，

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，呼和浩特 010051)

1 引 言

為了減少發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)源對(duì)車身的振動(dòng),除了通過(guò)合理布置曲柄間相互位置、采取有效平衡方法和點(diǎn)火順序來(lái)消除或減少干擾外，還應(yīng)采取隔振措施來(lái)減小發(fā)動(dòng)機(jī)傳給車身的干擾力。恰當(dāng)選取支撐參數(shù)不僅可使整車振動(dòng)及噪聲水平明顯下降，而且能防止發(fā)動(dòng)機(jī)過(guò)早損壞，提高車上各零部件的疲勞壽命，為此在現(xiàn)代汽車設(shè)計(jì)中，發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的設(shè)計(jì)受到廣泛重視。動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)就是確定剛度陣。若將已知發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，求發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的固有頻率和振型看作是正問(wèn)題，那么給定系統(tǒng)的振型及固有頻率，求剛度矩陣則成了上述正問(wèn)題的逆問(wèn)題[1-5]。

設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的目的就是為了防止發(fā)動(dòng)機(jī)激振力向車身傳遞，使懸置起到隔離振動(dòng)的效果，設(shè)計(jì)時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)型號(hào)已知，質(zhì)量陣便已確定。從隔振的角度，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的固有頻率通常為設(shè)定值，如何選取合適振型(模態(tài))，就成為設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[6]對(duì)汽車發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，文獻(xiàn)[7]應(yīng)用區(qū)間分析的方法對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[8]應(yīng)用模擬退火算法對(duì)全地形車發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，文獻(xiàn)[9，10]則分別應(yīng)用粒子群算法和遺傳算法對(duì)汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)作了優(yōu)化設(shè)計(jì)，還有針對(duì)車輛耦合振動(dòng)系統(tǒng)，基于狀態(tài)空間分析的優(yōu)化方法等[11,12]。

本文提出了廣義坐標(biāo)下，基于質(zhì)量矩陣的Cholesky分解來(lái)設(shè)計(jì)正則模態(tài)矩陣，進(jìn)而對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化求解的方法。

2 懸置系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

動(dòng)力總成是汽車最大的集中質(zhì)量，為了有效隔離發(fā)動(dòng)機(jī)引起的振動(dòng)，動(dòng)力總成與車身通過(guò)彈性支撐元件相連，動(dòng)力總成與彈性支撐元件共同組成了發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)。汽車發(fā)動(dòng)機(jī)均采用多點(diǎn)彈性支撐，如圖1所示。

(1)

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)支撐

Fig.1 Engine mount

(2)

(3)

式中m為動(dòng)力總成質(zhì)量，J..為轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩和慣性積。以質(zhì)心O點(diǎn)作為原點(diǎn)的慣性坐標(biāo)系 {O-xyz}，坐標(biāo)軸與慣性主軸重合，此時(shí)慣性積為0，質(zhì)量陣可對(duì)角化為

(4)

(5)

ΔWi=RiΔXi

(6)

式中Ri=Ru iRv iRs i，Ru i，Rv i和Rs i為安裝角的旋轉(zhuǎn)矩陣，得

(7)

ΔXi為發(fā)動(dòng)機(jī)總成振動(dòng)在彈性支撐Xi處的變形量，

ΔXi=X+RθXi-Xi

(8)

式中Rθ=RxRyRz為發(fā)動(dòng)機(jī)總成的旋轉(zhuǎn)矩陣，與式(7)相似，而Rx,Ry和Rz亦為正交旋轉(zhuǎn)矩陣，限于篇幅不再給出。只研究微小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，cosθ≈1，sinθ≈0，式(8)化為

(9)

將式(9)代入式(8)可得

ΔXi=X+(Rθ-I3 × 3)Xi=

(10)

(11)

(12)

(13)

3 發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)激勵(lì)源分析

對(duì)于單缸發(fā)動(dòng)機(jī)，在恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，根據(jù)力學(xué)原理，把整套曲柄連桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)量用集中在曲軸銷與活塞銷上的兩個(gè)質(zhì)量代替，如圖2所示，r為曲柄半徑，l為連桿長(zhǎng)度；m1為曲軸等效質(zhì)量，對(duì)支撐產(chǎn)生離心慣性力為Pr，在坐標(biāo)軸上的分量為Pr x與Pr y；m2為活塞等效質(zhì)量，除了對(duì)支撐產(chǎn)生往復(fù)慣性力Pj，活塞往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于缸壁的壓力PN，還會(huì)對(duì)支撐產(chǎn)生扭矩Mz c。

圖2 單缸發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)部件及受力簡(jiǎn)圖

Fig.2 Diagram of moving parts and force of single -cylinder engine

以簡(jiǎn)化中心C點(diǎn)(位于曲軸中心線上)作為原點(diǎn)的慣性坐標(biāo)系{C-xcyczc}中，離心慣性力Pr等于質(zhì)量m1的向心力，可以表示為

Pr=m1rω2

(14)

活塞的位移xc等于CA的長(zhǎng)度，幾何關(guān)系為

xc=r(cosα+1/λcosβ)≈

l(1-λ2/4)+r(cosωt+λ/4cos2ωt)

(15)

式(15)用到了幾何關(guān)系sinβ=λsinα，且忽略了cosβ的泰勒展開(kāi)式中二次以上的高階項(xiàng)，λ=r/l為曲柄與連桿長(zhǎng)度之比。式(15)中的位移對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得

(16)

Pj=-m2rω2(cosωt+λcos2ωt)

(17)

式中 往復(fù)慣性力Pj由一次慣性力和二次慣性力兩部分組成，若保留泰勒展開(kāi)式中更高次高階項(xiàng)，則有更高次的慣性力?；钊魍鶑?fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)對(duì)缸壁產(chǎn)生壓力PN，對(duì)連桿產(chǎn)生壓力PT，由PN+PT=Pj+Pg，可推導(dǎo)出

PN=(Pj+Pg)tanβ

(18)

PN對(duì)zc軸產(chǎn)生扭矩Mz c為

Mz c=PNxc=r(Pg+Pj)sin(α+β)/cosβ

(19)

式中 發(fā)動(dòng)機(jī)主動(dòng)力Pg=(pg-1)S，S為氣缸燃燒室面積，pg為缸內(nèi)壓強(qiáng)[13]。

圖3給出四缸直列發(fā)動(dòng)機(jī)的受力情況，可視為由曲軸連接起來(lái)的四個(gè)單缸發(fā)動(dòng)機(jī)，作用力應(yīng)是各個(gè)單缸體受到的干擾力組成的一組空間力系，

(20)

(21)

由式(21)可知，式(20)的一些慣性力理論上可以平衡掉，但在工程實(shí)際中，由于加工精度和裝配等原因，這些慣性力仍會(huì)不同程度地存在；由于各氣缸之間所經(jīng)歷的沖程不同，如圖4所示，以發(fā)火順序?yàn)?-2-4-3缸為例，作用于z軸上的扭矩不能平衡掉，故發(fā)動(dòng)機(jī)主動(dòng)力Pgi是引起發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的最主要激勵(lì)源。

圖3 直列四缸發(fā)動(dòng)機(jī)受力情況

Fig.3 Four-cylinder engine force condition

圖4 四沖程發(fā)動(dòng)機(jī)示功圖

Fig.4 Four-stroke engine dynamometer

4 發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)設(shè)計(jì)及優(yōu)化

設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)時(shí)，對(duì)于已給定的發(fā)動(dòng)機(jī)，可通過(guò)一些簡(jiǎn)單的計(jì)算方法和測(cè)試手段獲得以其質(zhì)心為原點(diǎn)的慣性坐標(biāo)系的質(zhì)量矩陣M。如何選取恰當(dāng)?shù)闹螀?shù)是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，這里又包含兩個(gè)問(wèn)題，即如何設(shè)計(jì)系統(tǒng)的固有頻率與模態(tài)振型。系統(tǒng)的固有頻率需滿足工程實(shí)際需要，對(duì)于隔振，希望固有頻率能夠錯(cuò)開(kāi)激勵(lì)頻率，且離激勵(lì)頻率越遠(yuǎn)越好，所以在設(shè)計(jì)時(shí)要求固有頻率滿足：

ωn 1,ωn 2,…,ωn 6∈(0ωd max]

(22)

ωd max為設(shè)計(jì)的固有頻率上限。若以廣義坐標(biāo)表示振動(dòng)Qc=[w1w2w3w4w5w6]T，假設(shè)有如下關(guān)系,

Q=EQc

(23)

式中E為坐標(biāo)間的變化矩陣，非奇異，可推得

(24)

(25)

此時(shí)實(shí)模態(tài)解耦，K1稱為譜陣。由式(24)可知

(26)

式(26)表明,可用矩陣Mc的Cholesky分解來(lái)設(shè)計(jì)正則模態(tài)矩陣，則物理坐標(biāo)下的正則模態(tài)矩陣為

Φ=EΦc=[φ1φ2…φ6]

(27)

Cholesky分解又叫三角分解，是對(duì)稱正定矩陣最常用的分解方法之一，且這種分解是唯一的[13,14]。若給定系統(tǒng)的固有頻率，則譜陣K1為

(28)

由式(27,28)可得

(29)

對(duì)照式(12,29)可反解出支撐參數(shù)為

(30)

式(26)中質(zhì)量矩陣不用M的原因?yàn)樵撡|(zhì)量矩陣本身是對(duì)角陣，Cholesky分解也必然是對(duì)角陣，將導(dǎo)致式(28)的剛度陣K也為對(duì)角陣，最終反解出的支撐參數(shù)在工程中無(wú)法實(shí)現(xiàn)，這也是引入廣義坐標(biāo)來(lái)表示振動(dòng)的原因。坐標(biāo)間變化矩陣的選取具有一定的設(shè)計(jì)主觀性，可根據(jù)式(10)的剛度矩陣耦合形式選取E。

(31)

由于剛度耦合的存在，一般情況下，發(fā)動(dòng)機(jī)總成將沿多個(gè)廣義坐標(biāo)方向發(fā)生振動(dòng)，傳遞給車身的振動(dòng)也會(huì)表現(xiàn)在多個(gè)方向。式(31)中,ε一般為小值，ε取值越大，系統(tǒng)耦合越嚴(yán)重，因此稱ε為耦合控制因子。在不考慮耗能的情況下，振動(dòng)動(dòng)能與勢(shì)能之和為一常數(shù)，等于最大勢(shì)能。當(dāng)系統(tǒng)以第i階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，設(shè)φi是固有頻率ωn i對(duì)應(yīng)的振型向量，最大振動(dòng)總勢(shì)能為

(32)

第j個(gè)廣義坐標(biāo)分配的勢(shì)能占系統(tǒng)總勢(shì)能的比例定義為

λi j=(Uij/Uitol)×100%

(33)

由式(33)可定義能量分布矩陣為

λ=[λi j] (j,i=1,2,…,6)

(34)

由能量分布矩陣定義可知，若追求發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的解耦，λ陣的各列只有一個(gè)元素趨于1而其他元素趨于0，工程中某元素達(dá)到90%以上即屬于較好解耦。

對(duì)于單自由度振動(dòng)隔離系統(tǒng)，輸出與輸入之間可以直接建立起傳遞函數(shù)，但對(duì)于六自由度系統(tǒng)，輸出與輸入之間建立的是傳遞函數(shù)矩陣，雖然矩陣中每個(gè)傳遞函數(shù)可以評(píng)估在這個(gè)自由度方向上的隔振效能，但整體的隔振效能無(wú)法評(píng)估，這里提出跡傳遞函數(shù)來(lái)評(píng)估整體的隔振效能。對(duì)式(1，25)作傅里葉變換：

Q(ω)= [K-ω2M+jωC]-1F(ω)=

H(ω)F(ω)

(35)

q(ω)= [K1-ω2I6 ×6+jωC1]-1F1(ω)=

H1(ω)F1(ω)

(36)

可驗(yàn)證H(ω)與H1(ω)的跡相同，

Htr(ω)= tr[H(ω)]=tr[H1(ω)]=

(37)

式中Htr(ω)稱為跡動(dòng)柔度函數(shù)，ζi為阻尼比。跡動(dòng)柔度函數(shù)是解耦后6個(gè)單自由度系統(tǒng)的動(dòng)柔度函數(shù)的線性疊加，可認(rèn)為是單自由度動(dòng)柔度函數(shù)的一種推廣。發(fā)動(dòng)機(jī)懸置本質(zhì)上是多自由度動(dòng)力隔振，類似跡動(dòng)柔度函數(shù)，本文定義跡動(dòng)力傳遞函數(shù)為

(38)

式中Fai和Fb i為解耦后各方向上隔振前后的力。

5 發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)設(shè)計(jì)與優(yōu)化實(shí)例及動(dòng)力學(xué)仿真

針對(duì)某車企生產(chǎn)的BC306Z型乘用車的縱置發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力總成采用四點(diǎn)懸置系統(tǒng)，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，懸置系統(tǒng)各參數(shù)列入表1，表中共有三類36個(gè)支撐參數(shù)，每類參數(shù)中各包含12個(gè)參數(shù)。應(yīng)用式(4，12)不難求出系統(tǒng)譜陣K1=diag[7230 2512 1329 1389 9561 12589]。應(yīng)用式(32～34)可求出能量分布矩陣λ，可見(jiàn)采用以上參數(shù)解耦情況較差。

表1 某四支撐發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)參數(shù)

Tab.1 Parameters of a four-point engine mount system

質(zhì)(慣)量(kg,kg·m2)m=136,Jx=7.70,Jy=8.78,Jz=3.74支撐參數(shù)主軸剛度×104(N·m-1)安裝歐拉角(°)安裝位置(m)ku1=ku2=2.5ku3=ku4=18.5kv1=kv2=2.5kv3=kv4=6.2ks1= ks2=8.8ks3=ks4=9.7θu1=-θu2=-40 θu3=θu4=5θv1=θv2=0θv3=θv4=-3θs1=θs2=0θs3=θs4=0x1=x2=-0.15x3=x4=-0.12y1=-y2=0.27y3=-y4=0.30z1=z2=0.54z3=z4=-0.28

討論給定支撐安裝位置，對(duì)支撐主軸剛度及安裝歐拉角進(jìn)行優(yōu)化求解。優(yōu)化的目的是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦，且使得從發(fā)動(dòng)機(jī)傳遞給車身的動(dòng)力盡可能小，即優(yōu)化后跡動(dòng)力傳遞函數(shù)Ttra(ω)小于優(yōu)化前Ttrb(ω)。因此這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件描述為

?max.[λi j]≥85% (j=1,2,…,6)∩

Ttra(ω)

(39)

對(duì)于求解式(39)的優(yōu)化問(wèn)題，目前已有多目標(biāo)優(yōu)化方法、區(qū)間優(yōu)化方法及模擬退火算法等多種方法。本文根據(jù)前文提出的基于廣義質(zhì)量陣Cholesky分解振型的優(yōu)化策略對(duì)此進(jìn)行求解。

當(dāng)耦合控制因子ε=0.1時(shí)，det(E)=0.9496，矩陣E非奇異，利用式(24～29)求目標(biāo)剛度矩陣K可得

由式(29)列出相關(guān)參數(shù)的線性方程組，矩陣形式寫為

在最小二乘原則下，可對(duì)Di(i=1,2,3,4)進(jìn)行求解。由旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣的性質(zhì)可得

(40)

由反解出的懸置系統(tǒng)支撐參數(shù)計(jì)算能量分布陣為

從能量分布矩陣λ可知，當(dāng)耦合控制因子ε=0.1時(shí)，max .[λi j]≥85%(j=1,2,…,6)，系統(tǒng)基本實(shí)現(xiàn)了解耦；當(dāng)耦合控制因子選取更小值時(shí)，其解耦效果更佳。

圖5給出了在MATLAB的Simulink中，利用本文優(yōu)化實(shí)例中參數(shù)，根據(jù)式(4,12,13，21)建立的直列四缸發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的仿真模型，仿真時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為1200 r/min。

優(yōu)化前后時(shí)域仿真對(duì)比結(jié)果如圖6所示，可以看出，因?yàn)閷?shí)現(xiàn)了解耦，在x，y，z和θy方向，優(yōu)化后發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)位移趨于0，優(yōu)化前后較大的振動(dòng)方向是θz和θx，優(yōu)化后幅值也較優(yōu)化前小。

表2 某四支撐發(fā)動(dòng)機(jī)懸置優(yōu)化后結(jié)果

Tab.2 Results of a four-point engine mount optimization

支撐主軸剛度×104/(N·m-1)ku1=ku2=1.8ku3=ku4=12.3kv1=kv2=3.8kv3=kv4=1.7ks1=ks2=3.7ks3=ks4=3.5支撐安裝角/(°)θu1=-θu2=50θu3=-θu4=-43θv1=θv2=2θv3=θv4=0θs1=-θs2=-88θs3=θs4=0

圖5 懸置系統(tǒng)的仿真模型

Fig.5 Simulation model of engine mount

圖6 優(yōu)化前后時(shí)域仿真結(jié)果對(duì)比(1200 r/min)

Fig.6 Simulation results contrast before and after optimization (1200 r/min)

圖7 跡動(dòng)力傳遞函數(shù)優(yōu)化前后對(duì)比

Fig.7 Transfer function contrast before and after optimization

應(yīng)用式(37)，在阻尼比ζi=0.1的情況下，圖7給出了優(yōu)化前后的跡動(dòng)力傳遞函數(shù)對(duì)比，可以看出,優(yōu)化后系統(tǒng)的6個(gè)固有頻率有所降低，故由發(fā)動(dòng)機(jī)傳遞給車身的動(dòng)力也將減小。

6 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)與動(dòng)力學(xué)仿真研究，得到如下結(jié)論。(1) 可用廣義坐標(biāo)下質(zhì)量矩陣的Cholesky分解來(lái)設(shè)計(jì)目標(biāo)正則模態(tài)矩陣，但坐標(biāo)間變化矩陣的選取具有一定的設(shè)計(jì)主觀性，可根據(jù)剛度矩陣的耦合形式選取，并做出調(diào)整；(2) 基于廣義質(zhì)量陣Cholesky分解振型的優(yōu)化求解關(guān)鍵在于對(duì)耦合控制因子的選取；(3) 根據(jù)目標(biāo)正則模態(tài)矩陣計(jì)算的動(dòng)力總成的剛度矩陣，與由反解出的支承參數(shù)計(jì)算的剛度矩陣，在最小二乘原則下，兩者之間的誤差最小，因而可以保證反解出的支承參數(shù)是優(yōu)化的結(jié)果；(4) 發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)位移優(yōu)化后小于優(yōu)化前，通過(guò)懸置系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果證明了優(yōu)化方法的可行性及有效性。

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