鄧憶瑞,李 寧,楊艷麗,楊印生

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,山東青島266580;2.火箭軍工程大學(xué)控制工程系,陜西西安710025;3.吉林大學(xué)生物與農(nóng)業(yè)工程學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130021)

1 引 言

自Charnes等[1]提出數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(data envelopment analysis,DEA)以來,該方法已經(jīng)成為測(cè)算多輸入,多輸出同類決策單元(decision making unit,DMU)的相對(duì)效率的有效工具.DEA模型的模型構(gòu)建中分別采用了規(guī)模收益不變(constant return to scale,CRS)和規(guī)模收益可變(variable return to scale,VRS)兩種形式.鑒于DEA方法應(yīng)用的有效性及廣泛性,普遍得到各國(guó)學(xué)者的追捧.迄今,DEA方法在理論和應(yīng)用方面均得到迅速發(fā)展.

傳統(tǒng)的DEA模型中,往往忽略決策單元的內(nèi)部結(jié)構(gòu),將其視為“黑箱”[2,3].近年來,學(xué)者們開始試圖打開“黑箱”對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行分解,在研究系統(tǒng)整體效率的基礎(chǔ)上,從多階段子系統(tǒng)的角度進(jìn)行效率測(cè)算,具有代表性的研究有Zhu[4]研究全球500強(qiáng)企業(yè)績(jī)效時(shí)考慮到前后關(guān)聯(lián)的多重指標(biāo)因素;Sexton等[5]對(duì)兩階段系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行了分解,并應(yīng)用于棒球隊(duì)績(jī)效測(cè)算中;Chilingerian等[6]考慮到公共醫(yī)療服務(wù)績(jī)效測(cè)算時(shí)采用八個(gè)階段進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析;楊俊等[7]研究中國(guó)環(huán)境治理時(shí),考慮到三個(gè)階段的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)問題.以上具有代表性的多階段DEA模型與方法,均是通過不同權(quán)值構(gòu)建系統(tǒng)整體效率與各子系統(tǒng)效率的關(guān)系.從子系統(tǒng)效率與整體效率的權(quán)值設(shè)定中,多階段效率測(cè)算DEA模型一般采用各個(gè)階段效率的乘法組合確定加性模型的整體效率,如Kao等[8]采用兩階段對(duì)應(yīng)模型的乘積,而Chen等[9]、Wang等[10]采用兩階段效率的線性組合.以上提到的多階段DEA模型均來源于相同單目標(biāo)規(guī)劃加性DEA模型,而產(chǎn)生不同的線性規(guī)劃模型形式的原因在于對(duì)于整體效率的組合方式不同.上述提及的多階段模型構(gòu)建均是線性規(guī)劃模型形式,然而伴隨多階段模型復(fù)雜性的增加,需要從更多的視角構(gòu)建系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的效率目標(biāo),因此多目標(biāo)評(píng)價(jià)應(yīng)運(yùn)而生,具有代表性的有徐小峰等[11]根據(jù)項(xiàng)目資源進(jìn)度利用多目標(biāo)規(guī)劃對(duì)項(xiàng)目預(yù)警控制問題進(jìn)行了模型構(gòu)建;馬生昀等[12]利用多目標(biāo)規(guī)劃給出了Parteo前沿面移動(dòng)的排序問題,以上對(duì)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解中均考慮了前一個(gè)階段的產(chǎn)出向量對(duì)應(yīng)于后一個(gè)階段的投入向量的結(jié)構(gòu)特征.

單目標(biāo)規(guī)劃模型形式受限于細(xì)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的多重目標(biāo)約束.為了突破單目標(biāo)規(guī)劃模型的限制,本文將在Joro等[13]對(duì)多目標(biāo)規(guī)劃研究的基礎(chǔ)上,創(chuàng)新性的提出一種多階段DEA模型,并證明該模型與其對(duì)偶模型之間的相互等價(jià)關(guān)系.該模型既可應(yīng)用于CRS模型形式,又可應(yīng)用于VRS模型形式.鑒于多目標(biāo)線性規(guī)劃(multiple objective linear programming,MOLP)模型與DEA模型具有非常接近的模型形式且都能評(píng)價(jià)效率,因此,可將多階段DEA模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的MOLP形式,通過設(shè)定方向距離函數(shù)進(jìn)行效率測(cè)量[14?18].故而本文提出的多階段DEA模型可等價(jià)為MOLP模型,并可通過設(shè)定適當(dāng)?shù)姆较蚓嚯x函數(shù)獲得求解.

2 多階段規(guī)模收益不變(CRS)DEA模型

2.1 兩階段DEA模型介紹

兩階段決策過程中,前一階段的產(chǎn)出對(duì)應(yīng)于后一階段的投入,且兩個(gè)階段之間沒有向量損失,決策單元內(nèi)部子系統(tǒng)之間的鏈接關(guān)系如圖1所示.

圖1 兩階段投入–產(chǎn)出過程Fig.1 Two stage DEA process

假設(shè)有n個(gè)決策單元(DMU),其中DMUj,j=1,2,...,n在第一階段有m個(gè)投入xi,j,i=1,2,...,m 和p個(gè)產(chǎn)出yd,j,d=1,2,...,p.這p個(gè)產(chǎn)出然后成為第二階段的獨(dú)立的投入,yd,j也被稱為中間測(cè)度.第二階段的產(chǎn)出是zr,j,r=1,2,...,s.令矩陣分別表示系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的投入測(cè)度、中間測(cè)度和產(chǎn)出測(cè)度.向量xj,yj,zj(X,Y,Z 的第j列)分別表示第j個(gè)決策單元對(duì)應(yīng)的投入列向量,中間列向量和產(chǎn)出列向量.

對(duì)決策單元DMUj0,1≤j0≤n,第一階段效率用表示,第二階段效率用表示.為書寫方便,記x0=xj0,y0=yj0,z0=zj0.根據(jù)Charnes等[1]提出的CRS情形下的CCR模型,將各階段的效率定義為其中為非負(fù)權(quán)重列向量.為聯(lián)合測(cè)度,中間測(cè)度權(quán)重u1和u2被設(shè)定為相等.根據(jù)以上對(duì)各階段子系統(tǒng)的定義,決策單元DMU0整體效率(θ0)可通過各階段效率的組合進(jìn)行測(cè)算.Kao等[8]定義整體效率為兩階段獨(dú)立效率的乘積,即并提出一種在CRS情形下的兩階段DEA乘數(shù)模型.Wang等[10]在Kao的模型框架下,對(duì)VRS情形進(jìn)行拓展研究,該模型的第一階段的效率利用投入導(dǎo)向型的DEA效率模型計(jì)算,第二階段的效率利用產(chǎn)出導(dǎo)向型的DEA效率模型進(jìn)行計(jì)算.Chen等[9]提出了一種加權(quán)平均效率組合方法,并在CRS和VRS兩個(gè)條件下分別提出了整體效率的計(jì)算模型.

2.2 標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型

Joro等[13]將DEA和MOLP兩方面的研究進(jìn)行結(jié)合,提出一種組合DEA模型來度量決策單元的效率.傳統(tǒng)DEA模型的目標(biāo)函數(shù)僅僅基于投入和產(chǎn)出其中的一種,而組合DEA模型將投入測(cè)度和產(chǎn)出測(cè)度同時(shí)包含在目標(biāo)函數(shù)中.Joro等[13]提出的標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型為

模型(1)等價(jià)于線性規(guī)劃模型(2)

注意模型(2)的最優(yōu)解范圍為[0,1],當(dāng)最優(yōu)解為最小值0時(shí),表明該決策單元是有效的,意味著該決策單元的投入與產(chǎn)出指標(biāo)均落在效率前沿面上.模型(2)的對(duì)偶規(guī)劃形式如下所示.

其中λ是構(gòu)建“最佳”虛擬DMU的系數(shù).模型(3)限定條件中的第一個(gè)和第二個(gè)不等式約束將在“最佳”虛擬DMU的投入產(chǎn)出測(cè)度的優(yōu)化問題上設(shè)置上下邊界.利用Joro等[13]提出的參考方向方法,可將模型(3)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)過程中的MOLP模型.令T代表當(dāng)前生產(chǎn)過程所有技術(shù)可行的投入–產(chǎn)出組合

那么MOLP模型的方向性距離函數(shù)可以表示為

其中g(shù)=(gx,gy)表示方向向量,它測(cè)度觀測(cè)的投入產(chǎn)出組合與效率前沿面的距離.當(dāng)方向向量(gx,gy)=(x0,y0)時(shí),模型(4)與模型(2)等價(jià).

2.3 兩階段組合DEA:基礎(chǔ)模型

建立兩階段生產(chǎn)評(píng)價(jià)過程的DEA模型.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型(1),定義DMU0各階段的效率值為

與Chen等[9]對(duì)兩階段模型的組合設(shè)定類似,定義兩階段的整體效率(θ0)為兩階段效率θ10與θ20的加權(quán)平均,那么兩階段組合DEA模型可以表示為

模型(5)中,ω1,ω2是計(jì)算整體效率時(shí)兩個(gè)階段對(duì)應(yīng)的權(quán)重,滿足ω1+ω2=1,該權(quán)重表示兩個(gè)子系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)整體效率的相對(duì)重要性或貢獻(xiàn)率.利用子系統(tǒng)投入產(chǎn)出之和占總系統(tǒng)投入產(chǎn)出之和的比重作為子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的權(quán)重比較客觀,且能全面地反映子系統(tǒng)指標(biāo)的重要程度,因此,本文選擇子系統(tǒng)權(quán)重時(shí),將其設(shè)定為

使用以上權(quán)重設(shè)定,兩階段的整體效率可以表示為

應(yīng)用Charnes-Cooper變換[1],令vTx0+2uTy0+wTz0=1,模型(5)被轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃模型(6).

2.4 兩階段組合DEA:對(duì)偶模型

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型的對(duì)偶模型(3),假設(shè)中間測(cè)度y0和?y0在兩階段間是相等的,兩階段子系統(tǒng)的對(duì)偶模型為

其中 1=(1,1,...,1)T∈Rn.

則以上兩個(gè)DEA對(duì)偶模型可以合并為模型(7)

模型(7)中,第二和第三個(gè)不等式約束可以推導(dǎo)出Y(λ1?λ2)≥2θy0,則模型(7)可以推廣為模型(8)

值得注意的是,模型(8)是模型(7)的必要但非充分模型,即凡是滿足模型(7),必定滿足模型(8).換句話說,模型(8)可以看成模型(7)的推廣.模型(8)可以用以下包絡(luò)形式解釋:假設(shè)有兩階段過程(如圖1),模型(6)找到了最優(yōu)的“虛擬”兩階段決策單元,該“虛擬”單元對(duì)應(yīng)的第一和第二階段過程是所有決策單元的第一和第二階段過程的線性組合.模型(8)中第一個(gè)不等式約束為“虛擬”決策單元第一階段的投入(x)設(shè)置了上限；第二個(gè)不等式約束為兩階段中間測(cè)度的轉(zhuǎn)移成本(y)設(shè)置了下限；第三個(gè)不等式約束為第二階段的輸出(z)設(shè)置下限.模型(8)本質(zhì)上是基礎(chǔ)模型(6)的對(duì)偶模型,有下列結(jié)論.

定理1模型(8)是模型(6)對(duì)應(yīng)的對(duì)偶規(guī)劃.

證明利用拉格朗日乘數(shù)法證明該定理.構(gòu)造原始模型(6)的拉格朗日函數(shù)為

其中λ1,j,λ2,j是第一個(gè)和第二個(gè)不等式約束的非負(fù)乘數(shù),θ是等式約束的乘數(shù),η1,η2,η3是非負(fù)權(quán)重約束的非負(fù)向量乘數(shù).

取L分別對(duì)u,v,w的偏導(dǎo)數(shù)

消去η1,η2,η3后,方程(10)可以轉(zhuǎn)化為如下方程

令 λ1=(λ1,1,λ1,2,...,λ1,n)T,λ2=(λ2,1,λ2,2,...,λ2,n)T.方程(11)轉(zhuǎn)化為

用方程(12)的向量表達(dá)形式替代方程(11)得

2.5 與多目標(biāo)線性規(guī)劃模型的關(guān)系

與標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型相似,多階段DEA模型同樣可以利用參考方向函數(shù),轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)過程中的多階段MOLP模型.令T1,T2分別表示第一和第二階段技術(shù)可行的投入–產(chǎn)出組合

MOLP模型中的多階段方向性距離函數(shù)可以表示為

其中g(shù)=(gx,gy,gz)為測(cè)度向量,它測(cè)度觀測(cè)到的投入產(chǎn)出組合與效率前沿面的距離.當(dāng)方向向量(gx,gy,gz)=(x0,y0,z0)時(shí),模型(13)與模型(6)等價(jià).

3 多階段規(guī)模收益可變(VRS)DEA模型

標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型(1)是基于規(guī)模報(bào)酬不變(CRS)的假設(shè)下構(gòu)建的模型,下面將討論基于規(guī)模報(bào)酬可變(VRS)假設(shè)條件下的DEA模型.

3.1 VRS基本模型

模型(14)為VRS假設(shè)下擴(kuò)展的標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型,其中引入自由變量α.

基于模型(14),VRS假設(shè)下的兩階段組合DEA模型可以表示為

與模型(5)的推導(dǎo)類似,設(shè)定假設(shè)下的兩階段的整體效率θ0可以表示為

則模型(15)可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為模型(16).

3.2 VRS對(duì)偶模型

標(biāo)準(zhǔn)組合VRS模型(14)的對(duì)偶模型如下

與CRS假設(shè)下兩階段組合DEA模型的對(duì)偶模型(8)推導(dǎo)相似,VRS假設(shè)下兩階段組合DEA模型的對(duì)偶模型為

兩階段組合VRS模型的對(duì)偶模型(18)與兩階段組合CRS模型的對(duì)偶模型(8)的區(qū)別在于VRS模型的對(duì)偶模型規(guī)定了兩個(gè)額外的約束條件:1Tλ1=1和1Tλ2=1.與CRS模型相同之處在于,VRS模型中可以證明模型(18)是模型(16)的對(duì)偶模型.

定理2模型(18)是模型(16)的對(duì)偶規(guī)劃.

證明利用拉格朗日乘數(shù)法證明該定理.原始模型(16)的拉格朗日函數(shù)如下

其中λ1,j,λ2,j是第一個(gè)和第二個(gè)不等式約束的非負(fù)乘數(shù),θ是等式約束的乘數(shù),η1,η2,η3是非負(fù)權(quán)重約束的非負(fù)向量乘數(shù).

取L分別對(duì)u,v,w,α1,α2的偏導(dǎo)數(shù)

消去η1,η2,η3后,上面的方程可以轉(zhuǎn)化為下列方程

令 λ1=(λ1,1,λ1,2...,λ1,n)T,λ2=(λ2,1,λ2,2,...,λ2,n)T,方程(21)轉(zhuǎn)化為

用方程(22)的向量表達(dá)形式替代方程(21)得

證畢.

VRS模型(18)同樣可以利用參考方向函數(shù),轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)過程中規(guī)模報(bào)酬可變的MOLP模型.

3.3 效率分解和前沿投影

前文已介紹并討論了兩階段組合DEA基本模型及其對(duì)偶模型與對(duì)應(yīng)MOLP模型之間的關(guān)系.鑒于本文提出的兩種組合模型與對(duì)偶模型之間的等價(jià)關(guān)系,即模型(6)與其對(duì)偶模型(8),模型(16)與其對(duì)偶模型(18),兩種模型在整體效率測(cè)算結(jié)果上具有一致性,但兩者卻分別在CRS與VRS兩方面揭示了決策單元的效率狀況.基本模型(6)及模型(16)提供了一種將整體效率分解為兩個(gè)子系統(tǒng)效率的方法,而對(duì)偶模型(8)及模型(18)則為在第一階段或第二階段無效的決策單元確定出了該對(duì)應(yīng)決策單元在效率前沿面上的投影.

3.3.1 效率分解

兩階段組合DEA基本模型提供了一種測(cè)算子系統(tǒng)效率值及各階段對(duì)應(yīng)權(quán)重的方法.在獲得模型(5)的最優(yōu)解后,便可以計(jì)算兩個(gè)階段對(duì)應(yīng)的效率值及分別對(duì)應(yīng)的權(quán)重.然而,模型(5)可能會(huì)出現(xiàn)多個(gè)最優(yōu)解,因此,由模型(5)定義的整體效率分解可能不唯一.本文遵循文獻(xiàn)[8,10]的方法找到一組乘數(shù),使得第一(或第二)階段對(duì)應(yīng)的效率值最小,同時(shí)保持整體效率不變.如果將第一階段設(shè)置為優(yōu)先階段,可以在保持模型(5)整體效率(θ0)不變的情況下使第一階段的效率值最小,如模型(5)所示

經(jīng)過C-C變換,將模型(25)轉(zhuǎn)化為線性模型

此時(shí),根據(jù)第一階段計(jì)算的結(jié)果,可以計(jì)算第二階段的效率值同樣,如果將第二階段設(shè)置為優(yōu)先階段

可以計(jì)算第一階段效率值,與上述過程類似.此時(shí),第一階段的效率為

根據(jù)以上對(duì)CRS條件下兩階段DEA模型進(jìn)行效率分解的框架,推導(dǎo)VRS條件下的兩階段DEA模型分別在第一階段優(yōu)先和第二階段優(yōu)先兩種情況下的整體效率分解模型(25)和模型(26).一旦計(jì)算出優(yōu)先階段的效率值,便可利用與CRS相同的計(jì)算公式計(jì)算另外一個(gè)階段的效率值.

3.3.2 前沿投影

解對(duì)偶規(guī)劃模型,如CRS條件下的模型(8)和VRS條件下的模型(18),可以獲得模型對(duì)應(yīng)的組合系數(shù)(λ1,λ2).利用該系數(shù),可以獲得決策單元的投入產(chǎn)出向量到效率前沿面的投影.對(duì)比現(xiàn)有決策單元的投入-產(chǎn)出指標(biāo)與效率前沿面的投影,可以得知決策單元各個(gè)指標(biāo)應(yīng)該如何進(jìn)行有效的改進(jìn)從而達(dá)到最優(yōu).傳統(tǒng)的DEA模型中,將投影分為投入導(dǎo)向型或者產(chǎn)出導(dǎo)向型兩種,即進(jìn)行前沿面投影時(shí)僅能改變一方面(投入或者產(chǎn)出)的指標(biāo)數(shù)據(jù).當(dāng)DEA模型拓展為兩階段DEA模型時(shí),決策單元投影到有效前沿面的指標(biāo)已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)?x,y)或(y,z).因此利用本文提出的標(biāo)準(zhǔn)組合DEA模型可以同時(shí)調(diào)整投入和產(chǎn)出指標(biāo),以確定決策單元在有效前沿面上的投影.該兩階段組合DEA模型可將第一階段的投入向量(X)和第二階段的產(chǎn)出向量(Z)投影到有效前沿面上:x0→Xλ1,z0→Zλ2.該投影過程可以為決策者們?nèi)绾瓮瑫r(shí)減少投入并增加產(chǎn)出提供改進(jìn)信息,從而最終確定決策單元達(dá)到有效.

4 算例分析

以文獻(xiàn)[8–10]研究的24個(gè)臺(tái)灣非人壽保險(xiǎn)公司的數(shù)據(jù)為樣本,應(yīng)用組合兩階段DEA模型對(duì)其進(jìn)行研究.兩個(gè)決策階段分別為溢價(jià)收購?fù)度腚A段和利潤(rùn)產(chǎn)生回收階段,第一階段的投入有操作費(fèi)用和保險(xiǎn)費(fèi)用,第二階段的產(chǎn)出有承銷利潤(rùn)和投資利潤(rùn).兩階段之間有兩個(gè)中間測(cè)度,即直接承保保費(fèi)和再保險(xiǎn)保費(fèi),原始數(shù)據(jù)參見表1,規(guī)模收益不變條件下的組合兩階段DEA基礎(chǔ)模型(8)的結(jié)果見表2.

表2中ω1和ω2兩列代表優(yōu)化權(quán)重,列表示整體效率值,而兩列分別表示基于第一階段優(yōu)先和基于第二階段優(yōu)先的各階段分解效率值.可以觀察到對(duì)不同優(yōu)先階段的決策單元,都存在數(shù)值相等情況,這說明本文建立的模型為整個(gè)數(shù)據(jù)集提供了一種獨(dú)特的效率分解.需要注意的是模型中的效率數(shù)值和意義相反,即值越小效率越高,值為0表明決策單元有效.

表2中最后3列表示效率排序,分別基于本文模型(8),Kao模型及Chen模型.可以看出本文模型結(jié)果和Chen等的計(jì)算結(jié)果相同.而提出的CRS模型和Kao等的CRS模型之間的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)為0.971.同時(shí),本文也計(jì)算了提出CRS模型效率值的負(fù)值和Kao,Chen等CRS模型計(jì)算值的相關(guān)系數(shù),分別為0.979和0.999,它們接近相關(guān)系數(shù)1,表明這三種規(guī)模收益不變的DEA模型產(chǎn)生的排序結(jié)果很相似.

表3列出了規(guī)模收益可變條件下的兩階段組合DEA模型(18)的結(jié)果.

與文獻(xiàn)[9,10]提出的規(guī)模收益可變模型進(jìn)行比較.對(duì)所有的決策單元都相等.同前人提出的VRS模型一樣,本文VRS模型也確定了DMU5和DMU22有效.相對(duì)于文獻(xiàn)[9,10]中的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)分別為0.986和0.990,模型效率值負(fù)值和文獻(xiàn)[8，9]中的VRS模型值的Pearson相關(guān)系數(shù)都是0.988.這表明這三種規(guī)模收益可變的DEA模型產(chǎn)生的排序結(jié)果很相似.最后,通過提出的兩階段組合DEA模型的對(duì)偶模型,測(cè)算決策單元的投入產(chǎn)出測(cè)度在有效前沿面上的的投影.

表4是通過CRS對(duì)偶模型(8)和VRS對(duì)偶模型(18)測(cè)算的投入產(chǎn)出測(cè)度(x,z)在最優(yōu)有效前沿面的投影(x′,z′).如果保持y0不變,用表4中投影的投入/產(chǎn)出測(cè)度替換模型(6)和模型(16)的x0和z0,每個(gè)投影決策單元的值都將為0,這表明投影的投入產(chǎn)出測(cè)度在效率前沿面上.在本文的VRS模型(18)中,DMU5和DMU22投影的投入產(chǎn)出測(cè)度與原始測(cè)度相同,表明VRS模型(16)下它們都有效.

表1 臺(tái)灣非人壽保險(xiǎn)公司原始數(shù)據(jù)Table 1 Taiwan non-life insurance company raw data

表2 規(guī)模收益不變的結(jié)果Table 2 CRS result

表3 規(guī)模收益可變的結(jié)果Table 3 VRS result

表4 組合CRS/VRS模型的有效前沿面上投入/產(chǎn)出投影Table 4 CRS/VRS DEA frontier input/output projection.

5 結(jié)束語

在實(shí)際應(yīng)用中,決策單元可能為多級(jí)結(jié)構(gòu),其中前一階段的產(chǎn)出是后一階段的投入.按照傳統(tǒng)DEA模型中要求每個(gè)獨(dú)立階段對(duì)應(yīng)DEA效率最優(yōu)的方法,無法解決多階段系統(tǒng)效率與整體效率均實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的矛盾.目前,已有研究提出的DEA模型是基于投入或者基于產(chǎn)出的模型.而本文提出的組合兩階段DEA模型,可以同時(shí)優(yōu)化投入和產(chǎn)出向量.即對(duì)每個(gè)DMU,組合兩階段DEA模型同時(shí)從投入和產(chǎn)出的角度提供改進(jìn)信息.

通過考查兩階段DEA模型,本文構(gòu)建了計(jì)算整體效率的基礎(chǔ)模型和對(duì)偶模型,其中模型(6)及模型(16)將整體效率分解為各階段的效率,而對(duì)偶模型(8)及模型(18)將第一和第二階段的投入產(chǎn)出測(cè)度投影到有效前沿面.該模型擴(kuò)展了Joro等[13]的多級(jí)DEA模型的研究,并將其適用于規(guī)模收益不變和規(guī)模收益可變的情形.通過構(gòu)建方向距離函數(shù),該兩階段DEA模型可利用多目標(biāo)線性規(guī)劃的理論框架進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋.

在應(yīng)用部分,分別基于規(guī)模收益不變(CRS)和規(guī)模收益可變(VRS)的假設(shè),將本文模型計(jì)算出的整體效率和各階段的分解效率結(jié)果與文獻(xiàn)[8–10]的模型測(cè)算結(jié)果進(jìn)行了比較.結(jié)果表明,本文得到的效率排序不僅與其他各模型相似,還能利用本文提出的規(guī)模收益不變和規(guī)模收益可變模型的對(duì)偶模型,進(jìn)一步提供有效前沿面上投影點(diǎn)的投入和產(chǎn)出方面的改進(jìn)測(cè)度.

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