常 瑞,趙 勇,胡二琴,饒從軍

(1.華中科技大學(xué)系統(tǒng)工程研究所,湖北武漢430074;2.華北水利水電大學(xué)電力學(xué)院,河南鄭州450045;3.武漢理工大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)

1 引 言

拍賣理論是現(xiàn)代經(jīng)濟領(lǐng)域中一個十分引人注目的分支[1?3],而關(guān)鍵詞拍賣已成為拍賣領(lǐng)域的重要組成部分.關(guān)鍵詞拍賣,又稱付費搜索拍賣、位置拍賣等,是搜索引擎運營商出售搜索結(jié)果頁面上的廣告位所采用的一種方式.近十幾年來,基于互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展起來的關(guān)鍵詞廣告給搜索引擎帶來了無限商機,是搜索引擎運營商的主要收益來源[4].當(dāng)用戶在搜索引擎的搜索框內(nèi)輸入某一關(guān)鍵詞時,搜索引擎生成一個結(jié)果頁面,該頁面由自然搜索結(jié)果區(qū)域和與該關(guān)鍵詞有關(guān)的廣告區(qū)域組成,并且廣告區(qū)域一般出現(xiàn)在自然搜索結(jié)果區(qū)域的上方或右側(cè).用戶點擊關(guān)鍵詞廣告鏈接即可進入廣告商的產(chǎn)品頁面并有可能完成交易,為廣告商帶來收益.運營商以拍賣的方式出售這些廣告位,并根據(jù)拍賣機制為廣告商的廣告分配位置以及確定其支付費用.

搜索結(jié)果頁面上展示的廣告數(shù)對運營商的收益有著很重要的影響.目前,主要的搜索引擎如Yahoo!和Google等均在搜索結(jié)果頁面上設(shè)置了有限個廣告位,甚至針對某些關(guān)鍵詞只設(shè)置一個廣告位[5].韓國最大的搜索引擎Naver從2010年開始根據(jù)不同的關(guān)鍵詞事前設(shè)置不同的廣告位數(shù),并且將其值在拍賣前向廣告商發(fā)布.與傳統(tǒng)關(guān)鍵詞拍賣研究中將廣告位數(shù)視為固定值不同,文獻[6,7,14]將廣告位數(shù)視作內(nèi)生變量,研究了運營商收益與廣告位數(shù)間的關(guān)系.Kamijo等[6]基于GSP機制(廣義第二價格機制)研究發(fā)現(xiàn)限制搜索結(jié)果頁面上的廣告位數(shù)可提高運營商的收益.Kim等[7]基于GSP機制探討了最優(yōu)廣告位數(shù)的事前設(shè)定方法.

另外,一些學(xué)者通過實證研究發(fā)現(xiàn):1)搜索用戶會被結(jié)果頁面上的某些廣告吸引而不去點擊其他廣告,這就是說運營商設(shè)置的廣告位數(shù)會影響廣告位的點擊率,即點擊率存在外部效應(yīng)[8];2)廣告位數(shù)也會影響廣告商的價值,即價值存在負外部效應(yīng)[9?11].關(guān)鍵詞拍賣中廣告商的價值是指單次點擊給廣告商帶來的平均價值,受售賣商品的單位利潤和轉(zhuǎn)化率兩種因素的影響[4].其中,轉(zhuǎn)化率主要是由網(wǎng)站的設(shè)計質(zhì)量、支付的便利程度和產(chǎn)品的吸引力決定的.由于針對同一個關(guān)鍵詞的廣告商常常提供相似的產(chǎn)品[12,13],所以,一同展示的其他廣告會影響某廣告產(chǎn)品的吸引力,這就意味著廣告商的價值受廣告位數(shù)的影響.目前,Kim等[7]已將點擊率的外部效應(yīng)引入到關(guān)鍵詞拍賣模型中,并指出當(dāng)新增廣告位對原有廣告位的點擊率有蠶食作用時,最優(yōu)廣告位數(shù)應(yīng)減少.Kanota等[14]也考慮了點擊率的外部效應(yīng),發(fā)現(xiàn)運營商可通過減少廣告位數(shù)增加收益.而對價值的負外部效應(yīng)的研究主要集中于考慮該效應(yīng)對廣告商競價策略的影響,并未涉及最優(yōu)廣告位數(shù).

關(guān)于最優(yōu)廣告位數(shù)的主要研究[6,7,14]均基于GSP機制,該機制也是目前關(guān)鍵詞拍賣中應(yīng)用最廣泛的機制.但是,“講真話”不是GSP機制的占優(yōu)策略,這給廣告商帶來了額外的報價策略管理成本,造成社會福利的損失,也給拍賣系統(tǒng)帶來了不穩(wěn)定[15,16].因此,在Myerson單物品機制設(shè)計理論[17]的基礎(chǔ)上,很多研究者致力于尋找激勵廣告商真實報價的最優(yōu)關(guān)鍵詞拍賣機制.例如,文獻[18–20]研究了不同的條件和環(huán)境下最優(yōu)關(guān)鍵詞拍賣機制的特征,并與GSP和VCG等機制進行了比較.但是這些研究均將廣告位數(shù)假設(shè)為外生變量.

綜上所述,目前關(guān)鍵詞拍賣中,機制設(shè)計理論主要應(yīng)用于設(shè)計最優(yōu)化運營商收益的真實機制,尚未用于最優(yōu)廣告位數(shù)的研究;而現(xiàn)有的關(guān)于最優(yōu)廣告位數(shù)的研究均基于GSP機制,廣告商不會按照其真實價值報價.并且,主要考慮了點擊率的外部效應(yīng),尚未關(guān)注價值的負外部效應(yīng)對最優(yōu)廣告位數(shù)的影響.然而,考慮價值存在負外部效應(yīng)時,廣告位數(shù)會影響廣告商的價值和報價,進而影響運營商的收益.因此,在最優(yōu)廣告位數(shù)的事前設(shè)置研究中引入價值的負外部效應(yīng)有很強的實際價值.鑒于此,本文將該效應(yīng)引入到關(guān)鍵詞拍賣模型中,在激勵廣告商真實報價前提下,以機制設(shè)計理論為基礎(chǔ)探討最優(yōu)廣告位數(shù)的事前設(shè)置策略.本文分別建立了廣告商價值獨立于廣告位數(shù)的基本模型和廣告商價值存在負外部效應(yīng)的擴展模型;其次,以最大化運營商收益為目標,研究了這兩個模型中廣告位數(shù)的事前設(shè)定方法,分析了考慮價值的負外部效應(yīng)對最優(yōu)廣告位數(shù)的影響;最后通過數(shù)理證明和仿真考察了競拍人數(shù)和點擊率對于最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益的影響,以期為運營商如何提高收益提供借鑒.

2 基本假設(shè)和相關(guān)定義

首先給出如下基本假設(shè):

1)運營商在拍賣前公布廣告位的數(shù)量為K,N個風(fēng)險中性的廣告商競爭,其中1≤K≤N,且每個廣告商只能得到不超過一個廣告位.L={1,2,...,N}表示廣告商集合,S={1,2,...,K}表示廣告位集合;

2)關(guān)鍵詞拍賣采用按點擊支付(pay for per-click,PPC)模式,即運營商按照點擊次數(shù)向廣告商收取費用,也就是說只有當(dāng)搜索用戶點擊了廣告鏈接,廣告商才需要付費.這里,廣告商的價值表示用戶的每次點擊為廣告商i∈L帶來的收益,它與該廣告商的廣告所處的位置無關(guān);用bi表示該廣告商對每次點擊的報價.假設(shè)廣告商價值為私人信息且獨立,并服從同一概率分布函數(shù)F,對應(yīng)的概率密度函數(shù)為f;

3)搜索結(jié)果頁面上某一廣告的點擊率等于廣告被點擊次數(shù)與顯示次數(shù)之比.假設(shè)點擊率只與廣告所處位置有關(guān),與廣告商(廣告)無關(guān),且不受廣告位數(shù)的影響.用θk表示廣告位k∈S獲得的點擊率,并按點擊率的大小給廣告位編號,使得θ1＞θ2＞···＞θK;

4)價值分布函數(shù)和點擊率為共同知識.廣告商的價值和報價向量分別為v=(v1,v2,...,vN)和b=(b1,b2,...,bN).v?i=(v1,v2,...,vi?1,vi+1,...,vN)表示除了i之外其他廣告商的價值向量,f?i(v?i)表示v?i的聯(lián)合概率密度函數(shù).令T?i=[0,ˉv]×[0,ˉv]×···×[0,ˉv]?RN?1表示除了i之外其他廣告商價值集合的積.

一個關(guān)鍵詞拍賣機制(P,M)由分配規(guī)則P和支付規(guī)則M 組成.Pik(b)表示報價向量為b時,廣告商i∈L得到第k∈S個廣告位的概率;Mik(b)表示報價向量為b時,獲得第k個廣告位的廣告商i向運營商提供的單次點擊支付.用(v?i,bi)表示其他競拍者真實披露自己的價值v?i,而廣告商i公布自己的報價為bi時的報價向量,此時,廣告商i獲得的期望點擊率為

而廣告商i的期望支付為

當(dāng)所有廣告商真實報價時,廣告商i的期望回報為

定義1若機制(P,M)滿足:

2)(激勵相容)在關(guān)鍵詞拍賣機制設(shè)計中,應(yīng)保證參與拍賣的廣告商i上報真實價值vi時的期望回報不小于謊報價值為bi時的期望收益,即viqi(vi)?mi(vi)≥viqi(bi)?mi(bi),i∈L;

3)(個體理性)在關(guān)鍵詞拍賣機制設(shè)計中,應(yīng)保證參與拍賣的廣告商i獲得非負的期望回報,即ui(vi)≥0,i∈L,則該機制為可行機制.

定義1的條件1)中的第一個不等式表示一個廣告商得到廣告位的概率非負;第二和第三個不等式意味著每個廣告商最多能得到一個廣告位以及每個廣告位最多能分配給一個廣告商.

根據(jù)定義1,得到一個可行機制應(yīng)滿足的具體條件.

定理1若一個關(guān)鍵詞拍賣機制(P,M)滿足下列條件:

1)mi(vi)= ?ui(0)+viqi(vi)?是t的非減函數(shù),i∈L,3)ui(0)≥0,i∈L,4)可行性約束,則該機制為可行機制.

證明過程與文獻[17]類似,本文不再詳述.

3 關(guān)鍵詞拍賣模型

3.1 價值獨立于廣告位數(shù)的基本模型

該模型中,假設(shè)搜索結(jié)果頁面上展示的廣告數(shù)對廣告商的價值沒有影響.若運營商使用可行機制(P,M),那么廣告商的報價等于其價值,即?i∈L,均有bi=vi.并且,廣告商的支付滿足定理1中的條件1).所以,廣告商i的事先期望支付為

其中表示廣告商i的虛擬價值,如果?(vi)是vi的增函數(shù),稱機制滿足正則性假設(shè).

運營商的事前期望收益為所有競拍者的期望支付之和,可得

由式(1)有mi(0)=?ui(0),根據(jù)激勵相容條件應(yīng)有ui(0)≥0,則mi(0)≤0.而關(guān)鍵詞拍賣中廣告商的期望支付不可能為負,于是mi(0)=0,因此ui(0)=0.

最優(yōu)機制設(shè)計中,運營商的目標是找到使其收益最大的可行機制(P,M),即

定義排序函數(shù)π:N+→ N+,對價值向量v=(v1,v2,...,vN)降序排列,則廣告商i的價值在所有的廣告商中排在第π(i)位.(v(1),v(2),...,v(N))為排序后的價值向量,有v(1)≥ v(2)≥ ···≥ v(N),其中 v(π(i))=vi.對應(yīng)的虛擬價值為 (?(v(1)),?(v(2)),...,?(v(N))),如果機制滿足正則性,則 ?(v(1))≥?(v(2))≥···≥?(v(N)).由式(2)可看出,虛擬價值越大的廣告商,分配到點擊率越高的位置時,運營商的收益越高.因此,當(dāng)機制滿足正則性假設(shè)時,最優(yōu)化運營商收益的分配規(guī)則為:將廣告商的價值按降序排列,價值排在第π(i)位的廣告商i,若π(i)≤K,獲得第π(i)個廣告位;否則,得不到廣告位.具體表示為

該分配規(guī)則與VCG機制的分配規(guī)則相同.根據(jù)收益等價原理[1],具有相同分配規(guī)則的任意兩種激勵相容機制的期望支付只相差一個常數(shù)mi(0).因本文中mi(0)=0,所以,競拍者在(P,M)機制和VCG機制中的期望支付相同.在VCG機制下,廣告商真實報價,其支付等于他對其他廣告商造成的效率損失.因此,對于價值排在第π(i)位的競拍者i,若π(i)≤K,其期望支付為

否則,支付為0.所以,機制(P,M)的支付規(guī)則滿足

在分配規(guī)則(3)下,運營商的事前期望收益為

其中分別表示當(dāng)樣本容量為N時,第k高價值及其對應(yīng)的虛擬價值.

為了便于表達,令則

顯然,點擊率固定的前提下,當(dāng)參與拍賣的人數(shù)確定之后,式(5)中運營商的收益受到廣告位數(shù)的影響.當(dāng)運營商需事前設(shè)定廣告位數(shù)時,其面臨的決策問題表示為

式(6)是基于廣告商的價值獨立于廣告位數(shù)的假設(shè)得到的,稱之為基本模型.

3.2 價值存在負外部效應(yīng)的擴展模型

由于針對同一關(guān)鍵詞的廣告商常常代表一個行業(yè),因此搜索結(jié)果頁面上一起展示的廣告產(chǎn)品往往具有相似性和可替代性.即使一個用戶在決定購買物品前會點擊頁面上所有的廣告,即廣告位數(shù)不影響點擊率,產(chǎn)品的可替代性仍可能導(dǎo)致用戶在其他廣告中完成交易.也就是說結(jié)果頁面上的廣告數(shù)越多,某廣告位對應(yīng)產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率越低,這就意味著廣告商的單次點擊價值越低.所以,廣告位數(shù)會影響廣告商的價值,即價值存在負外部效應(yīng)[9,10].

引入一個定義域為[1,N],值域為(0,1]且二階可導(dǎo)的函數(shù)g(x)來刻畫價值的負外部效應(yīng),并且該函數(shù)還具有下列性質(zhì)g(1)=1,g′(x)＜0,g′′(x)≤0.顯然,g(x)為凹函數(shù),稱g(x)為負效應(yīng)函數(shù).

本文假設(shè)點擊率不受廣告位數(shù)的影響,以及針對同一個關(guān)鍵詞競價的所有廣告商的負效應(yīng)函數(shù)相同且為共同知識.考慮價值的負外部效應(yīng),當(dāng)運營商事前宣布設(shè)置的廣告位數(shù)為K時,廣告商i的價值為vig(K).所以,根據(jù)負效應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),可知廣告商的價值隨廣告位數(shù)的增加而減小且減小速度變快.假設(shè)運營商采用的可行機制為其中表示分配規(guī)則,表示支付規(guī)則.用來表示競拍者i獲得的期望點擊率,而表示其期望支付.競拍者i的期望回報為

通過與基本模型相似的推導(dǎo)過程,可以得到運營商的事前期望收益

因此,在機制正則的情況下,最優(yōu)化運營商收益的分配方式與基本模型相同,仍然是將價值按照降序排列,價值排在前K位的廣告商依次獲得第1到第K個廣告位.

該機制下,獲得第k個廣告位的廣告商i向運營商提供的單次點擊支付可表示如下

運營商事前決定供應(yīng)的廣告位數(shù),其決策模型為

決策問題(9)表明將廣告商價值的負外部效應(yīng)引入到基本模型中,即為擴展模型.

4 廣告位數(shù)事前優(yōu)化分析

根據(jù)建立的基本模型和擴展模型,討論最優(yōu)廣告位數(shù)的確定方法,比較分析價值的負外部效應(yīng)對最優(yōu)廣告位數(shù)的影響,并考察點擊率對最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益的影響.

4.1 基本模型中廣告位數(shù)優(yōu)化研究

根據(jù)式(6),基本模型中最優(yōu)廣告位數(shù)為定義邊際收益為廣告位數(shù)從K?1增加到K時運營商的收益增量,則其中K ∈L.

引理1[6]在正則性假設(shè)下是j的減函數(shù),其中j∈L.

命題1在正則性假設(shè)下,邊際收益遞減.

證明由引理1有又因θK＞θK+1,所以即邊際收益是廣告位數(shù)的單調(diào)減函數(shù).證畢.

邊際收益隨著廣告位數(shù)單調(diào)遞減時,運營商可通過增加廣告位數(shù)至邊際收益為零時獲得最大收益.因此,可得到如下結(jié)論.

定理2基本模型中,最優(yōu)廣告位數(shù)值唯一.競拍人數(shù)為N時,若則最優(yōu)廣告位數(shù)L?=N;否則,最優(yōu)廣告位數(shù)表示的整數(shù)部分,其中ˉL滿足

證明由命題1,邊際收益單調(diào)遞減,則存在唯一的最優(yōu)廣告位值.若表示當(dāng)廣告位數(shù)從N?1增加到N時,邊際收益則最優(yōu)廣告位數(shù)L?=N.如果而所以由引理1有＜0.那么,＜0.這就意味著當(dāng)廣告位數(shù)從L??1增加到L?時,運營商收益非減;當(dāng)廣告位數(shù)從L?增加到L?+1,運營商收益減少.因此,當(dāng)廣告位數(shù)為L?時,運營商收益最大. 證畢.

下面進一步分析競拍者人數(shù)對運營商收益的影響.假設(shè)廣告商人數(shù)為W 和M,并且M ＞W(wǎng),對應(yīng)的最優(yōu)廣告數(shù)分別為運營商的收益分別為

命題2運營商的收益是競拍人數(shù)的增函數(shù).

證明首先,證明

當(dāng)時,根據(jù)定理2有因M ＞ W,由文獻[6]可知是N 的增函數(shù),所以有故由引理1有

當(dāng)時,有則因此,即所以

當(dāng)時,顯然有證畢.

根據(jù)式(6),是N的增函數(shù),故由定理2可知,當(dāng)所以即參加拍賣的人數(shù)越多,運營商的收益越大.

競拍人數(shù)的增加使得供應(yīng)商提供的廣告位數(shù)增加,顧客點擊新的廣告也會為運營商帶來利潤.同時,也會加劇廣告商間的競爭,激勵廣告商提高報價,因此運營商在原有廣告位上的收益會增大.所以,樣本容量的增大會提高運營商的收益.命題2意味著運營商可通過招募更多的廣告商參加拍賣來增加收入,這與直覺上的判斷是一致的.

4.2 擴展模型中廣告位數(shù)優(yōu)化研究

根據(jù)式(9),最優(yōu)廣告位數(shù)為

廣告位數(shù)從K?1增加到K時,擴展模型中運營商的收益增量即邊際收益ΔK滿足

運營商提供的廣告位數(shù)從K?1增加到K時,原K?1個位置上的廣告商因價值受到新增廣告位的影響會降低報價,從而導(dǎo)致運營商在這些廣告位上的收益下降.若新增的第K個廣告位上廣告商的虛擬價值大于零,則運營商的收益增加,否則將會降低.

命題3擴展模型中最優(yōu)廣告位數(shù)不超過基本模型中的值,即K?≤L?.

證明當(dāng)L?=N 時,顯然有K?≤L?;當(dāng)L?＜N 時,根據(jù)定理2,有

所以,可得

這就意味著,當(dāng)事前設(shè)置的廣告位數(shù)K＞L?時,擴展模型中運營商收益是K的減函數(shù).因此,最優(yōu)廣告位數(shù)K?≤L?. 證畢.

在擴展模型中,若K＞L?,當(dāng)廣告位數(shù)從K?1增加到K時,除了運營商在原來廣告位上的收益減少,新增廣告位上廣告商的期望虛擬價值小于零也對運營商的收益產(chǎn)生了負影響,故運營商的收益降低.因此,與基本模型相比,考慮價值的負外部效應(yīng)后運營商應(yīng)提供更少的廣告位.所以,在實際中,將該效應(yīng)引入拍賣模型對于運營商設(shè)置更合理的廣告位數(shù)是至關(guān)重要的.該結(jié)論與文獻[7]中的結(jié)論相似.因此,不論考慮價值或點擊率的負外部效應(yīng),運營商均應(yīng)設(shè)置更少的廣告位.本文與文獻[7]的結(jié)論可為運營商設(shè)置合理的廣告位數(shù)提供理論指導(dǎo).

在命題3的基礎(chǔ)上,考察邊際收益ΔK的單調(diào)性,易得到如下結(jié)論.

命題4負效應(yīng)函數(shù)為凹函數(shù)時,邊際收益ΔK單調(diào)遞減,其中K∈{1,2,...,L?}.

證明由式(11)有

根據(jù)g′(x)＜ 0以及g′′(x)≤ 0,其中x ∈ [1,N],而K ≤ L?≤ N,因此

并且由定理2可知,當(dāng)K ∈{1,2,...,L?}時,有所以式(12)中等號右側(cè)第一項和第二項均小于等于零.因 g(K+1)＜ g(K),有因此,有ΔK+1?ΔK＜0. 證畢.

根據(jù)命題4,擴展模型中邊際收益單調(diào)遞減.因此當(dāng)邊際收益為零時,運營商收益最大,據(jù)此可確定最優(yōu)廣告位數(shù).

定理3擴展模型中,最優(yōu)廣告位數(shù)值唯一.對于?K ∈{1,2,...,L?},若ΔK≥0,ΔK+1＜0,則最優(yōu)廣告位數(shù)K?=K.

證明由命題4可知,擴展模型中,邊際收益單調(diào)遞減,所以存在唯一的最優(yōu)廣告位數(shù)值.ΔK≥0,ΔK+1＜0,表示將廣告位數(shù)從K?1增加到K時運營商收益增加,但是從K增加到K+1時,運營商收益降低,因此最優(yōu)廣告位數(shù)為K?=K. 證畢.

推論1如果g(2)≤1,最優(yōu)廣告位數(shù)K?=1.

證明由引理1和式(11)有

即Δ2＜0.這意味著廣告位數(shù)由1增加到2時運營商收益減少,所以K?=1. 證畢.

從推論1可以看出,當(dāng)?shù)?個廣告位與第,或廣告商價值受廣告位數(shù)的影響較嚴重時,新增加的第2個廣告位給運營商帶來的收益將不足以補償?shù)?個廣告位上的廣告商因價值的負外部效應(yīng)而降低報價所導(dǎo)致的收益損失.此種情況下,運營商應(yīng)只設(shè)置1個廣告位.

實際中,搜索引擎如Yahoo!,Google,Bing等結(jié)果頁面上的廣告數(shù)一般為個位數(shù),并且針對某一些關(guān)鍵詞僅設(shè)置一個廣告位.這里,除太多廣告會影響客戶的體驗之外,本文也從另一個角度解釋了該現(xiàn)象.

4.3 點擊率與最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益的關(guān)系分析

基本模型中,運營商的收益是點擊率的增函數(shù),且由定理2易知,最優(yōu)廣告位數(shù)不受點擊率的影響.但是,在擴展模型中,由定理3和式(11)可知,點擊率影響最優(yōu)廣告位數(shù)的值.實際中,搜索引擎會重點突出某些廣告位,文獻[6]針對該策略提出了一個簡化形式,稱之為廣告位k–加強(k–accentuation)策略.該策略中,點擊率改變的方式為:保持其他廣告位的點擊率不變,?k=1,2,...,K?,增大第k個廣告位的點擊率至θk+η＜θk?1.假設(shè)點擊率改變前擴展模型的最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商的最大期望收益分別表示為K?和R.而基于k–加強策略改變點擊率時,假設(shè)邊際收益用表示,其中K=1,2,...,K?,對應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)和最大期望收益分別為和Rk.下面分析該策略對最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益的影響.

命題5擴展模型中,對于?k=1,2,...,K?,基于k–加強策略改變點擊率時,

1)當(dāng)k∈{1,2,...,K??1}時,第k個廣告位上點擊率的增加使得最優(yōu)廣告位數(shù)非增,有K?;第K?個廣告位上點擊率的增加不影響最優(yōu)廣告位數(shù),即

2)k值越小,k–加強策略對應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)越少,有

3)運營商的收益增加,且有R1＞R2＞···＞RK?＞R,即運營商在廣告位1–加強策略下的收益最大.

證明當(dāng)點擊率的變化遵循k–加強策略時,易證明邊際收益ΔkK遞減,因此仍可用定理3來判斷最優(yōu)廣告位數(shù).

1)根據(jù)式(11),對于?k=1,2,...,K??1,有以及由定理3有所以

＜ 0表示ΔK?是點擊率 θk的減函數(shù).因此有可能存在η,當(dāng) θk增至 θk+η＜ θk?1時,使得這就說明在k?加強策略下,最優(yōu)廣告位數(shù)可能減少,即根據(jù)式(11)邊際收益為

式(13)中第一個不等號成立的原因為,當(dāng)k＜K?時因此第二個不等號成立的原因為,根據(jù)命題4,當(dāng)k＜K?時,廣告位k上的邊際收益Δk＞ΔK?≥0.而意味著k–加強策略下最優(yōu)廣告位數(shù)所以,對于?k=1,2,...,K??1,有

此外,ΔK?隨著點擊率θK?的增大而增加,而ΔK?+1卻是θK?的減函數(shù),因此當(dāng)?shù)贙?個廣告位的點擊率增加時,仍然有ΔK?≥0,ΔK?+1＜0.所以,最優(yōu)廣告位數(shù)不變,即

2)點擊率變化采用k–加強策略時,對應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)為此時有以及對于?k=2,3,...,K?,當(dāng)點擊率變化遵循(k?1)–加強策略時,根據(jù)式(11)有

這就意味著所以

式(15)和式(16)表明,在廣告位(k?1)–加強策略下,當(dāng)廣告位數(shù)從增加到時,運營商的收益可能會降低;當(dāng)廣告位數(shù)從增加到時,運營商的收益肯定減少.因此(k?1)–加強策略對應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)這就說明對原點擊率越高的廣告位采取廣告位加強策略時,最優(yōu)廣告位數(shù)受到的影響越大,即最優(yōu)廣告位數(shù)減少的越多.

3)在廣告位k–加強策略下,其中k∈{1,2,...,K??1},運營商在設(shè)定廣告位數(shù)為最優(yōu)值時,可獲得最大收益Rk,因此有

在廣告位K?–加強策略下,運營商的最大收益為RK?,有

根據(jù)式(17)和式(18),有R1＞R2＞···＞RK?＞R. 證畢.

擴展模型中,k–加強策略主要從三個方面影響運營商的收益:首先,廣告位數(shù)的減少會導(dǎo)致運營商的收益損失;其次,廣告位數(shù)的減少使價值存在負外部效應(yīng)的廣告商提高報價,運營商收益增加;此外,運營商的收益也因第k個廣告位點擊率的增加而提高,并且提高程度與k有關(guān).因k值越小,對應(yīng)廣告位上的點擊率和廣告商的報價越高.所以,在點擊率增量相同的情況下,對原點擊率較高的廣告位實施加強策略帶來的收益增量足以平衡因失去更多廣告位而導(dǎo)致的收益損失.因此,按照k–加強策略改變點擊率時,k值越小,運營商應(yīng)提供越少的廣告位,卻可獲得更大的收益.該結(jié)論可為實際中運營商重點突出某些廣告位的策略提供決策支持.另外,廣告位1–加強策略下運營商有可能僅提供一個廣告位,這與推論1的結(jié)論一致.

5 計算與仿真研究

擴展模型中,競拍人數(shù)也會影響最優(yōu)廣告位數(shù)以及運營商的收益.具體地,假設(shè)廣告商人數(shù)為W和M,并且M＞W(wǎng)時,對應(yīng)最優(yōu)廣告數(shù)分別為K?W和K?M,運營商的收益分別為RW和RM.首先假設(shè)有

根據(jù)定理3,當(dāng)所以式(19)中第二項非負;故式(19)中第一項正負未知.因此,無法判斷RW和RM的大小.同理,也可證明當(dāng)時,仍無法確定RW和RM的大小關(guān)系.所以,擴展模型中,競拍人數(shù)對于運營商收益的影響規(guī)律難以嚴格確定,下面擬借助仿真方法進行探討.另外,擴展模型中最優(yōu)廣告位數(shù)不但與競拍者人數(shù)有關(guān),還與負效應(yīng)函數(shù)有關(guān).因此,本文將在負效應(yīng)函數(shù)中引入一指標來表征廣告位數(shù)對廣告商價值的影響程度,在仿真中通過改變該系數(shù)來分析價值的負外部效應(yīng)與最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益的關(guān)系.

具體仿真參數(shù)設(shè)置如下:

1)設(shè)負效應(yīng)函數(shù)g(x,δ)=1?((x?1)/N)1/δ,其中x ∈ [1,N].易知,對?δ∈ (0,1],有g(shù)(1,δ)=1,滿足3.2節(jié)中對負效應(yīng)函數(shù)的要求.另外,即當(dāng) δ→ 0時,廣告商的價值不受廣告位數(shù)的影響;并且,當(dāng)δ∈(0,1]時,有這意味著廣告位數(shù)固定時,δ越大,廣告商的價值受到廣告位數(shù)的影響越大.所以參數(shù)δ可來用表示廣告位數(shù)對廣告商價值的影響程度,稱之為負效應(yīng)系數(shù).在仿真中,通過在區(qū)間(0,1]改變系數(shù)δ,考察其對最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益的影響規(guī)律;

2)根據(jù)文獻[21],2002年～2003年Overture的數(shù)據(jù)表明,參與某一個流行關(guān)鍵詞的競價人數(shù)一般都大于等于10.隨著近年來互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的發(fā)展,目前對高附加值關(guān)鍵詞競價的廣告商人數(shù)肯定會大大增加.為了使仿真更具說服力,本文將參與某一關(guān)鍵詞競價的廣告商人數(shù)上限設(shè)置為153,并假設(shè)至少有3人參與競價;

3)最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商的收益均與價值分布函數(shù)有關(guān),故在仿真中選取電子商務(wù)中常用的三種價值分布函數(shù).在這些分布函數(shù)下,分別考察競拍者人數(shù)和負效應(yīng)系數(shù)對運營商收益和最優(yōu)廣告位數(shù)的影響規(guī)律.根據(jù)文獻[7],假設(shè)廣告商價值服從:[0,10]上的均勻分布;[0,∞)上參數(shù)為1的指數(shù)分布;[1,∞)上的Pareto分布,概率分布函數(shù)為F(v)=1?v?2.顯然,這三種分布下,虛擬價值均為價值的增函數(shù),即滿足本文要求的正則條件;

4)Feng等[18]通過對2003年Overture前五位廣告位的實際點擊數(shù)據(jù)分析得出,實際廣告位的點擊率可用等比數(shù)列Θ={0.70,0.71,0.72,...,0.7k?1,...,0.7K?1}來模擬.

點擊率保持固定的前提下,擴展模型中最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商的收益主要受負效應(yīng)系數(shù)和廣告商人數(shù)等兩個因素的影響.這里,仿真考慮兩種情況:負效應(yīng)系數(shù)固定,競拍人數(shù)變化;競拍人數(shù)固定,負效應(yīng)系數(shù)變化.下面,在三種價值分布下,分別探討這兩種情況中最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益的變化規(guī)律.

1)固定負效應(yīng)系數(shù)δ=0.5.廣告商人數(shù)以增量2從3增加到153時,三種價值分布下最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益隨競拍人數(shù)變化的關(guān)系曲線如圖1和圖2所示.可以看出,三種價值分布下,最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商的收益都是競拍人數(shù)的增函數(shù).

增加競拍者人數(shù),意味著廣告商對于廣告位的競爭加劇而提高報價,運營商的收益增加;因廣告商價值存在負外部效應(yīng),增加廣告位又會導(dǎo)致其報價降低,故運營商收益減少.但是,當(dāng)競拍者人數(shù)逐漸增加到某一值時,人數(shù)的增加對收益的正影響可以抵消廣告位的增加對收益的負效應(yīng),此時運營商可通過增加廣告位獲得更高的收益.所以,競拍人數(shù)在一定范圍內(nèi)增加時,最優(yōu)廣告位數(shù)保持不變;但是當(dāng)廣告商人數(shù)超過某一個值后,最優(yōu)廣告位數(shù)將增加.因此競拍者人數(shù)變化時,最優(yōu)廣告位數(shù)的變化曲線為多階梯形,如圖1所示.

圖1 競拍者人數(shù)與最優(yōu)廣告位數(shù)的關(guān)系Fig.1 The relationship between the number of bidders and the optimal number of advertising slots

圖2 競拍者人數(shù)與運營商收益的關(guān)系Fig.2 The relationship between the number of bidders and the operator revenue

增加廣告商人數(shù)至最優(yōu)廣告位數(shù)改變之前,廣告位數(shù)對廣告商價值的影響不變,但是增加競拍人數(shù)使得廣告商的報價提高,因此運營商的收益逐漸增加.當(dāng)競拍者人數(shù)超過某一個值時,最優(yōu)廣告位數(shù)增加,新增的廣告位給運營商帶來了利潤,此時競拍人數(shù)和廣告位的增加對收益的正效應(yīng)大于增加廣告位對收益的負影響,運營商的收益也會增加.所以,運營商收益是競拍人數(shù)的增函數(shù),如圖2所示.這意味著運營商可通過吸引更多的廣告商參與拍賣來獲得更高的利潤.

2)固定競拍人數(shù)N=50.負效應(yīng)系數(shù)在區(qū)間(0,1]以增量0.05變化時,三種價值分布下最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商收益與負效應(yīng)系數(shù)的關(guān)系如圖3和圖4所示.由圖可知,最優(yōu)廣告位數(shù)和運營商的利潤均是負效應(yīng)系數(shù)的減函數(shù).

圖3 負效應(yīng)系數(shù)與最優(yōu)廣告位數(shù)的關(guān)系Fig.3 The relationship between the negative effect coefficients and the optimal number of advertising slots

圖4 負效應(yīng)系數(shù)與運營商收益的關(guān)系Fig.4 The relationship between the negative effect coefficients and the operator revenue

當(dāng)負效應(yīng)系數(shù)增加時,廣告商價值受到的影響變大,報價降低,導(dǎo)致運營商收益降低,但是此時保持原來的廣告位數(shù)仍然可以使運營商收益最優(yōu).當(dāng)負效應(yīng)系數(shù)超過到某一個值時,運營商可通過減少廣告位數(shù)來弱化價值的負外部效應(yīng)對其收益的影響.因此,在一定范圍內(nèi)增加負效應(yīng)系數(shù)時,廣告位數(shù)會保持不變;但是當(dāng)該系數(shù)超過某一值時,廣告位數(shù)會減少,如圖3所示.

增加負效應(yīng)系數(shù)時,在最優(yōu)廣告位數(shù)變化前,因廣告商報價降低導(dǎo)致運營商收益減少;減少最優(yōu)廣告位數(shù)雖可減弱負效應(yīng)系數(shù)的增加對價值的影響,但是廣告位數(shù)的減少卻意味著運營商獲得收益的來源減少,運營商的收益仍然降低,如圖4所示.

6 結(jié)束語

與傳統(tǒng)文獻中將廣告位數(shù)視作外生變量不同,在考慮運營商拍賣前宣布廣告位數(shù)的情形下,以最大化運營商的收益為目標,研究了廣告位數(shù)的設(shè)定策略.基于機制設(shè)計理論,根據(jù)不考慮和考慮廣告位數(shù)對廣告商價值的影響,分別建立了基本模型和擴展模型.經(jīng)分析,發(fā)現(xiàn)兩個模型中邊際收益均為廣告位數(shù)的減函數(shù),這就說明運營商可通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膹V告位數(shù)得到最大收益.進一步,對比分析了兩個模型中點擊率對最優(yōu)廣告位數(shù)的影響規(guī)律.可知基本模型中最優(yōu)廣告位數(shù)與點擊率無關(guān),但是擴展模型中當(dāng)某一廣告位的點擊率增加時,運營商應(yīng)減少廣告位.另外,分析還指出兩個模型中運營商均可通過招募更多的競拍者來提高收益.由于考慮了廣告位數(shù)會影響廣告商價值的實際情況,使得本文的結(jié)論貼近現(xiàn)實中運營商的決策行為.因此,研究可為運營商的決策提供參考.

需要指出的是,文中假設(shè)廣告位數(shù)對所有廣告商價值的影響是相同的,實際中該假設(shè)較為嚴苛.對廣告商價值的負外部效應(yīng)進行深化細化,將是下一步的研究方向．

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