孫文文，何兆容

（1.四川省攀枝花市第三高級中學，四川攀枝花617000；2.汕頭大學理學院，廣東汕頭515063）

緊空間[1]最早由Alexandroff和Urysohn提出以覆蓋性質(zhì)來刻畫的一種拓撲空間，它可以看作實直線上的Heine-Borel有限覆蓋定理在一般拓撲空間中的推廣。隨后Dieudonne提出仿緊空間[2]的概念，并用加細覆蓋來描述仿緊空間。仿緊空間再進一步推廣，可以得到更多用加細覆蓋來描述的空間，這為拓撲空間的研究提供了新的方向。Levine在拓撲空間中引入半開集的概念[3]，此后又有了半閉集等概念，隨著拓撲空間中概念的不斷提出和完善，一部分學者開始對S-類空間進行研究，如Alzoubi的S-paracompact Spaces等[4]。近幾年來，國內(nèi)諸多拓撲學者對S-仿緊空間再作推廣，先后定義了S-meso緊空間[5]、S-弱θ-加細空間[6]、S-亞緊空間[7-8]、S-次仿緊空間[9-10]等，并對這些空間的性質(zhì)進行了相應(yīng)的研究，得到一些良好的結(jié)果。本文結(jié)合仿緊空間和S-類空間的定義及其相關(guān)性質(zhì)，引入了S-可數(shù)仿緊空間，并研究其覆蓋性質(zhì)、正規(guī)性、映射性質(zhì)和乘積性質(zhì)。下面先給出相關(guān)的基本定義。

定義1[2]X是拓撲空間，若存在X的一個開集U使得U?A?Uˉ，稱X的子集A為半開集。半開集的補集X-A為半閉集。包含A的所有半閉集的交稱為A的半閉包，記作sclA。

定義2[4]若任給x∈X，存在x的一個開鄰域U使得U?A≠?只對有限個A∈A成立，則稱空間X中的集族A為局部有限的。

定義3[5]設(shè)A、B是空間X的覆蓋。若任給B∈B，存在A∈A使得B?A，則稱B為A的加細。若B是X開（閉、半開、半閉）覆蓋，則稱B為A的開（閉、半開、半閉）加細。

定義4[6]若X的任意開覆蓋有局部有限的開加細覆蓋，則稱空間X為仿緊空間。

定義5[4]若任給x∈X，x∈A只對有限個A∈A成立，則稱空間X中的集族A為點有限的。

定義6若任給閉集A，B?X，存在X中不交的半開集U，V使得A?U，B?V，則稱空間X為半正規(guī)空間。

定義7[4]若任給y∈Y，f←()y為X的緊子集，則連續(xù)閉映射f:X→Y為完備映射（或稱緊映射）。

定義8[4]若任給y∈Y，f←( )y為X的可數(shù)緊子集，則閉映射f:X→Y為準完備映射。

定義9[4]若X的每一可數(shù)開覆蓋具有局部有限的半開加細覆蓋，則空間X稱為S-可數(shù)仿緊空間。

下面是本文的主要結(jié)論。

定理1下列結(jié)論等價：

（i）X是S-可數(shù)仿緊空間；（ii）對X的每一可數(shù)開覆蓋{ }Unn∈N，存在局部有限的可數(shù)半開覆蓋{ }Vnn∈N使得Vn?Un，n∈N；（iii）對X的每一遞增的開覆蓋，存在X的半閉集序列{ }Fnn∈N使得Fn? Wn（n ∈ N）且

（iv）對X的每一遞減閉集序列{ }Fnn∈N滿足存在X的半開集序列{ }Wnn∈N，使得

證明 （i）?（ii）設(shè)U={ }Unn∈N是 S-可數(shù)仿緊空間X的可數(shù)開覆蓋，由（i）知存在局部有限半開覆蓋，存在

令是

[1]ALEXANDROFF P S,URYSHON P.Surles spaces topologies compacts[J].Bull InterAcad Pol Sci,1923(A):5-8.

[2]DIEUDONNE J.One Generalization dense compact spaces[J].Math pureAppl,1944,23:65-76.

[3]LEVINE N.Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces[J].Amer Math Monthly,1963,70:36-41.

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[5]楊思鑫,幸華雄.S-meso緊空間[J].山東理工大學學報(自然科學版),2013,27(6):60-62.

[6]吳昭鑫,張焰杰,楊思鑫.S-弱θ-加細空間[J].佳木斯大學學報(自然科學版),2013,31(4):609-611.

[7]張焰杰,吳昭鑫,楊思鑫.S-亞緊空間[J].四川理工學院學報(自然科學版),2014,27(1):98-100.

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