陳志英，劉 勇，周 平，劉廣通

(北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191)

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)的研制過程具有精度高、裝配結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大、研制周期短等特點(diǎn)和要求[1]，裝配過程為實(shí)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)功能的重要環(huán)節(jié)，零部件的幾何尺寸和公差信息是保證發(fā)動(dòng)機(jī)裝配成功率的關(guān)鍵，也會(huì)影響發(fā)動(dòng)機(jī)的研制周期和研制成本。因此，針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的公差分析方法不但要保證其功能、性能和可裝配性的要求，而且要求在保證封閉環(huán)公差的前提下具備較高的計(jì)算精度和效率。

現(xiàn)有的公差分析方法包括極值法和統(tǒng)計(jì)法[2-3]。極值法只考慮裝配中各部件尺寸的最大值與最小值[4]，忽略了實(shí)際尺寸在其公差范圍內(nèi)的分布情況，得出的結(jié)果往往過于極端，并且增加了制造成本。在現(xiàn)代大規(guī)模的生產(chǎn)活動(dòng)中，機(jī)械產(chǎn)品每一個(gè)零件的尺寸X1,X2,…,Xi,…,XN(1≤i≤N)通常被看作是一個(gè)隨機(jī)變量，且服從某一特定類型的分布。在裝配過程中，封閉環(huán)的幾何尺寸Y是各個(gè)組成環(huán)幾何尺寸的函數(shù)，即Y=F(X1,X2,…,Xi,…,XN)，組成環(huán)尺寸的變動(dòng)會(huì)直接影響封閉環(huán)的尺寸，并且各個(gè)組成環(huán)的尺寸誤差會(huì)累計(jì)形成累積誤差，進(jìn)而影響產(chǎn)品的性能，因此封閉環(huán)的尺寸是一個(gè)隨機(jī)變量，應(yīng)服從某一類型的分布[5]，統(tǒng)計(jì)法正是基于這樣的認(rèn)識(shí)而提出的一種公差分析方法。統(tǒng)計(jì)公差分析方法主要有均方根法、蒙特卡洛法、田口試驗(yàn)法和卷積法[6]。均方根法雖然考慮了部件尺寸的分布情況，但是其假設(shè)過于理想，即各部件在公差范圍內(nèi)服從正態(tài)分布，并且名義值和平均值重合，這種假設(shè)在實(shí)際情況中很難出現(xiàn)?；诿商乜宸ǖ墓罘治龇椒ㄟm用于部件尺寸為非正態(tài)分布的情況，并且隨著計(jì)算次數(shù)的增加，計(jì)算精度也會(huì)提高，但是蒙特卡洛法需要大量的計(jì)算樣本，因此計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，效率低[7-9]。卷積法雖然也能夠處理尺寸為非正態(tài)分布的情況，但是計(jì)算過程復(fù)雜，計(jì)算工作量大[10-11]。田口試驗(yàn)法由于計(jì)算過程簡(jiǎn)單、易于理解，已被廣泛應(yīng)用于工業(yè)界[12]，錢澤鵬等[13]基于田口試驗(yàn)法對(duì)某工件進(jìn)行了公差分析，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了公差尺寸鏈的優(yōu)化設(shè)計(jì)；Feng等[14]以公差累積的變動(dòng)最小為目標(biāo)，基于田口試驗(yàn)法對(duì)某軸組件進(jìn)行了公差分析和設(shè)計(jì)；Muthu等[15]基于田口試驗(yàn)法，結(jié)合啟發(fā)式算法對(duì)超越離合器進(jìn)行了公差分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。然而，田口試驗(yàn)法只適用于部件尺寸為正態(tài)分布的情況，田口玄一博士也未在其著作中就田口試驗(yàn)法的理論基礎(chǔ)給出說明[16-17]，而且傳統(tǒng)的田口方法只能準(zhǔn)確估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的前兩階矩，對(duì)三階、四階矩估計(jì)的精度欠佳。

目前，裝配成功率的計(jì)算方法主要有矩估計(jì)法(二階矩、四階矩)和蒙特卡洛法等[18]，二階矩法能夠準(zhǔn)確估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的前兩階矩，然而前兩階矩并不能準(zhǔn)確反映統(tǒng)計(jì)量的分布類型，因此得出的裝配成功率在精度上不夠高；蒙特卡洛法則在對(duì)數(shù)據(jù)處理的效率上明顯低于矩估計(jì)法。

綜上所述，基于傳統(tǒng)的田口試驗(yàn)法，本文提出一種改進(jìn)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，并就其理論基礎(chǔ)給出了完整的推導(dǎo)過程，該方法不但適用于組成環(huán)尺寸為正態(tài)分布的情況，而且適用于尺寸分布為非正態(tài)的情況。另外，該方法可以比較準(zhǔn)確地估算統(tǒng)計(jì)量的前四階矩，并結(jié)合Pearson分布理論，較準(zhǔn)確地得到裝配成功率的值，從而在保證計(jì)算精度的前提下減小計(jì)算量，提高裝配公差分析效率。將該方法應(yīng)用于某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪轉(zhuǎn)子的徑向裝配尺寸鏈中，能夠?yàn)楹娇瞻l(fā)動(dòng)機(jī)的裝配成功率提供新的檢驗(yàn)方法。

1 改進(jìn)的田口試驗(yàn)法

田口試驗(yàn)法的理論基礎(chǔ)是高斯數(shù)值積分[19]，具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯數(shù)值積分公式為

(1)

式中：ρ(x)為積分區(qū)間[a,b]上的權(quán)重函數(shù)，φ(x)為被積函數(shù)，ωi和xi為與被積函數(shù)φ(x)無關(guān)的權(quán)重因子和積分節(jié)點(diǎn)。合理地選擇積分節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xn，可使積分公式對(duì)次數(shù)小于等于2n-1的多項(xiàng)式精確成立，即式(1)的代數(shù)精度為2n-1[20]。

響應(yīng)函數(shù)g(x)的k階原點(diǎn)矩

(2)

式中f(x)為隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)，x的均值和方差分別為μ,σ。

令[g(x)]k=φ(x)為被積函數(shù)，f(x)=ρ(x)為權(quán)重函數(shù)，選取xi=μ+αiσ為積分節(jié)點(diǎn)，根據(jù)式(1)，將式(2)表示為

E(gk)≈ω1[g(μ+α1σ)]k+ω2[g(μ+α2σ)]k

+…+ωn[g(μ+αnσ)]k。

(3)

對(duì)于三水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)來說，其積分節(jié)點(diǎn)數(shù)n=3(代數(shù)精度為5)，則式(3)變?yōu)?/p>

E(gk)≈ω1[g(μ+α1σ)]k+ω2[g(μ+α2σ)]k+

ω3[g(μ+α3σ)]k。

(4)

根據(jù)Engels[21]的結(jié)論可知，式(4)中的參數(shù){ω1,ω2,ω3,α1,α2,α3}可通過隨機(jī)變量x的前k階中心矩進(jìn)行求解。已知xi=μ+αiσ為積分節(jié)點(diǎn)，將積分節(jié)點(diǎn)xi取為各因素的三個(gè)水平li，即令

li=xi=μ+αiσ，i=1,2,3，

(5)

從而將求解{ω1,ω2,ω3,α1,α2,α3}變?yōu)榍蠼鈡ω1,ω2,ω3,l1,l2,l3}。

各個(gè)因素的k階中心矩表示為

ω2(α2σ)k+ω3(α3σ)k

=ω1(l1-μ)k+ω2(l2-μ)k+ω3(l3-μ)k。

(6)

當(dāng)k分別取1，2，3，4時(shí)，可得前四階中心矩：

m1=ω1(l1-μ)+ω2(l2-μ)+ω3(l3-μ);

(7)

m2=ω1(l1-μ)2+ω2(l2-μ)2+ω3(l3-μ)2;

(8)

m3=ω1(l1-μ)3+ω2(l2-μ)3+ω3(l3-μ)3;

(9)

m4=ω1(l1-μ)4+ω2(l2-μ)4+ω3(l3-μ)4。

(10)

各因素的均值、方差、偏度、峰度與前四階中心矩的關(guān)系為：

μ=m1;

(11)

σ2=m2;

(12)

(13)

β2=m4/(m2)2。

(14)

在因素分布類型已知的前提下，可求得：

m1=μL;

(15)

m2=σ2;

(16)

(17)

m4=β2σ4。

(18)

因此式(7)～式(10)變?yōu)椋?/p>

ω1(l1-μ)+ω2(l2-μ)+ω3(l3-μ)=μ;

(19)

ω1(l1-μ)2+ω2(l2-μ)2+ω3(l3-μ)2=σ2;

(20)

(21)

ω1(l1-μ)4+ω2(l2-μ)4+ω3(l3-μ)4=β2σ4。

(22)

權(quán)重之和為1，即

ω1+ω2+ω3=1，

則

ω2=1-ω1-ω3。

(23)

根據(jù)田口試驗(yàn)方法，令因素的中間水平

l2=μ。

(24)

將式(23)和式(24)代入式(19)～式(22)，有：

ω1(l1-μ)+ω3(l3-μ)=μ;

(25)

ω1(l1-μ)2+ω3(l3-μ)2=σ2;

(26)

(27)

ω1(l1-μ)4+ω3(l3-μ)4=β2σ4。

(28)

解式(25)～式(28)得：

(29)

(30)

(31)

(32)

將ω1，ω3代入式(23)，得

(33)

其中，均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度可通過下式計(jì)算：

(34)

(35)

(36)

(37)

另外已知l2=μ，至此可求出每個(gè)因素的3個(gè)水平值以及各自的權(quán)重因子，則響應(yīng)函數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度為：

(38)

(39)

(40)

2 Pearson分布理論及裝配成功率估算方法

2.1 Pearson分布理論

基于蒙特卡洛模擬方法的基本原理，Karl Pearson提出一種包括多種分布類型的統(tǒng)一模型[22]

(42)

式中：p(x)為概率密度函數(shù)；a，c0，c1，c2為分布參數(shù)，是概率密度函數(shù)的前四階矩的函數(shù)。因此只要得到樣本的前四階矩，便可根據(jù)Pearson微分方程(42)解得概率密度函數(shù)，而且根據(jù)不同的參數(shù)取值可以得到不同的概率密度函數(shù)。由Pearson分布模型建立的分布族如表1所示。

表1 Pearson分布族

由表1可以看出，Pearson分布包含了任意給定均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度的常見分布類型，如正態(tài)分布、β分布、γ分布、t分布等。

得到響應(yīng)函數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度后，根據(jù)Pearson分布族理論，即可確定響應(yīng)函數(shù)的分布類型及概率密度函數(shù)。

2.2 裝配成功率估算方法

裝配成功率指封閉環(huán)的尺寸變量Y落在公差允許的區(qū)間R0內(nèi)的概率[1,18]。設(shè)封閉環(huán)的概率密度函數(shù)為f(Y)，則裝配成功率

若采用蒙特卡洛法估算裝配成功率，則

式中：N0為由組成環(huán)樣本計(jì)算得到的封閉環(huán)尺寸落在R0內(nèi)的個(gè)數(shù)，Ntotal為總的模擬次數(shù)。

3 實(shí)例分析

如圖1所示，δ為高壓一級(jí)渦輪葉尖與機(jī)匣的間隙，L1為機(jī)匣內(nèi)徑，L2為葉尖到渦輪盤外沿長(zhǎng)度，L3為渦輪盤半徑。要求葉尖間隙δ符合2.8 mm≤δ≤3.2 mm，為裝配成功。各組成環(huán)的尺寸參數(shù)如表2所示。

表2 組成環(huán)尺寸參數(shù)

組成環(huán)L1L2L3公稱尺寸/mm672.5311.0358.5公差/mm0.30.20.2傳遞比ξi=?f/?Li1-1-1

3.1 裝配公差分析

由圖1可以確定，組成環(huán)L1為增環(huán)，L2，L3為減環(huán)，則封閉環(huán)

(45)

在機(jī)械加工過程中，部件的常見分布類型有正態(tài)分布、β分布、均勻分布等，假設(shè)組成環(huán)的尺寸符合這幾種類型的分布，本文設(shè)計(jì)了4種不同分布類型的組合，如表3所示。

表3 各組成環(huán)的分布類型及參數(shù)

以組合2為例，當(dāng)各組成環(huán)服從β分布(右偏)時(shí)，可計(jì)算得到各個(gè)組成環(huán)的均值、方差、偏度和峰度，如表4中第2～5行所示。根據(jù)式(29)～式(33)和式(24)，可得各組成環(huán)的水平值lij(i=1,2,3為因素，j=1,2,3為水平)和相應(yīng)的權(quán)重因子ωij，如表4中第6～7行所示。

表4 組合2中各組成環(huán)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)及水平、權(quán)重值

試驗(yàn)設(shè)計(jì)如表5所示，表中第4列為與組成環(huán)水平對(duì)應(yīng)的權(quán)重因子的乘積，第5列為根據(jù)式(45)計(jì)算的間隙值。根據(jù)表5中的數(shù)據(jù)可以得到裝配間隙δ的27個(gè)樣本值。

根據(jù)式(38)～式(41)得到的裝配間隙的均值、方差、偏度和峰度如表6中第5列所示，表6同時(shí)給出了其余組合的計(jì)算結(jié)果。用蒙特卡洛方法模擬1×106次的仿真結(jié)果也列于表6中。

表5 正交試驗(yàn)表

表6 封閉環(huán)偏差分布參數(shù)

注：表中MC表示蒙特卡洛方法。

由表6可知，在4種組合中，本文方法用27個(gè)樣本量計(jì)算出的封閉環(huán)尺寸變量的均值、方差、偏度和峰度，與蒙特卡洛方法1×106個(gè)樣本量得出的結(jié)果非常接近，最大相對(duì)誤差出現(xiàn)在組合4中對(duì)偏度的估計(jì)，為5.43%。結(jié)果表明，本文方法不僅適用于組成環(huán)尺寸變量分布為正態(tài)的情況，還適用于非正態(tài)分布的情況同樣適用；并且本文方法的計(jì)算樣本量為27,這與蒙特卡洛方法動(dòng)輒十萬、百萬的樣本量需求相比，本文方法在計(jì)算次數(shù)和效率上具有明顯優(yōu)勢(shì)，在保證計(jì)算精度的前提下彌補(bǔ)了蒙特卡洛法在計(jì)算效率上的不足。

在計(jì)算得到裝配響應(yīng)的均值、方差、偏度和峰度后，根據(jù)Pearson分布理論，應(yīng)用MATLAB中的Pearsrnd函數(shù)進(jìn)行1×106的模擬，得到裝配間隙的分布如圖2所示，其中a為本文方法得到的分布圖，b為蒙特卡洛方法得到的分布圖。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，用本文方法得出的分布圖和用蒙特卡洛方法得出的分布圖的吻合度很高。

3.2 裝配成功率計(jì)算

根據(jù)Pearson統(tǒng)一模型和表6中的數(shù)據(jù)，用本文改進(jìn)的田口試驗(yàn)法得到的各個(gè)組合下裝配間隙δ的分布類型如表7中第2行所示，并且各個(gè)組合下分布的統(tǒng)計(jì)系數(shù)已知，由此計(jì)算的裝配成功率如表7第3行所示。表7同時(shí)給出了進(jìn)行1×106次蒙特卡洛模擬得出的裝配成功率。

表7 裝配成功率計(jì)算結(jié)果

通過對(duì)比可見，裝配成功率為P=Pr(2.8 mm≤δ≤3.2 mm)時(shí)，用本文改進(jìn)的田口試驗(yàn)法計(jì)算得出的裝配成功率與經(jīng)過1×106次蒙特卡洛模擬得出的結(jié)果非常接近，4種組合中的最大相對(duì)誤差僅為0.06%，證明在對(duì)裝配成功率進(jìn)行估算時(shí)，本文改進(jìn)的田口試驗(yàn)法在計(jì)算精度上與蒙特卡洛方法相當(dāng)。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)傳統(tǒng)的田口試驗(yàn)方法在公差分析中缺乏理論證明、只對(duì)尺寸分布為正態(tài)分布的情況有效、無法準(zhǔn)確估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的高階矩等缺點(diǎn)，提出改進(jìn)的田口試驗(yàn)方法。在理論推導(dǎo)證明的基礎(chǔ)上，結(jié)合Pearson分布理論，建立了裝配公差分析模型，形成了基于改進(jìn)田口試驗(yàn)法的裝配公差分析方法。將該方法應(yīng)用于某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪轉(zhuǎn)子的徑向裝配公差分析，通過與蒙特卡洛仿真結(jié)果對(duì)比，證明了本文方法的有效性和實(shí)用性。

本文用到了三水平全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)，所需的試驗(yàn)次數(shù)為27次，當(dāng)組成環(huán)數(shù)量較多時(shí)(N≥10)，所需的試驗(yàn)次數(shù)將會(huì)呈指數(shù)增長(zhǎng)，使計(jì)算效率大大降低。針對(duì)該問題，可通過采用兩水平部分因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)代替三水平全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)，來減少試驗(yàn)次數(shù)和計(jì)算量，未來還可以考慮實(shí)現(xiàn)該方法的軟件功能模塊應(yīng)用。

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