◎王愛華

數(shù)學(xué)解題中的錯(cuò)誤常有以下幾種類型：（一）概念性錯(cuò)誤；（二）推理和論證性錯(cuò)誤；（三）計(jì)算錯(cuò)誤、看圖和作圖錯(cuò)誤。其中概念性錯(cuò)誤和推理性錯(cuò)誤，可以歸屬于邏輯性錯(cuò)誤，而邏輯性錯(cuò)誤又可能導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤和圖形錯(cuò)誤，因此認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)解題中某些常見的邏輯性錯(cuò)誤，并分析其產(chǎn)生的原因?qū)τ谔岣邤?shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，是很重要的。本文僅就函數(shù)概念的有關(guān)問題通過一些常見的例子，以分析其概念性錯(cuò)誤及原因，旨在教與學(xué)的過程中對(duì)數(shù)學(xué)概念的重要性引起足夠的重視。

一、函數(shù)定義域及表述問題

函數(shù)的定義域是“x≠1的一切實(shí)數(shù)”，這種說法包含了邏輯上的矛盾，因?yàn)榧热徽f“x≠1”，就不是“一切實(shí)數(shù)”，而若是“一切實(shí)數(shù)”，就應(yīng)包括x=1。這樣說違反了矛盾律。正確的說法，可以表述為“上述函數(shù)定義域是滿足x≠1的實(shí)數(shù)全體”，或用區(qū)間表示為：“（-∞，1） ∪ （1， + ∞）”， 或 用 集 合 表 示 為： “

二、把文字題翻譯成函數(shù)式

例如：列式表示以下各題中y與x的函數(shù)關(guān)系：

（1）某質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)平面上總按“縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的兩倍”的規(guī)律運(yùn)動(dòng)。

（2）某質(zhì)點(diǎn)按速度為2（速度單位）作等速直線運(yùn)動(dòng)，走過的路程y是時(shí)間x函數(shù)。

（3）橡皮2角錢一塊，買x快，花了y角錢，y是x的函數(shù)。

一般地，學(xué)生容易將上述三個(gè)函數(shù)關(guān)系式都寫成y=2x，其實(shí)這三個(gè)函數(shù)是不同的：（1）y=2x，x∈ （-∞，+∞）；（2）y=2x，x∈[0， +∞ )；（3）y=2x，x∈N（包括0的擴(kuò)大的自然數(shù)集），它們的圖像也各不相同，分別如圖1（a）、（b）、（c）。

為什么會(huì)發(fā)生這樣的錯(cuò)誤呢？這是因?yàn)閷?duì)函數(shù)概念理解片面。函數(shù)概念有三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系（解析式）。如果把函數(shù)僅理解成解析式，就要犯“以偏概全”的錯(cuò)誤。

再如圖2，某小隧道截面，矩形上接半圓形，已知截面周長(zhǎng)為15m，試寫出截面面積S關(guān)于底寬x的函數(shù)式。

如果解題到此結(jié)束，所得結(jié)果是不完全的，因此依問題的實(shí)際意義，（*）式中的自變量的取值范圍是限定的；如果不指出這一點(diǎn)，就可能導(dǎo)致不合理的結(jié)果，例如，在（*）式中置x=10，則所求的S是負(fù)值，而面積是非負(fù)的，所以應(yīng)該在寫出（*）式的同時(shí)，把限制條件（定義域和值域的限制）也寫出來：S＞0，x＞0。

故所求函數(shù)式應(yīng)是

三、關(guān)于函數(shù)性質(zhì)

例 1.設(shè) f（x）=ax7+bx3+cx-5，若已知 f（-7）=7，求f（7）的值。

誤解：因?yàn)閒（x）是x的奇次冪之和，故為奇函數(shù)，從而f（7）=-f（-7）=-7

錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在f（x）不完全是x的奇次冪之和，因?yàn)槌?shù)（-5）應(yīng)視為x的零次冪，而0是偶數(shù)，因此f（x）并非奇函數(shù)。

正確的解法：令 g（x）=f（x）+5=ax7+bx3+cx，則 g（x）是 x的奇次冪之和，故是奇函數(shù)，因而有：g（-x）=-g（x）?f（-x）+5=-[f（ x ）+5)?f（-x）=-f（x）-10∴f（x）=-f（-x）-10，故 f（7）=-f（-7）-10=-7-10=-17

例2.在2的條件下，求 f（x）=（log2的最小值。

誤解：由條件式推得：，從而 -3≤

∵log2x是增函數(shù)，∴f（x）的最小值是：

這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，原因是并不能有對(duì)數(shù)函數(shù)的遞增性，推出兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積也是增函數(shù)，本題的函數(shù)就不是增函數(shù)。

事實(shí)上，

它是一個(gè)關(guān)于log2x的“二次函數(shù)”。因?yàn)閍=1＞0，所以f（x）關(guān)于log2x有最小值。

正確的解法：在限制條件下得：

當(dāng)時(shí)，有最小值，

以上列舉了一些常見例子，分析了函數(shù)的概念性錯(cuò)誤及產(chǎn)生原因。類似的問題還有很多（諸如“算術(shù)根”、“絕對(duì)值”等看似簡(jiǎn)單的概念），這里就不一一贅述?？傊?，對(duì)于數(shù)學(xué)概念，不論是初學(xué)或用之解題，都必須從根本上理解其含義和實(shí)質(zhì)，準(zhǔn)確地掌握概念，應(yīng)用概念，才不至于造成邏輯性錯(cuò)誤。