文 / 王耀楊（北京大學(xué)附屬中學(xué)）

答案就在數(shù)學(xué)書里

10年前，當(dāng)我以一位化學(xué)專業(yè)出身、有著3年高中化學(xué)教齡的教師身份開始攻讀數(shù)學(xué)史專業(yè)的碩士研究生時(shí)，我對(duì)自己“學(xué)困生”的身份深信不疑，并做好了多次重修某些數(shù)學(xué)專業(yè)課才能畢業(yè)的心理準(zhǔn)備。這時(shí)，一位同學(xué)幫助了我。他的幫助非常切實(shí)：一道不論多么簡(jiǎn)單的習(xí)題，先明確其核心概念，然后找到教材中對(duì)于此概念的界定與相關(guān)解釋，最終將這些核心概念串聯(lián)起來(lái)以形成完整清晰的說(shuō)理過(guò)程。

那一陣子，我經(jīng)常有恍然大悟的感覺，雖然維持不久就又陷入新的迷惑之中。最終的結(jié)果可謂公平：我并沒有一躍成為優(yōu)等生，但總算成功達(dá)到了各科老師的基本要求而得以避免重修。

回想起來(lái)，這段經(jīng)歷對(duì)于我的教師生涯來(lái)說(shuō)，最大的價(jià)值在于它迫使我不斷思考：一位學(xué)業(yè)水平不那么出色的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，最需要什么樣的幫助？我的答案是安全感。作為一個(gè)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)習(xí)者，我需要有人不斷提醒我“這個(gè)概念的正確含義是什么”，不斷指點(diǎn)我“這個(gè)過(guò)程應(yīng)該這樣書寫才合理”，甚至要告訴我“這個(gè)符號(hào)應(yīng)該這么寫”……但是誰(shuí)有這么高的水平還能這么清閑，甚至全天候地為我一個(gè)人答疑解惑？

很簡(jiǎn)單，就是數(shù)學(xué)書！有些難度較大的課，任課教師甚至?xí)ｉT指定一本書作為參考讀本，因?yàn)樵诫y的東西越需要專心來(lái)“啃”。對(duì)于我來(lái)說(shuō)，這本書簡(jiǎn)直就是萬(wàn)能的，有什么不懂的地方都可以向它求助，一遍讀不懂就多讀幾遍；更重要的是，得到它的幫助后我通常還會(huì)收獲一種“學(xué)困生”特別需要的東西——成就感。

這種成就感很好地支撐著我直到今天對(duì)數(shù)學(xué)仍然保持狂熱的激情，我如饑似渴地閱讀各種數(shù)學(xué)主題，哪怕它只是一個(gè)有趣但是相對(duì)零散的問(wèn)題，或者是一種純理論的整合與重寫……重要的是，我能夠從“自己努力讀懂一些”這個(gè)過(guò)程中建立無(wú)與倫比的滿足感，而且我相信，在過(guò)去的若干年時(shí)間中，我的學(xué)生們也很好地感受到了這種滿足感。

幫助學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀教材

腦科學(xué)早有研究：閱讀不是人腦任意單一區(qū)域的功能，而是必須通過(guò)多區(qū)域合作才能實(shí)現(xiàn)的功能。這在很大程度上意味著閱讀本質(zhì)上是后天的習(xí)得性技能，需要“學(xué)而知之”。作為教師，我認(rèn)為自己有義務(wù)做好常規(guī)數(shù)學(xué)課堂中的閱讀方法指導(dǎo)。

常規(guī)課堂中，最核心的精密文本就是人手一本的數(shù)學(xué)教材，而我的一項(xiàng)主要教學(xué)任務(wù)，就是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)讀這本書。實(shí)際上，教材是一份相當(dāng)不錯(cuò)的閱讀文本！

此外，幫助學(xué)習(xí)者掌握讀教材的技能還有一項(xiàng)好處——建立自信心！對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，有教材可以參照，無(wú)論是遇到概念模糊、方法或原理的遺忘，乃至種種書寫細(xì)節(jié)要求的問(wèn)題，都有最可靠的信息參照源。

在教學(xué)實(shí)踐中我發(fā)現(xiàn)，一些原本對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自我感覺不佳的學(xué)生，經(jīng)過(guò)兩到三次查閱教材解答疑惑的體驗(yàn)之后，便迅速建立起“原來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)并沒什么神秘啊”的感覺。而那些基礎(chǔ)相對(duì)較好的學(xué)生，一旦發(fā)現(xiàn)“原來(lái)可以自己讀書學(xué)數(shù)學(xué)”后，便會(huì)迅速轉(zhuǎn)向自主閱讀，并根據(jù)個(gè)人的趣味和需求選擇合適的參考書。

相信很多初中數(shù)學(xué)教師都會(huì)有類似體會(huì)：新初一開篇的有理數(shù)章的教學(xué)，無(wú)論是就設(shè)計(jì)還是實(shí)施而言，都是越來(lái)越困難了。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，在進(jìn)行有理數(shù)章教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，一項(xiàng)很重要的考慮就是幫助學(xué)生調(diào)整心態(tài)，讓他們意識(shí)到需要投入體驗(yàn)的東西還有很多。下面是我的一些嘗試。

圖片中呈現(xiàn)了人教版七年級(jí)（上）教材第17頁(yè)的部分內(nèi)容。篇幅不大，但是包含非常豐富的信息。我曾請(qǐng)學(xué)生一起閱讀并描述自己看到的東西，結(jié)果令人驚喜。以下是學(xué)生發(fā)言的概括整理：

① 如果用有理數(shù)表示運(yùn)動(dòng)，那么連續(xù)運(yùn)動(dòng)就可以表示成有理數(shù)加法，加法結(jié)果就是連續(xù)運(yùn)動(dòng)的總體效果（即多次運(yùn)動(dòng)的效果等同于一次運(yùn)動(dòng)）；這種加法可以不限于兩次。

② 有理數(shù)加法的規(guī)律可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)的具體實(shí)例歸納出來(lái)，結(jié)果是自然的。

③ 從運(yùn)動(dòng)角度來(lái)理解，驗(yàn)證了加法有交換律。

④ 有學(xué)生質(zhì)疑說(shuō)“有理數(shù)不是表示數(shù)軸上的點(diǎn)嗎”，立即有學(xué)生提示說(shuō)教材前文（同版教材第16頁(yè)中部正文“一個(gè)物體作左右方向的運(yùn)動(dòng)，我們規(guī)定向左為負(fù)，向右為正，向右運(yùn)動(dòng)5m記作5m，向左運(yùn)動(dòng)5m記作-5m”）有說(shuō)明。進(jìn)而有人提出“表示為數(shù)軸上的點(diǎn)”實(shí)際上是“表示為數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)”的特例，以為前者可以看成是從原點(diǎn)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)結(jié)果。

⑤ “云朵”中的話指出：算式也可以直觀呈現(xiàn)為動(dòng)點(diǎn)。

⑥ 有學(xué)生很敏銳地發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)文本中的“句號(hào)”是一個(gè)點(diǎn)，這與語(yǔ)文書中常見的形式是完全不同的！通過(guò)翻查與對(duì)照，學(xué)生很快確認(rèn)了這一書寫規(guī)則。很快又有人指出：數(shù)學(xué)中表達(dá)式的寫法是：先將正文另起一行，然后在下一行中間寫表達(dá)式，該行最右端標(biāo)記編號(hào)；這一規(guī)則也在教材中其他地方得到了驗(yàn)證。

從我提出問(wèn)題“請(qǐng)大家談?wù)勛约洪喿x這段文字后想到的東西”到討論結(jié)束，足足經(jīng)過(guò)了20分鐘！但是很值得，因?yàn)閷W(xué)生把需要思考清楚的事情都在頭腦中整理了一遍。我備課時(shí)預(yù)想的結(jié)論是①～⑤這幾條，原本以為學(xué)生考慮不周，就自己補(bǔ)充提出問(wèn)題，但是整個(gè)過(guò)程中孩子們很積極，讀書細(xì)心的孩子甚至主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并提出了我原本沒有想到的結(jié)論⑥，最后所有學(xué)生還一起翻查教材來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。這節(jié)課后，同學(xué)們對(duì)于“數(shù)學(xué)文本的書寫有明確的格式規(guī)范”這件事留下了深刻印象。

文本的閱讀能力本質(zhì)上是習(xí)得性的技能，既然如此，學(xué)生由于以往經(jīng)歷和體驗(yàn)的側(cè)重方式不同，未必都能快速找到自主閱讀和思考的感覺。在這樣的前提下，教師適當(dāng)多提供一些引領(lǐng)和示范，并不簡(jiǎn)單等同于“全盤灌輸”。

我們無(wú)須諱言“手把手地教”這樣的教學(xué)方式，最關(guān)鍵的是要做到對(duì)文本內(nèi)容的通盤把握，不論學(xué)生提出何種有價(jià)值的思考和疑問(wèn)，我們都需通過(guò)精心的準(zhǔn)備再盡量給予應(yīng)有的回應(yīng)和指點(diǎn)。這才是使每個(gè)學(xué)生閱讀有所提高的保障。

布置一份假期閱讀“作業(yè)”

課外閱讀如何延伸？比如假期，指定幾本書的某些相關(guān)章節(jié)作為閱讀任務(wù)，學(xué)生可以從幾項(xiàng)任務(wù)中選擇一項(xiàng)作為自己的“必做項(xiàng)”閱讀作業(yè)，還可以從這幾本書中選取其他章節(jié)或者索性自己選一本書作為“選作項(xiàng)”閱讀作業(yè)。

對(duì)于閱讀作業(yè)，我會(huì)提供明確的完成要求，也是分成幾個(gè)方向和層次的要求供學(xué)生選擇。對(duì)于學(xué)生而言，這些要求大部分本就是常規(guī)課堂中已明確的，不過(guò)是根據(jù)自己假期的總體安排而選擇具體的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)操作而已。

在最新版的人教版數(shù)學(xué)教材中，首次出現(xiàn)的幾何章節(jié)是第4章《幾何圖形初步》。它既要為整個(gè)中學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容打開一扇窗，又要為凸顯初中階段強(qiáng)調(diào)說(shuō)理的要求做一個(gè)強(qiáng)有力的開場(chǎng)白。

我在假期作業(yè)中布置了一份“自主閱讀＋動(dòng)手探索”的作業(yè)，請(qǐng)學(xué)生閱讀書籍《發(fā)展空間想象力》（劉培杰數(shù)學(xué)工作室組織編譯，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社）。這是一本包含極多立體幾何趣味問(wèn)題的書，我的作業(yè)是請(qǐng)學(xué)生從中選擇一個(gè)感興趣的問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手制作模型把道理研究清楚，以閱讀報(bào)告的方式提交自己的研究成果。下面介紹一個(gè)女孩子提交的研究報(bào)告。

她選擇了《發(fā)展空間想象力》第一部分的第119題，原問(wèn)題如下：

按照她的說(shuō)法，一看到這個(gè)問(wèn)題就覺得很有趣，但又不得要領(lǐng)，不知從何入手。不過(guò)，當(dāng)她用硬紙片和圖釘親手制作了一個(gè)模型之后，很快找到了訣竅：原來(lái)這只是“三角形穩(wěn)定性”的一個(gè)類比推廣。想明白道理之后，她發(fā)現(xiàn)要解決題目中的10個(gè)小問(wèn)題原來(lái)花不了多少時(shí)間，因?yàn)樽铍y的就是第一步！而邁進(jìn)這一步的訣竅，就是親手制作，在實(shí)際操作中感受和理解。

如何推薦數(shù)學(xué)閱讀文本

以下原則是需要教師認(rèn)真考量的：

1.被推薦的學(xué)習(xí)者對(duì)于精密數(shù)學(xué)文本的閱讀已具有何種水平？

2.對(duì)于被推薦的學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，該書所要求的預(yù)備知識(shí)是否到位？

3.對(duì)于被推薦的學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，貫穿全書的價(jià)值觀念是否為其所認(rèn)同或希望認(rèn)同？

最理想的情況是：教師引領(lǐng)學(xué)生掌握閱讀特別是品鑒精密文本的能力，學(xué)生自己到大型圖書館或類似平臺(tái)根據(jù)個(gè)人趣味自主挑選讀本。

在我個(gè)人的實(shí)踐中，一般會(huì)建議小學(xué)六年級(jí)畢業(yè)生嘗試閱讀一些入門級(jí)讀物，其中最常推薦的是湖南科學(xué)技術(shù)出版社的《數(shù)學(xué)圈》，作者H. W. Eves是著名的數(shù)學(xué)史家，各種典故趣聞信手拈來(lái)，妙語(yǔ)點(diǎn)評(píng)隨處可見，即使對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備有限的讀者，也仍然是一種激發(fā)興趣的優(yōu)秀讀本。

適合于初中生的代表讀物包括人民郵電出版社的《勾股定理：悠悠4000年的故事》和《三角之美：邊邊角角的趣事》。我本人最樂(lè)于推薦的則是上?？萍冀逃霭嫔绲摹?的平方根：關(guān)于一個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)列的對(duì)話》。該書模擬一位循循善誘的教師與一個(gè)充滿好奇心和熱情的學(xué)生之間的對(duì)話，展開了對(duì)根號(hào)2這個(gè)無(wú)理數(shù)的一系列研究，既有數(shù)值嘗試、提出猜想和舉例否定的種種探索過(guò)程，也有逐步形式化直至完整說(shuō)理的清晰論證，是一本“授人以漁”之書。

一般人認(rèn)為，“閱讀”是語(yǔ)文的事，與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)不大，但在我看來(lái)，閱讀是最好的學(xué)科教養(yǎng)，數(shù)學(xué)也同樣如此。