陳宇洋

摘要：本篇文章從要解決的一道兩個函數(shù)的交點問題出發(fā)，應用函數(shù)的各種性質，尋找作函數(shù)圖象的方法.文章觀點新穎，角度獨特，對函數(shù)性質以及函數(shù)圖象的變化趨勢剖析得淋漓盡致，令人耳目一新.通過對本道題目的思考，文章總結出作函數(shù)圖象的基本思路，即在作圖前一定要對函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、零點、漸近線等性質進行綜合考慮，尋找對作圖起關鍵作用的閃光點.本篇文章也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的重要性，為今后處理類似問題提供了理論依據(jù).

關鍵詞：函數(shù)圖象函數(shù)的性質數(shù)形結合

我是一名高一新生，是班級的數(shù)學科代表.在上學期期末復習的時候，有一位同學把一道在補習班做過的函數(shù)題拿來與我討論.題目是這樣的：函數(shù)y=|x|的圖象與函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的圖象的交點個數(shù)有（）.

A.3個B.4個C.5個D.6個

他說這是某校高一上學期期中數(shù)學考試選擇題的最后一個問題，同學們對這個問題都感到不知所措，不知道從什么角度切入.后來老師用幾何畫板畫出了兩個函數(shù)的圖象，大家才知道這道題需要利用函數(shù)圖象解答，但是同學們又不知道如何不借助數(shù)學軟件來畫出函數(shù)圖象.

據(jù)我了解，研究兩個函數(shù)的交點問題無外乎兩種方法：解方程和畫圖.我們試著解了一下方程，發(fā)現(xiàn)這是一個不可能完成的任務，因為變形之后，這是一個五次方程.所以唯一的方法就是畫函數(shù)圖象，考試的時候不可能用幾何畫板，那么如何用所學的函數(shù)知識畫出函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的圖象呢？

首先，老師說過，一切函數(shù)問題都要本著定義域優(yōu)先的原則，這個函數(shù)的定義域是{x|x∈R且x≠0且x≠1且x≠2且x≠3}.所以畫圖象的時候要注意自變量的取值范圍.其次，從單調性來看，函數(shù)y=1x、y=1x-1、y=1x-2、y=1x-3在各自的定義域的子區(qū)間內都是減函數(shù)，幾個減函數(shù)的和在它們公共的定義域的每個子區(qū)間上仍然是減函數(shù).所以，函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3在x=0，1，2，3處都是斷開的，并且在它的定義域的每個子區(qū)間（-∞，0），（0，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）上都是單調減函數(shù).

但是，我們知道函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3在x=0，1，2，3處是沒有定義的，那么函數(shù)在區(qū)間（-∞，0），（0，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）上是以什么形態(tài)減少的呢，是直線型的還是曲線型的、凹的還是凸的、函數(shù)值是從多少減到多少的呢？在小學、初中時期，老師一再強調分數(shù)的分母不能為0，因為分數(shù)的分母為0，分數(shù)是無意義的，分數(shù)值是不存在的.而什么是不存在呢？經(jīng)過高中基本初等函數(shù)的圖象的學習，我發(fā)現(xiàn)我們在數(shù)學中所說的不存在其實都是無窮，自變量越趨近于這個數(shù)，函數(shù)值就趨近于無窮，沒有最大，只有更大，沒有最小，只有更小，所以函數(shù)值不存在的地方都是函數(shù)的漸近線.例如，函數(shù)y=1x，定義域為{x|x∈R且x≠0}，值域為{y|y∈R且y≠0}，所以，函數(shù)y=1x是以x=0、y=0兩條直線為漸近線的.因此，對于函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3而言，直線x=0、x=1、x=2、x=3都是這個函數(shù)的漸近線，函數(shù)在區(qū)間（0，1），（1，2），（2，3）上都是從從左至右、從正無窮、先凹后凸、呈S型減小到負無窮的.

最后，在直線x=3的右側，沒有其他的漸近線了，它的圖象在遞減過程中是如何變化的呢？考慮一下函數(shù)在區(qū)間（3，+∞）上的值域，發(fā)現(xiàn)在x>3的情況下，函數(shù)值都是正的，并且在自變量x趨近于+∞時，y的值趨近于0，所以在區(qū)間（3，+∞）內，函數(shù)是以x=3和y=0為漸近線并且單調遞減的.同理，在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)是以x=0，y=0，為漸近線并且單調遞減的.

由此，我們可以基本不借助任何數(shù)學軟件畫出函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的圖象（如圖1），此題得解.

通過這道題的解題過程，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結合的思想的實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化.在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，關鍵是要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及圖象的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化.老師說數(shù)形結合思想在高中數(shù)學多個領域都有滲透，我們在平時的學習中應注意積累，加以整合，加深對這一思想的靈活運用.函數(shù)初學者在學習過程中應該首先注意提高自己應用函數(shù)圖象的意識，遇到問題，想畫圖象、會畫圖象.下面再舉例說明.

例若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍.

分析：將對數(shù)方程進行等價變形，轉化為一元二次方程在某個范圍內有實解的問題，再利用二次函數(shù)的圖象進行解決.

解：原方程變形為3-x>0，-x2+3x-m=3-x，

即3-x>0，（x-2）2=1-m.

設曲線y1=（x-2）2，x∈（0，3）和直線y2=1-m，圖象如圖2所示.由圖可知：

①當1-m=0時，有唯一解，m=1；

②當1≤1-m<4時，有唯一解，即-3

∴m=1或-3

點評：一般地，在對方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質等進行討論時，可以借助于函數(shù)的圖象直觀解決，簡單明了.上面以數(shù)形結合思想在函數(shù)中的應用舉例說明，函數(shù)的圖象與函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、零點是相互依存的關系，畫圖象之前，應該先判斷函數(shù)的各種較為鮮明的性質，而具體問題中，函數(shù)較為鮮明的性質又是不一樣的，將其中的某些關鍵點綜合在一起，才能繪制出正確的圖象.

華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”運用函數(shù)的各種性質作圖、識圖、并把圖象應用到解題中，是我們學好函數(shù)的關鍵所在.

參考文獻

徐斌艷.《數(shù)學課程改革與教學指導》[M].華東師范大學出版社.2009.

中學數(shù)學教材實驗教研組.《普通高中課程標準實驗教科書》〔M〕.人民教育出版社.2007.陸建.《立體幾何中畫圖、識圖、用圖的調查與反思》[J].中學數(shù)學教學參考.2006（5）.

劉煥芬.《巧用數(shù)形結合思想解題》[J].數(shù)學通報.2005（01）.