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(1.南京水利科學(xué)研究院 巖土工程研究所，南京 210029；2.北京大學(xué) 數(shù)學(xué)系，北京 100871)

1 引 言

側(cè)限壓縮模型是指材料在不發(fā)生側(cè)向變形條件下的受力模型。小型的側(cè)限壓縮模型(如側(cè)限壓縮試驗(yàn))一般不必考慮側(cè)面摩擦作用[1]，但在一些較大尺寸的工程條件下，側(cè)壁摩擦不能忽略。如海上防波堤[2,3]以及海上風(fēng)電機(jī)[4,5]等箱筒型基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，其下沉到位后，艙內(nèi)土體的受力及沉降計(jì)算可以看作內(nèi)部土體受筒壁側(cè)限作用的問題，且應(yīng)考慮側(cè)壁摩擦的影響。

圖1為江蘇響水海上風(fēng)電復(fù)合筒型基礎(chǔ)下沉到位后的受力示意圖[6]，結(jié)構(gòu)所受的重力、浮力、端阻力、側(cè)壁阻力和地基反力構(gòu)成平衡力系。單獨(dú)分析下部鋼筒結(jié)構(gòu)的每個(gè)隔艙，其內(nèi)部土體均處于存在側(cè)面摩擦的側(cè)限壓縮狀態(tài)。結(jié)構(gòu)自重引起的附加應(yīng)力增加了側(cè)壁的水平應(yīng)力，進(jìn)而對(duì)側(cè)壁的摩擦力產(chǎn)生了影響；摩擦力的變化也影響著土體內(nèi)部的應(yīng)力變化。兩者存在的耦合關(guān)系是分析問題的難點(diǎn)。

筒體外部的側(cè)土壓力計(jì)算只需考慮土體自重，但艙內(nèi)側(cè)土壓力和土體變形的計(jì)算需要考慮土體自重、外荷載和側(cè)壁摩擦的共同作用。模型在受力和變形計(jì)算時(shí)，主要是考慮土體自重和外荷載作用[7]，而常忽略由側(cè)壁摩擦產(chǎn)生的影響，從而帶來一定的計(jì)算誤差。因此，對(duì)于存在摩擦的側(cè)限壓縮模型，能更準(zhǔn)確地計(jì)算結(jié)構(gòu)受力和土體變形，具有一定的理論和工程實(shí)際意義。

2 側(cè)限壓縮模型的理論難點(diǎn)

重力作用引起的側(cè)土壓力分布的計(jì)算較為簡單，因此本文重點(diǎn)分析由外荷載產(chǎn)生的側(cè)壁摩擦力對(duì)受力和變形的影響。另外，土是多孔介質(zhì)，其本構(gòu)有著非線性非彈性的特點(diǎn)[8]，但考慮到實(shí)際工程中隔艙內(nèi)部土體的實(shí)際變形較小，可將此階段的變形近似看作是彈性變形，從定性研究的角度，將土體復(fù)雜的變形問題進(jìn)行簡化。由此對(duì)模型做如下假設(shè)。

(1) 底面無摩擦，兩側(cè)摩擦為庫侖摩擦[9,10]。

(2) 內(nèi)部土體為彈性變形，暫不考慮自重。

根據(jù)荷載作用方式的不同，可以將側(cè)限壓縮模型分為剛性荷載側(cè)限壓縮模型與柔性荷載側(cè)限壓縮模型兩類。剛性荷載是指通過剛性基礎(chǔ)施加的荷載[11]，可通過在土體上部增加一個(gè)剛性光滑蓋板來實(shí)現(xiàn)；柔性荷載概念與之相似，相當(dāng)于直接加載，荷載條件的選取可由具體工況確定。如圖2所示(為研究方便，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了倒置)，其中上部荷載為P，土體高度為H，寬度為2L。

圖1 海上風(fēng)電基礎(chǔ)受力示意圖

Fig.1 Force diagram of offshore wind turbine foundation

圖2 兩種不同荷載條件的側(cè)限壓縮模型

Fig.2 Two different loading conditions of confined compression models

根據(jù)彈性力學(xué)原理[12]，側(cè)限壓縮模型問題的平衡微分方程組為

(1)

式中u和v分別為水平和豎向位移；σx,σy和τx y分別為水平向應(yīng)力、豎向應(yīng)力和切應(yīng)力；ν為土體泊松比。

其位移邊界條件為

(2)

應(yīng)力邊界條件包括荷載邊界條件和摩擦邊界條件。對(duì)于荷載邊界條件，剛性荷載條件下為

(3)

柔性荷載條件下為

(σy)y = 0=-P

(4)

本問題的計(jì)算難點(diǎn)在于摩擦作用下的應(yīng)力邊界條件。由于摩擦作用，模型兩側(cè)的正應(yīng)力與切應(yīng)力滿足庫侖摩擦定律[13,14]，存在的關(guān)系為

(τx y)x = ± L≤μ(σx)x = ± L

(5)

式中μ為摩擦系數(shù)。此處的邊界條件是存在變量耦合的邊界條件[15]，而且不等式約束無法作為定解條件。仍需做如下假定，平衡狀態(tài)下，側(cè)面上的切應(yīng)力和水平應(yīng)力應(yīng)盡量滿足庫侖摩擦公式(τx y)x = ± L=μ(σx)x = ± L，即兩者應(yīng)當(dāng)充分接近?，F(xiàn)構(gòu)造目標(biāo)泛函

(6)

以衡量側(cè)面上水平應(yīng)力函數(shù)與切應(yīng)力函數(shù)之間的距離，則可得定解條件(τx y)x = ± L和(σx)x = ± L，使得δ達(dá)到最小。

綜上，側(cè)限壓縮模型的摩擦邊界條件不是常規(guī)的三類邊界條件，直接求解問題的解析解比較困難，因此本文擬結(jié)合摩擦邊界條件的特點(diǎn)，構(gòu)造迭代方法求出方程的數(shù)值解。

3 迭代法求解過程

對(duì)于實(shí)際問題，可以認(rèn)為偏微分方程組的解是存在的，考慮結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可設(shè)邊界x=±L處切應(yīng)力τx y和水平應(yīng)力σx函數(shù)分別為

(7)

即將問題轉(zhuǎn)化為求解適當(dāng)?shù)膄和g，使得δ達(dá)到最小。方程求解的大致步驟如下。

(1) 取迭代初始函數(shù)g0(y)，默認(rèn)取g0(y)=0。

(3) 更新g(y)。由切應(yīng)力互等定理知g(0)=g(H)=0。此外，參考庫侖摩擦定律，令其他采樣基點(diǎn)處的值滿足g(y)=μf(y)，插值得到g1(y)。

(4) 重復(fù)步驟(2，3)，直至收斂。收斂判斷條件為δi-δi -1<ε，其中ε為給定的閾值。

其中每步求得的方程解未必能用初等函數(shù)表示，但可選取適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)作為迭代函數(shù)的近似。對(duì)于本問題，采用多項(xiàng)式插值就可以達(dá)到較高精度(此處采用9次多項(xiàng)式)。需要注意的是，經(jīng)實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)，如果采用均勻的插值基點(diǎn)，可能會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，即插值多項(xiàng)式在端點(diǎn)處會(huì)發(fā)生較大波動(dòng)，從而影響計(jì)算精度，故建議選取切比雪夫插值基點(diǎn)[16]，可以有效緩解龍格現(xiàn)象。以上計(jì)算過程可通過數(shù)學(xué)軟件編程實(shí)現(xiàn)。

4 計(jì)算結(jié)果分析

本文選取了一個(gè)柔性荷載的算例來對(duì)迭代法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，具體參數(shù)列入表1。

首先，分別輸出5次迭代后接觸側(cè)面上的水平應(yīng)力分布，如圖3(a) 所示。初始迭代函數(shù)g0(y)=0，相當(dāng)于無摩擦的側(cè)限壓縮，故水平應(yīng)力第一次計(jì)算結(jié)果為定值。隨著g(y)的更新，水平應(yīng)力函數(shù)漸漸收斂到一個(gè)穩(wěn)定的曲線，f(y)在4次迭代之后基本保持不變，說明迭代法求解是可行的。

其次，針對(duì)不同的初始迭代函數(shù)，得到目標(biāo)泛函δ與迭代次數(shù)的關(guān)系，如圖3(b)所示。如前文所述，若目標(biāo)泛函呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)且趨于穩(wěn)定，則計(jì)算收斂?？梢钥闯觯N不同的初始迭代函數(shù)，雖對(duì)應(yīng)的目標(biāo)泛函初值有所不同，但都有著較高的收斂速度，并且都在4次迭代后趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定值近似為0，說明接觸側(cè)面上的正應(yīng)力與摩擦應(yīng)力基本滿足τx y=μσx這一關(guān)系。

表1 各項(xiàng)參數(shù)設(shè)定

Tab.1 Parameters setting

quantityvalueElastic modulus/MPa10Poisson’s ratio0.3Height/m4Width/m2Friction coefficient0.3Load/kPa100Quantity of interpolating points31

圖3 迭代法收斂性分析

Fig.3 Convergence analysis of iterative method

綜上，本文的函數(shù)迭代方法受初始迭代函數(shù)影響較小，計(jì)算結(jié)果較為穩(wěn)定，且收斂速度較快。

利用ABAQUS有限元分析軟件，對(duì)同等條件下的側(cè)限壓縮模型進(jìn)行計(jì)算。將實(shí)際工程中關(guān)心的側(cè)面水平應(yīng)力和土體表面沉降計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，如圖4所示?？梢钥闯觯瑑煞N方法的計(jì)算結(jié)果高度一致，接觸側(cè)面的水平應(yīng)力值僅在邊角處存在少許差異，土體表面位移的最大誤差也僅為0.1%，說明兩種計(jì)算方法都是可行的，但相對(duì)于側(cè)重具體問題分析的數(shù)值模擬方法，側(cè)重理論計(jì)算的迭代方法不僅計(jì)算速度更快，而且更具普遍意義，還可推廣應(yīng)用于其他存在耦合邊界條件的偏微分方程數(shù)值求解中。

圖4 迭代法與數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果對(duì)比

Fig.4 Calculation results comparison of iterative method and numerical simulation

如圖4(a)所示，在接觸側(cè)面上，由荷載引起的水平應(yīng)力并非線性分布，而是呈倒S型分布，隨著深度的增加，水平應(yīng)力先增加，后減小，再增加，中間階段的遞減趨勢(shì)主要是由于摩擦力抵消了一部分荷載。

如圖4(b)所示，受兩側(cè)摩擦力影響，土體表面位移也不均勻，中間沉降較大，兩側(cè)沉降較小，即變形后土體表面呈凹陷狀。

5 結(jié) 論

(1) 即便對(duì)側(cè)限壓縮模型問題進(jìn)行簡化，由于其摩擦邊界條件存在變量耦合的約束條件，在解析求解時(shí)仍存在一定的困難，而采用函數(shù)迭代方法是一個(gè)可行的思路。

(2) 總體而言，迭代方法收斂速度較快，且計(jì)算過程較為穩(wěn)定，與ABAQUS的數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致性較高。此外，該方法對(duì)其他存在變量耦合邊界條件的偏微分方程的數(shù)值求解有一定的借鑒價(jià)值。

(3) 計(jì)算結(jié)果表明，由荷載引起的水平應(yīng)力和土體表面位移均呈現(xiàn)非線性分布，在實(shí)際工程計(jì)算時(shí)應(yīng)給予充分考慮。

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