， ， ，

(1.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110168；2.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110168)

1 引 言

大型薄壁剛架穩(wěn)定性一直是工程結(jié)構(gòu)中的重點(diǎn)研究問(wèn)題[1]。與等截面剛架相比，變截面剛架因其具有充分利用材料強(qiáng)度、節(jié)約經(jīng)濟(jì)、受力合理以及更好適應(yīng)截面應(yīng)力變化的優(yōu)點(diǎn)而在實(shí)際工程中廣泛應(yīng)用[2]。由于截面變化將導(dǎo)致剛度改變，因此在研究變截面剛架穩(wěn)定性時(shí)通常無(wú)法獲取相應(yīng)的臨界載荷解析表達(dá)式。

目前工程中普遍運(yùn)用的是取等效截面計(jì)算的有效寬度法求解變截面剛架臨界載荷[3]。非線性數(shù)值求解方法已逐漸成為變截面問(wèn)題的研究重點(diǎn)。郭彥林等[4]運(yùn)用非線性屈曲分析考察了房頂表面均布荷載對(duì)剛架柱穩(wěn)定性的影響，重申了數(shù)值求解在變截面研究中的實(shí)用性。Ermopoulos[5]在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)設(shè)置不同的約束條件限制自由度，分析了楔形變截面桿在不同條件下的受力情況，從而得到相應(yīng)的特征方程。王欣等[6]為了探究壓桿穩(wěn)定性，建立n階變截面壓桿的非線性微分方程組，以建立適應(yīng)邊界條件的狀態(tài)方程組，求解獲取遞推關(guān)系式，從而應(yīng)用Newton法迭代計(jì)算臨界載荷。在非線性方程組優(yōu)化方面，群智能算法由于其具備較快的收斂速度、高魯棒性和較強(qiáng)的局部及全局搜索能力而在近些年受到廣泛推崇[7]。肖志權(quán)等[8]采用遺傳算法，以機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)以及傳感器和控制器的參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，建立無(wú)約束優(yōu)化，從而減小了變截面梁的末端振動(dòng)。武和全等[9]基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合遺傳算法建立了變截面梁結(jié)構(gòu)的總吸能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，從而改善了汽車車架變截面薄壁梁結(jié)構(gòu)尺寸，提高了安全性。朱劍寶等[10]通過(guò)運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法優(yōu)化變截面板簧，以彈簧質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，從而有效降低板簧余重1/3以上。在變截面穩(wěn)定性研究方面，侯祥林等[11]基于數(shù)值優(yōu)化思想提出了超靜定壓桿結(jié)構(gòu)臨界載荷的數(shù)值迭代算法和基于傳統(tǒng)無(wú)約束的優(yōu)化算法，有效提高了臨界載荷計(jì)算精度。

針對(duì)工程中廣泛運(yùn)用的變截面剛架，在非線性小變形前提下，通過(guò)剛架拆分和節(jié)點(diǎn)設(shè)置，運(yùn)用差分法構(gòu)造以節(jié)點(diǎn)位移和臨界偏載等為未知變量的非線性方程組，提出基于粒子優(yōu)勝劣汰的改進(jìn)粒子群算法[12]IPSO(Improved Particle Swarm Optimization)進(jìn)行無(wú)約束優(yōu)化求解，進(jìn)而得出剛架臨界荷載及其變形圖。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)變截面橋式起重機(jī)的工程算例，探討柱腳為固定端的超靜定剛架在受非對(duì)稱偏載時(shí)的穩(wěn)定性問(wèn)題，并運(yùn)用ABAQUS進(jìn)行有限元仿真對(duì)比。通過(guò)算法的提出與實(shí)現(xiàn)為實(shí)際工程設(shè)計(jì)和分析提供支持。

2 剛架臨界載荷求解問(wèn)題分析

圖1所示為一類典型對(duì)稱結(jié)構(gòu)非對(duì)稱載荷剛架結(jié)構(gòu)示意圖。圖中單跨單層剛架柱腳剛接，邊柱AB與CD長(zhǎng)度分別為l1和l4，彎曲剛度分別為EI(x1)和EI(x4)；橫梁BC長(zhǎng)l2，彎曲剛度為EI(x2)。彎曲剛度隨著坐標(biāo)x而變化。Fc r為施加于剛架上的臨界單一偏載，由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱，左右立柱皆可施加?；谛∽冃尉€彈性穩(wěn)定性理論，臨界偏載作用下，剛架將遠(yuǎn)在材料屈服前產(chǎn)生微小擾動(dòng)偏離，但尚未失穩(wěn)，處于可恢復(fù)的臨界平衡狀態(tài)。設(shè)未知的撓曲軸線方程y=f(x)，考慮構(gòu)造求解解析解難以獲得的非線性差分方程組[13]。

剛架受非對(duì)稱載荷，導(dǎo)致變形不能簡(jiǎn)單依靠對(duì)稱計(jì)算，所以通過(guò)拆分剛架，將變形剛架分成邊柱AB段、邊柱CD段、橫梁BK段和橫梁KC段四個(gè)部分。其中未知點(diǎn)K為橫梁變形后撓度為0的點(diǎn)，且BK長(zhǎng)度為l2,KC長(zhǎng)度為l3，對(duì)應(yīng)分別建立xj-wj(j=1,2,3,4)四個(gè)直角坐標(biāo)系。將各部分沿x坐標(biāo)軸離散成ni段，取Δxi=li/ni(i=1,2,3,4)。w為撓度值，對(duì)應(yīng)撓度坐標(biāo)為wi(i=0,1,2,…,ni)，撓曲軸線離散點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,wi)(i=0,1,2,…,ni)。剛架拆分穩(wěn)定性分析如圖2所示。

建立各部分撓曲線微分方程：

EI(x)w″=M(x)

(1)

圖1 剛架受偏載荷結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1 Structural diagram of the bias load pressed frame

圖2 剛架拆分示意圖

Fig.2 Schematic diagram of disconnected frame

對(duì)于AB段，設(shè)柱段節(jié)點(diǎn)數(shù)量為n1，則

M(x1)=M1-FN(l1-x1)+Fc r(w1n1-w1)+

Fs(w1n1-w1)

(2)

將式(2)代入式(1)得

Fs(w1n1-w1)

(3)

對(duì)BK段、KC段和CD段分別設(shè)柱段節(jié)點(diǎn)數(shù)量為n2，n3和n4，則

(4)

(5)

(6)

(EI1(x1)/EI20)(w1(i +1)-2w1i+w1(i -1))=

(7)

(EI2(x2)/EI20)(w2(i +1)-2w2i+w2(i -1))=

(8)

(EI3(x3)/EI20)(w3(i +1)-2w3 i+w3(i -1))=

(9)

(EI4(x4)/EI20)(w4(i +1)-2w4i+w4(i -1))=

(10)

式中EIj 0=EIj(0)(j=1,2,3,4)；i=1,2,…,n-1。

(11)

如圖1所示，柱腳A和D處為固定端約束，可通過(guò)增加補(bǔ)點(diǎn)即w1(-1)=w11和w4(-1)=w41得

2w11c1(x10)-m1+fnl1-fc rw1n1-fsw1n1=0

(12)

2w41c4(x40)+m2-fnl4+fsw4n4=0

(13)

式中x10和x40分別為x1和x4坐標(biāo)軸上的第0點(diǎn)。

微分方程組中共有n1+n2+n3+n4-4個(gè)非線性差分方程。其中有wj i(i=1,2,…,nj-1,j=1,2,3,4)、柱頂點(diǎn)撓度w1n1和w4n4、柱端剪力Fs、柱端彎矩M1和M2、軸力FN、臨界偏載荷Fc r以及BK段長(zhǎng)度l2，總共n1+n2+n3+n4+4個(gè)未知量。

針對(duì)剛架各部分邊界條件為

由柱腳剛接可知柱腳A和D無(wú)撓度無(wú)轉(zhuǎn)角

(14)

(15)

由橫梁BC彎矩平衡，則

m1-fsl2-m2=0

(16)

為了保證柱梁連續(xù)，即保證柱梁接點(diǎn)彎矩和轉(zhuǎn)角相同，則轉(zhuǎn)角等式為

(17，18)

在臨界偏載Fc r作用下，撓曲線的各節(jié)點(diǎn)撓度值將構(gòu)成一定的比例關(guān)系，即形成一組相對(duì)的模態(tài)解，為了方便求解及程序運(yùn)算，取柱AB段任意節(jié)點(diǎn)P的撓度值為w1P，則可增加方程

w1P=c

(19)

式中c為任意正常數(shù)。

基于小變形穩(wěn)定理論，剛架柱AB段及柱CD段可視為相同變形條件，即設(shè)

w1n1=w4n4

(20)

為了尋求BK段長(zhǎng)度l2，因?yàn)镵點(diǎn)撓度為0，構(gòu)建橫梁為靜定結(jié)構(gòu)，運(yùn)用圖乘法計(jì)算撓度，則得K點(diǎn)撓度方程為

(21)

通過(guò)補(bǔ)充方程(14～21)，方程組總個(gè)數(shù)變?yōu)閚1+n2+n3+n4+4，方程數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，理論上撓曲線可唯一確定。

針對(duì)變截面問(wèn)題形成的非線性差分方程組不能運(yùn)用解析法求解，因此構(gòu)造臨界荷載的優(yōu)化求解算法。

3 IPSO臨界載荷優(yōu)化算法求解原理

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法(PSO)是Shi等[14]在前人研究基礎(chǔ)上引入慣性權(quán)重ω后得到的。通過(guò)慣性權(quán)重ω，粒子將具有更好的收斂性且不易飛躍邊界導(dǎo)致發(fā)散，從而保證算法局部搜索與全局搜索能力的平衡。為了提高算法搜索效率，Shi等[15]提出通過(guò)線性遞減慣性權(quán)重LDIW(Linear Decreasing Inertia Weight)。針對(duì)本文的多維算例，采用線性遞減慣性權(quán)重粒子群算法作為算法改進(jìn)模板。慣性權(quán)重計(jì)算公式為

ω(k)=ωend+(ωstart-ωend)[(K-k)/K]

(22)

式中k=1,2,…,K為當(dāng)前迭代次數(shù)，K為設(shè)定最大迭代次數(shù)，ωstart為初始慣性權(quán)重，ωend為迭代滿次時(shí)的慣性權(quán)重。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真，線性遞減慣性權(quán)重粒子群算法雖然相比標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法在搜索速度和精度上得到很大提高，但仍然具有多數(shù)群體智能算法早期收斂速度快但后期收斂精度不夠或陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)。通過(guò)研究早熟粒子，發(fā)現(xiàn)粒子受隨機(jī)起點(diǎn)位置影響，導(dǎo)致在慣性權(quán)重下降的搜索后期速度下降，使得越來(lái)越多的粒子無(wú)法趨近最優(yōu)解或成為無(wú)用僵化的早熟粒子。

針對(duì)上述現(xiàn)象，提出一種基于適應(yīng)度評(píng)估適者生存的粒子更新粒子群算法。具體步驟如下。

(1) 初始化。在D維的搜索空間內(nèi)，設(shè)計(jì)種群粒子數(shù)為n，記{Xi}={X1,X2,…,Xn}，每個(gè)元素視為一個(gè)D維解集且為粒子位置，即初始化粒子i的位置和速度為

Xi=(xi 1,xi 2,…,xi D)T(i=1,2,…,n)

(23)

Vi=(vi 1,vi 2,…,vi D)T(i=1,2,…,n)

(24)

(2) 適應(yīng)度評(píng)估。通過(guò)需要求解的適應(yīng)度函數(shù)function()評(píng)選種群最佳粒子位置gbest和第i個(gè)粒子的歷史粒子位置pbest[i]。

(3) 更新粒子位置。運(yùn)用粒子群位置和速度更新公式獲取新的粒子第d維(1≤d≤N)位置和速度，即[16]

(25)

(26)

式中c1為局部慣性權(quán)重因子，c2為全局慣性權(quán)重因子,rand()為(0,1)間的隨機(jī)數(shù),k=1,2,…,K為迭代次數(shù)。

(4) 適者生存。每隔Z輪再次計(jì)算n個(gè)粒子的適應(yīng)度，依據(jù)適者生存淘汰機(jī)制，隨機(jī)淘汰P個(gè)粒子，P取[n/2α,n/α]間的隨機(jī)整數(shù)[17]，α為更新系數(shù)。并補(bǔ)充P個(gè)粒子，其第d維(1≤d≤N)位置和速度為

vj d=rand(vmin,vmax)

(j=1,2,…,P) (27)

xj d=rand(xmin,xmax)

(j=1,2,…,P) (28)

式中vmin和vmax為群體淘汰P個(gè)粒子后第d維的最小速度和最大速度,xmin和xmax為群體淘汰P個(gè)粒子后第d維位置的最小值和最大值。

(5) 停止條件。循環(huán)回到步驟(2)，直至達(dá)到設(shè)定的最大迭代數(shù)K或設(shè)定精度ε。優(yōu)化程序流程如圖3所示。

對(duì)稱結(jié)構(gòu)變截面剛架臨界載荷最優(yōu)化問(wèn)題：

min.f(z)

(29)

式中z∈RN為動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)變量，N=n1+n2+n3+n4+4為動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)變量z的維數(shù)。設(shè)置：

zi=w1i(i=1,2,…,n1)

zi + n1=w2i(i=1,2,…,n2-1)

zi + n1+ n2=w3i(i=1,2,…,n3-1)

zi + n1+ n2+ n3=w4i(i=1,2,…,n4)

zN -5=m1,zN -4=m2,zN -3=fn,zN -2=fs

zN -1=fc r,zN=l2,l=l2+l3

構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)f(z)為

m1+fn(l1-x1)-fc r(w1n1-w1i)-

2w2i+w2(i -1))+m1-fnw2i-fsx2]2+

2w4i+w4(i -1))+m2-fn(l4-x4)+

fs(w4n4-w4i)]2+(w1P-c)2+

[2w11c1(x10)-m1+fnl1-fc rw1n1-fsw1n1]2+

[2w41c4(x40)+m2-fnl4+fsw4n4]2+

(w1n1-w4n4)2+[m1-fsl-m2]2+

(30)

通過(guò)最優(yōu)化求解，所求優(yōu)化函數(shù)的極小值f(z*)→0,從而輸出滿足精度的N維z=z*解集[18]。算法基于eclipse 開發(fā)平臺(tái)用JAVA語(yǔ)言編寫。

4 工程算例

本文選用常見構(gòu)型相對(duì)簡(jiǎn)單的變截面橋式起重機(jī)為工程算例，對(duì)優(yōu)化算法和程序進(jìn)行考證。幾何尺寸如圖4(a)所示。其中橫梁為等截面梁跨度l=34 m，其截面尺寸如圖4(b)所示，截面高度h1=2000 mm，截面寬度b1=1600 mm。起升高度即邊柱為變截面高度，為l1=l4=16.5 m，其截面尺寸如圖4(c)所示，大頭截面高度h2=3200 mm，截面寬度b2=1026 mm，小頭截面高度h3=2600 mm，橫梁邊柱皆為箱型結(jié)構(gòu)。邊柱與主梁和下橫梁均為剛性連接，下橫梁與地面接觸為起重機(jī)提供支撐，其對(duì)起重機(jī)的整體穩(wěn)定性影響可以忽略。不考慮起重機(jī)下橫梁對(duì)整體穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為兩柱腿與地面采用固定約束。取截面厚度t=12 mm，起重機(jī)左端受未知偏載荷如圖1所示，通過(guò)優(yōu)化算法求解未知偏載荷，即臨界載荷Fc r及剛架變形。

圖3 優(yōu)化程序流程

Fig.3 Optimization program flowchart

圖4 變截面剛架算例力學(xué)模型

Fig.4 Variable cross-section compression frame mechanical modes of example

求解變截面穩(wěn)定性問(wèn)題，由于截面慣性矩隨著截面尺寸的變化而變化，因此彎曲剛度也時(shí)刻變化，關(guān)系式為

(31)

h(x)=h3+(h2-h3)/l1

(32)

(33)

取段數(shù)n1=n2=n3=n4=11，設(shè)計(jì)變量數(shù)N=48，z1～z42為撓度對(duì)應(yīng)wi j(i=1,2,3,4；j=1,2,…,11)，z43為簡(jiǎn)化彎矩m1，z44為簡(jiǎn)化彎矩m2，z45為簡(jiǎn)化軸力fn，z46為簡(jiǎn)化剪力fs，z47為簡(jiǎn)化臨界載荷fc r，z48為BK段長(zhǎng)l2。IPSO搜索精度ε=10-7，設(shè)計(jì)粒子總數(shù)為40，初始迭代次數(shù)K=40000，取粒子速度初值為Vi=rand()(i=1,2,…48)，位置初值為Xi=rand()(i=1,2,…，48)。通過(guò)38571次優(yōu)化計(jì)算達(dá)到預(yù)定精度。力與彎矩的各簡(jiǎn)化變量?jī)?yōu)化過(guò)程列入表1。

因此，對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化形式臨界載荷為

fc r=0.0592

則臨界載荷為

Fc r= 0.0592×EI20=

0.0592×2.06×1011I20=

(1.6-0.024)×(2-0.024)3]=

6.512×105kN

滿足精度后的剛架的42個(gè)離散節(jié)點(diǎn)撓度與5個(gè)無(wú)量綱參數(shù)列入表2。依據(jù)表2各點(diǎn)撓度繪制變截面剛架在臨界偏載情況下的位型，如圖5所示。

表1 優(yōu)化計(jì)算過(guò)程表Tab.1 Optimized calculation process

表2N=48個(gè)設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化計(jì)算結(jié)果

Tab.2 Optimization results of design variables

(N=48)

動(dòng)態(tài)變量?jī)?yōu)化結(jié)果動(dòng)態(tài)變量?jī)?yōu)化結(jié)果動(dòng)態(tài)變量?jī)?yōu)化結(jié)果z10.0112z170.3977z330.0202z20.0414z180.3262z340.0498z30.0880z190.2408z350.0952z40.1496z200.1515z360.1584z50.2254z210.0679z370.2411z60.3152z220.1238z380.3451z70.4192z230.2324z390.4717z80.5384z240.3225z400.6222z90.6738z250.3909z410.7979z100.8270z260.4344z421.0000z111.0000z270.4497z43-0.0234z120.2112z280.4339z440.0288z130.3524z290.3840z450.0013z140.4325z300.2969z46-0.0015z150.4604z310.1698z470.0592z160.4457z320.0044z4820.1462

圖5 變截面剛架在臨界載荷作用下的位型

Fig.5 Variable cross-section compression frame deformation

運(yùn)用ABAQUS有限元仿真軟件，設(shè)置鋼材彈性模量E=2.06×105N/mm2，泊松比μ=0.3，單元類型為B31，模型節(jié)點(diǎn)數(shù)為2143，單元數(shù)為714。

仿真計(jì)算臨界載荷結(jié)果為

Fc r,s=6.0505×105kN

則本文算法與ABAQUS計(jì)算的相對(duì)誤差為

ε′=7.63%

因此本文算法與仿真結(jié)果十分接近。

ABAQUS仿真變形圖如圖6所示。

圖6 變截面剛架在ABAQUS下的屈曲模型

Fig.6 Variable cross-section compression frame buckling model through ABAQUS

5 結(jié) 論

本文針對(duì)小變形下變截面對(duì)稱剛架受非對(duì)稱載荷的實(shí)際工況，分析計(jì)算了剛架梁柱彈性變形形變及臨界載荷等參數(shù)。主要結(jié)論如下。

(1) 所述臨界載荷算法，基于差分思想和優(yōu)化原理，運(yùn)用改進(jìn)粒子群算法嵌套工程實(shí)例，編程計(jì)算了變截面剛架的臨界載荷算例。

(2) 通過(guò)ABAQUS仿真對(duì)比，本文算法具有足夠精準(zhǔn)性，相比常規(guī)的有效寬度法能更好地描述剛架受力下位型和載荷的力學(xué)關(guān)系，進(jìn)一步為工程設(shè)計(jì)與分析提供支持。

:

[1] 龍馭球,包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1996.(LONG Yu-qiu,Bao Shi-hua.StructuralMechanics(2n dEdition)[M].Beijing：Higher Education Press，1996.(in Chinese))

[2] 單輝祖.材料力學(xué)I(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2009.(SHAN Hui-zu.MaterialMechanics(3r dEdition)[M].Beijing：Higher Education Press，2009.(in Chinese))

[3] GB51022-2015.門式剛架輕型房屋鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范[S].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2015.(GB51022-2015.Technical Code for Steel Structure of Light-Weight Building with Gabled Frames [S].Beijing:China Building Industry Press,2015(in Chinese))

[4] 郭彥林,王文明,石永久.變截面門式剛架結(jié)構(gòu)的非線性性能[J].工程力學(xué),2000,17(4):29-36.(GUO Yan-lin,WANG Wen-ming,SHI Yong-jiu.Nonlinear behavior of portal frame with tapered members [J].EngineeringMechanics,2000,17(4):29-36.(in Chinese))

[5] Ermopoulos J C.Buckling of tapered bars under stepped aaial loads[J].JournalofStructuralEngineering,1986,112(6):1346-1354.

[6] 王 欣,易懷軍,趙日鑫,等.一種n階變截面壓桿穩(wěn)定性計(jì)算方法的研究[J].中國(guó)機(jī)械工程，2014,25(13)：1744-1747,1799.(WANG Xin,YI Huai-jun,ZHAO Ri-xin,et al.Research on stability analysis method ofn-order variable cross-section compressed bars[J].ChinaMechanicalEngineering，2014,25(13)：1744-1747,1799.(in Chinese))

[7] 張碧玲,胡凌霄,劉 勇,等.采用改進(jìn)粒子群算法的微電網(wǎng)短期調(diào)控模型[J].電網(wǎng)技術(shù)，2016,40(6)：1717-1723.(ZHANG Bi-ling,HU Ling-xiao,LIU Yong,et al.Short-term scheduling model for micro-grids with improved discrete particle swarm optimization[J].PowerSystemTechnology，2016,40(6)：1717-1723.(in Chinese))

[8] 肖志權(quán),崔玲麗.基于遺傳算法的柔性機(jī)械臂的同時(shí)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)器人,2004,26(2):170-175.(XIAO Zhi-quan,CUI Ling-li.GA based concurrent optimization and design of flexible manipulator system[J].Robot，2004,26(2):170-175.(in Chinese))

[9] 武和全,辛 勇.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的變截面梁抗撞性分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].振動(dòng)與沖擊,2010,29(10):102-107,174.(WU He -quan,XIN Yong.Crashworthiness optimization of a thin-walled rail with variable section based on artificial neural network[J].JournalofVibrationandShock，2010，29(10):102-107,174.(in Chinese))

[10] 朱劍寶,張衛(wèi)波.基于PSO算法和ANSYS的變截面板簧優(yōu)化仿真設(shè)計(jì)[J].福建工程學(xué)院學(xué)報(bào),2008,6(s1):74-78.(ZHU Jian-bao,ZHANG Wei-bo.Optimized simulation design of taper leaf spring based on particle swarm optimization algorithms and ANSYS[J].JournalofFujianUniversityofTechnology,2008,6(s1):74-78.(in Chinese))

[11] 侯祥林,王似巍,王家祥,等.一類超靜定變截面壓桿臨界荷載的優(yōu)化算法[J].沈陽(yáng)建筑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2017,33(1):104-110.(HOU Xiang-lin,WANG Si-wei，WANG Jia-xiang，et al.An optimization algorithm for the critical load of a class of statically indeterminate variable cross-section compression bar[J].JournalofShenyangJianzhuUniversity(NaturalScience)，2017,33(1):104-110.(in Chinese))

[12] Kennedy J,Eberhart R.Particle swarm optimi-zation[A].International Conference on Neural Networks[C].1995.

[13] 侯祥林,劉鐵林,翟中海.非線性偏微分方程邊值問(wèn)題的優(yōu)化算法研究與應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào),2011,60(9)：090202.(HOU Xiang-lin,LIU Tie -lin,ZHAI Zhong-hai.Study and application of optimization algorithm about nonlinear partial differential equations with boundary value problem[J].ActaPhysicaSinica，2011,60(9)：090202.(in Chinese))

[14] Shi Y，Eberhart R.A modified particle swarm optimizer[A].World Congress on Computational Intelligence[C].Anchorage,AK,USA,1998.

[15] Shi Y，Eberhart R C.Empirical study of particle swarm optimization[A].Congress on Evolutionary Computation[C].Washington,DC,USA，1999.

[16] 周福家,張宏偉,李衛(wèi)國(guó).分子網(wǎng)絡(luò)多靶標(biāo)篩選的粒子群數(shù)值模擬法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，32(2)：269-273,279.(ZHOU Fu-jia，ZHANG Hong-wei,LI Wei-guo.Multiple target optimal intervention using particle swarm optimization in molecular network[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2015，32(2)：269-273,279.(in Chinese))

[17] Wu H S，Zhang F M.Wolf pack algorithm for unconstrained global optimization[J].MathematicalProblemsinEngineering，2014，31(1)：1-17.

[18] 侯祥林,胡建強(qiáng),盧宏峰,等.變截面壓桿穩(wěn)定非線性微分方程邊值問(wèn)題的最優(yōu)化算法研究[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2017,34(2):137-142.(HOU Xiang-lin，HU Jian-qiang，LU Hong-feng，et al.Optimization algorithm of boundary value problem of stable nonlinear differential equation for variable cross-section compression bar[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2017,34(2)：137-142.(in Chinese))