常重視極限學(xué)習(xí)機(jī)的發(fā)展.鑒于ELM優(yōu)勢,本工作試圖建立基于ELM的非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速預(yù)測算法.將EMD和FEEMD與基于粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)的最小二乘支持向量機(jī)(least squares support vector machines,LSSVM)進(jìn)行混合,形成EMD-PSO-LSSVM和FEEMD-PSO-LSSVM混合模型算法.

1 非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速的分解

1.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法

EMD是Huang等[4]于1998年提出的數(shù)據(jù)處理方法,將非平穩(wěn)信號按不同尺度的波動(dòng)或趨勢逐級分解成若干個(gè)固有模態(tài)分量(intrinsic mode function,IMF).每個(gè)IMF需滿足2個(gè)條件:①數(shù)據(jù)集的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)與穿0點(diǎn)個(gè)數(shù)相等或至多相差一個(gè);②在任一點(diǎn),由所有極大值點(diǎn)所形成包絡(luò)和由所有極小值點(diǎn)所形成包絡(luò)的均值等于0.

設(shè)U(t)為待分解的非平穩(wěn)風(fēng)速樣本,先找出其所有極大、極小值,接著使用3次樣條函數(shù)擬合出上、下極值包絡(luò)線,計(jì)算出上、下包絡(luò)線的平均值m1(t).于是,去除均值后的第1分量為

第1次篩分所得分量h1(t)通常并不滿足IMF的要求,故將h1(t)作為新的待篩分序列,再進(jìn)行k次篩分,直到h1k(t)滿足IMF的要求為止.于是,把h1k(t)當(dāng)作IMF1,記為c1(t)=h1k(t).第1個(gè)IMF1[c1(t)]包含了非平穩(wěn)風(fēng)速U(t)的最短周期分量,將c1(t)從U(t)中分離后的余量為

但是,r1(t)仍然包含較長周期分量,再將r1(t)作為新的待篩分序列,篩分得第2個(gè)IMF2[c2(t)];繼續(xù)進(jìn)行這樣的篩分過程,直到余量變得很小為止.最終余量為

那么,非平穩(wěn)風(fēng)速U(t)被分解成IMFs之和再加上最終余量:

1.2 快速集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法

EMD常常出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象,造成IMF物理意義上的缺失.為此,Huang[5]通過將白噪聲加入待分解信號提出了EEMD.當(dāng)將在整個(gè)時(shí)-頻空間分布一致的零均值白噪聲加到待分解信號時(shí),不同時(shí)間尺度信號將自動(dòng)分布到合適的參考尺度上,經(jīng)多次平均噪聲將相互抵消,集成均值結(jié)果.與EMD相同,EEMD將非平穩(wěn)風(fēng)速U(t)分解成IMFs之和再加上最終余量rn(t),即式(4).而FEEMD則是EEMD的快速實(shí)現(xiàn)方式,其原理與EEMD相同[6].

2 下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速智能預(yù)測模型

2.1 基于粒子群優(yōu)化最小二乘SVM的風(fēng)速預(yù)測

Suykens[7]用誤差的二次平方來代替SVM的不敏感損失函數(shù),將不等式約束轉(zhuǎn)變?yōu)榈仁郊s束,進(jìn)而將求解二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成求解如下的線性方程組,即形成LSSVM:

式中,ω為權(quán)向量,b為偏置項(xiàng),C為懲罰參數(shù),ei∈R為誤差,ei∈Rl×l為誤差向量.為解決式(5)的優(yōu)化問題,構(gòu)造Lagrange函數(shù):

對式(6)求偏導(dǎo),并根據(jù)最優(yōu)化理論中的KKT(Karush-Kuhn-Tucher)條件,得到如下方程組:

設(shè) α =(α1,α2,···,αl)T,Q=(1,1,···,1)T,Y=(Y1,Y2,···,Yl)T,I 為單位矩陣. 聯(lián)立求解方程組,消去ω和ei,則式(7)的解為

于是得到LSSVM的回歸模型:

式中,K為核函數(shù)矩陣,其元素k(xi,xj)=ψ(xi)ψ(xj).本工作采用徑向基(radial basis function,RBF)核函數(shù),其表達(dá)式為

采用PSO算法對LSSVM中的核參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,形成基于粒子群優(yōu)化的最小二乘SVM(PSO-LSSVM).

2.2 基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的風(fēng)速預(yù)測

ELM是一種快速的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法[8].針對訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本(x,t),隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為L、激發(fā)函數(shù)為g(x)的ELM模型輸出函數(shù)表達(dá)式為

式中,β =[βi1,βi2,···,βin]T為第 i隱層節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)間的連接權(quán)向量;ω =[ωi1,ωi2,···,ωin]T為連接第i隱層節(jié)點(diǎn)和輸入節(jié)點(diǎn)的權(quán)重;bi為第i隱層節(jié)點(diǎn)的偏置;tj為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出值,ωixj為ωi和xj的內(nèi)積.激發(fā)函數(shù)g(x)可以為Sigmoid,Sine或Hardlim等.

式(11)的矩陣表達(dá)式可表示為

式中,H=式中,H為隱層輸出矩陣,其第i列表示為第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)對應(yīng)于輸入x1,x2,···,xN的第i個(gè)隱層神經(jīng)元的輸出向量.

運(yùn)用式(12),將數(shù)據(jù)樣本集映射到隱含層的特征空間中.設(shè)E(W)為ELM網(wǎng)絡(luò)輸出值與實(shí)際值之間的誤差平方和,問題的求解轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)權(quán)值W=(ω,b,β),使E(W)最小:

式中,εj=(εj1,εj2,···,εjm)T是第 j 個(gè)樣本的誤差.

當(dāng)激發(fā)函數(shù)無限可微時(shí),并不需要將網(wǎng)絡(luò)參數(shù)全部進(jìn)行調(diào)整,輸入連接權(quán)值ω和隱含層節(jié)點(diǎn)偏置b在訓(xùn)練時(shí)可以隨機(jī)選擇.當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目足夠多時(shí),輸入權(quán)隨機(jī)取值,ELM可逼近任何連續(xù)函數(shù).為使ELM具有較好的泛化能力,通常使L?N.因此,連接隱層和輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值β可通過求解線性方程組Hβ=T的最小二乘解獲得,其解為式中,H+為輸出矩陣H的Moore-Penrose廣義逆矩陣.

至此,基于ELM風(fēng)速預(yù)測算法的步驟如下:

(1)隨機(jī)賦值隱層節(jié)點(diǎn)和輸入節(jié)點(diǎn)的權(quán)重ωi、隱層節(jié)點(diǎn)偏置bi(i=1,2,···,L);

(2)計(jì)算隱含層輸出矩陣H=

(3)通過求解線性方程組(13)的最小二乘解計(jì)算輸出層權(quán)重β.

圖1給出了基于ELM和PSO-LSSVM的非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速預(yù)測算法流程.

圖1 基于ELM和PSO-LSSVM的非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速預(yù)測算法流程Fig.1 Flowchart of ELM and PSO-LSSVM based on non-stationary downburst wind velocity prediction algorithms

3 風(fēng)速智能預(yù)測算法的數(shù)值驗(yàn)證

3.1 非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速模擬

下?lián)舯┝鳛槔妆┨鞖庵袕?qiáng)烈的下沉氣流猛烈撞擊地面,并由撞擊點(diǎn)向四周沿地表傳播的極具突發(fā)性和破壞性的一種高強(qiáng)風(fēng)[9].運(yùn)用時(shí)變自回歸滑動(dòng)平均模型(auto-regressive moving average model,TARMA)[10-12]模擬m維非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的表達(dá)式為

式中,U(t)為非平穩(wěn)隨機(jī)過程向量,Ai(t)為回歸系數(shù)矩陣,B(t)為時(shí)變滑動(dòng)回歸系數(shù)矩陣,p為自回歸階數(shù),q為滑動(dòng)回歸階數(shù),X(t)是方差為1、正態(tài)分布的白噪聲序列.

TARMA模型p=4,q=1,模擬點(diǎn)位于沿下?lián)舯┝饕苿?dòng)方向且距離下?lián)舯┝骼妆┲行? 500 m處.下?lián)舯┝鞯钠骄L(fēng)速模型采用Oseguera和Bowles模型;豎向分布模型采用Vicroy模型,其中豎向分布風(fēng)速中最大風(fēng)速Vmax=80 m/s,所處高度Zmax=67 m;風(fēng)速場中某高度處徑向最大風(fēng)速Vr,max=47 m/s,與下?lián)舯┝髦行乃骄嚯xrmax=1000 m,徑向長度比例系數(shù)Rr=700 m.雷暴強(qiáng)度隨時(shí)間變化的函數(shù)為

下?lián)舯┝髌揭扑俣萔0=8 m/s.當(dāng)運(yùn)用TARMA模型模擬時(shí),上限截止頻率為2πrad,N=211,Δω =同時(shí),考慮下?lián)舯┝髯陨硪苿?dòng),模擬時(shí)間間隔Δt=0.5 s,模擬時(shí)長為1 000 s,共2 000個(gè)樣本點(diǎn).圖2給出了運(yùn)用TARMA模型模擬出的高度在20 m處的非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速結(jié)果.

圖2 運(yùn)用TARMA模型模擬出的高度在20 m處的非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速Fig.2 Non-stationary downburst f l uctuating wind velocity at 20 m height simulated by TARMA

3.2 預(yù)測算法數(shù)值驗(yàn)證

ELM模型的隱層節(jié)點(diǎn)L=20,激發(fā)函數(shù)為Sigmoid;PSO-LSSVM采用RBF核函數(shù),模型核參數(shù)2σ2∈[0.01,100],q=3,懲罰參數(shù)c∈[0.1,1 000].將非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速的分解模型和預(yù)測模型兩兩組合,產(chǎn)生組合預(yù)測模型:EMD-ELM,EMD-PSO-LSSVM,FEEMD-ELM和FEEMD-PSO-LSSVM.

運(yùn)用TARMA模型模擬出的1 000 s非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速樣本是以0.5 s為時(shí)間單位,則樣本中有2 000個(gè)風(fēng)速點(diǎn).取前1 000個(gè)風(fēng)速點(diǎn)(500 s)構(gòu)成訓(xùn)練集,后1 000個(gè)風(fēng)速點(diǎn)(500 s)作為測試集.對1 000 s非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速分別進(jìn)行EMD和FEEMD分解,得到如圖3所示的結(jié)果,其中的Signal為原始(模擬)非平穩(wěn)風(fēng)速,imf 1～8為分解后的固有模態(tài)函數(shù),res為篩分后余量很小的剩余分量.在FEEMD分解時(shí),白噪聲方差α取為0.25,噪聲組的數(shù)值取為100.當(dāng)α取為0,噪聲組數(shù)值取為1時(shí),FEEMD就轉(zhuǎn)化為EMD.

將IMFs進(jìn)行相空間重構(gòu),選取時(shí)間延遲τ=1,嵌入維數(shù)m=10,于是產(chǎn)生的訓(xùn)練集為990個(gè)10維向量,測試集為1 000個(gè)10維向量.使用上述4種組合預(yù)測模型對該非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速樣本進(jìn)行預(yù)測,將各個(gè)IMF分量的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行疊加,得到非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速的預(yù)測結(jié)果.

圖3 非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速的分解Fig.3 Decompositions of the non-stationary downburst f l uctuating wind velocity

圖4 基于ELM和PSO-LSSVM的預(yù)測風(fēng)速與模擬風(fēng)速比較Fig.4 Comparisons of predicted wind velocity using ELM and PSO-LSSVM with the simulated wind velocity

圖5 基于ELM和PSO-LSSVM預(yù)測風(fēng)速與模擬風(fēng)速自相關(guān)函數(shù)的對比Fig.5 Auto-correlation function comparisons of predicted wind velocity using ELM and PSO-LSSVM with the simulated wind velocity

圖6 基于ELM和PSO-LSSVM預(yù)測風(fēng)速與模擬風(fēng)速功率譜函數(shù)的對比Fig.6 Power spectral function comparisons of predicted wind velocity using ELM and PSOLSSVM with the simulated wind velocity

運(yùn)用EMD-ELM,EMD-PSO-LSSVM,FEEMD-ELM和FEEMD-PSO-LSSVM預(yù)測模型對非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速進(jìn)行預(yù)測.圖4～6分別給出了預(yù)測與模擬的非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速、自相關(guān)函數(shù)以及功率譜函數(shù).由圖4～6可知,在非平穩(wěn)風(fēng)速、自相關(guān)函數(shù)和功率譜3個(gè)方面,4種預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果均與TARMA模型的模擬值(原始值)較好地吻合,其中FEEMD-ELM的吻合度最高.

4 風(fēng)速智能預(yù)測算法的預(yù)測性能

根據(jù)訓(xùn)練集和測試集,分別計(jì)算了預(yù)測風(fēng)速與模擬風(fēng)速的平均絕對誤差(mean absolute error,MAE)、均方根誤差(root mean square error,RMSE)和相關(guān)系數(shù)(R),以比較這4種組合預(yù)測模型的預(yù)測精度.表1給出了4種預(yù)測模型對訓(xùn)練集和測試(預(yù)測)集的預(yù)測性能指標(biāo).由表1可以看出,無論是對訓(xùn)練集還是測試集,使用FEEMD分解的各IMF分量來進(jìn)行預(yù)測,其精度均高于EMD;采用ELM預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測的效果優(yōu)于PSO-LSSVM.顯然,采用FEEMD-ELM的預(yù)測精度是4種預(yù)測模型中最好的.綜上所述,EMD-ELM和FEEMD-ELM是非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速預(yù)測的高精度算法.

表1 訓(xùn)練集和測試集的預(yù)測性能指標(biāo)Table 1 Prediction performance indexes for training and testing sets

表1中,平均誤差為目標(biāo)值(原始樣本數(shù)據(jù)),^yn為預(yù)測值,N為預(yù)測樣本數(shù);均方根誤差RMSE=相關(guān)系數(shù)R=

5 風(fēng)速智能預(yù)測算法的計(jì)算速度

通過比較計(jì)算時(shí)間可以發(fā)現(xiàn),運(yùn)用EMD對非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速進(jìn)行分解的耗時(shí)較短;由于EEMD需要向信號中添加白噪聲平滑脈沖干擾,因此耗時(shí)相對較長;FEEMD則有效改善了EEMD耗時(shí)較長的缺點(diǎn),顯著提高了EEMD的分解速度.不過,相對于預(yù)測的耗時(shí),脈動(dòng)風(fēng)速分解的耗時(shí)是可以忽略的.

更為重要的是,ELM預(yù)測模型的計(jì)算耗時(shí)約為28 s,而PSO-LSSVM預(yù)測模型的計(jì)算耗時(shí)則約為821 s,PSO-LSSVM耗時(shí)約為ELM的30倍.可見,EMD-ELM和FEEMD-ELM是非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速預(yù)測的高速算法.

6 結(jié)束語

經(jīng)訓(xùn)練集和測試集非平穩(wěn)下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速時(shí)間序列、自相關(guān)函數(shù)和功率譜模擬值與預(yù)測值以及預(yù)測性能指標(biāo)的比較后發(fā)現(xiàn),對于EMD-ELM和FEEMD-ELM算法,訓(xùn)練集和測試集的預(yù)測精度均高于EMD-PSO-LSSVM和FEEMD-PSO-LSSVM算法.相對于PSO-LSSVM算法,ELM預(yù)測算法的參數(shù)選取更容易、簡單,在訓(xùn)練過程中不需要調(diào)整輸入權(quán)值和偏置,訓(xùn)練速度顯著提高;而且,該算法只需設(shè)定合適的隱層節(jié)點(diǎn)和激發(fā)函數(shù)便可以獲得唯一的最優(yōu)解,故EMD-ELM和FEEMD-ELM是非平穩(wěn)下?lián)舯┝黠L(fēng)速預(yù)測的高精度、高計(jì)算速度的算法,其中FEEMD-ELM是更為優(yōu)秀的算法.

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