蔡克珍，張海海

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

分?jǐn)?shù)階微積分即是關(guān)于任意階微分和積分理論。近幾十年來，它在工程、物理和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的建模中具有極為重要的應(yīng)用價值[1-5]。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部的且具有非奇異核[6]，相比較于經(jīng)典的整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階模型能夠更好地描述系統(tǒng)的行為過程。

近年來，一些學(xué)者將分?jǐn)?shù)階算子引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，形成分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，從而更好地描述神經(jīng)元的動力學(xué)行為。最近，文獻(xiàn)[7-9]研究了不具有時滯的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。本文考慮如下Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近穩(wěn)定性

k是一個已知正常數(shù)。

在判定Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近穩(wěn)定性時，通過構(gòu)造Lyapunov泛函的方法避免了計算其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，所得結(jié)果描述為矩陣不等式，在計算上是方便可行的。

1 預(yù)備知識

本節(jié)給出分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)定義和引理。

定義1[3]函數(shù)f的q＞0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義為

定義3 對任意的ε ＞0，存在δ=δ(ε ,t0)＞ 0，使得對任何初始條件，系統(tǒng)(1)的解x(t)滿足不等式則稱系統(tǒng)(1)的零解是穩(wěn)定的。若系統(tǒng)(1)的零解是穩(wěn)定的且則稱它是漸近穩(wěn)定的。

2 漸近穩(wěn)定性判據(jù)

本節(jié)通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來討論系統(tǒng)(1)在Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性條件。

定理1若存在一個正定陣P和兩個正常數(shù)β，γ使得

則系統(tǒng)(1)的零解是漸近穩(wěn)定的，其中I是n維單位矩陣。

證明 構(gòu)造如下的Lyapunov泛函

其中0＜α＜1，P，Q是正定陣。

因?yàn)镻＞0，Q＞0，由定義1可知V( )xt是一個正定函數(shù)。由引理1可以得到V( )xt沿著系統(tǒng)

(1)軌跡的時間導(dǎo)數(shù)為

通過運(yùn)用泛函微分方程的Lyapunov直接方法，得到系統(tǒng)(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

在定理1中，令β=γ=1，可得到如下推論。

推論1 若存在正定陣P使得

則系統(tǒng)(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值例子

例1考慮一個二維的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

因此滿足定理1的條件，所以系統(tǒng)(15)的零解是漸近穩(wěn)定的。

對于數(shù)值模擬，分別考慮如下5種不同的初始狀態(tài)：

圖1和圖2分別描述了對應(yīng)于這些初始值的狀態(tài)軌跡，證實(shí)了定理1是有效的和可行的。

圖1 α=0.8，τ=0.4的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同初始值下的軌跡

圖2 α=0.4，β=0.2的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同初始值下的軌跡

4 結(jié) 論

本文構(gòu)造了一個適當(dāng)?shù)姆汉瘉碛懻揜iemann-Liouville分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近穩(wěn)定性，該方法避免了計算Lyapunov泛函的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，直接計算Lyapunov泛函的一階導(dǎo)數(shù)來檢驗(yàn)穩(wěn)定性，利用矩陣不等式描述所得結(jié)果，在計算上也是方便可行的。

[1]MILLER K S,ROSS B.An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations[M].New York:John Wiley&Sons,1993:44-229.

[2]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].Kosice:Academic Press,1999:1-220.

[3]KILBAS A A.SRIVASTAVA H M.TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam:Elsevier Science BV,2006:1-205.

[4]LI C P,DENG W H.Remarks on fractional derivatives[J].Appl Math Comput,2007,187(2):777-784.

[5]LIU Y.On piecewise continuous solutions of higher order impulsive fractional differential equations and applications[J].Appl Math Comput,2016,s287-288(C):38-49.

[6]WANG J R,LV L L,ZHOU Y.New concepts and results in stability of fractional differential equations[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simul,2012,17(6):2530-2538.

[7]CHEN J J,ZENG Z G,JIANG P.Global mittag-leffler stability and synchronization of memristor-based fractional-order neural networks[J].Neural Networks,2014,51(3):1.

[8]LI H L,JIANG Y L,WANG Z,ZHANG L,et al.Global Mittag-Leffler stability of coupled system of fractional-order differential equations on network[J].Appl Math Comput,2015,270:269-277.

[9]REN F L,CAO F,CAO J.Mittag-Leffler stability and generalized Mittag-Leffler stability of fractional-order gene regulatory networks[J].Neurocomputing,2015,160:185-190.

[10]LIU S,JIANG W,LI X,et al.Lyapunov stability analysis of fractional nonlinear systems[J].Appl Math Lett,2016,51:13-19.