張云正，曾建潮，張曉紅，薛頌東

(1.太原科技大學(xué) 工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所,山西 太原 030024;2.中北大學(xué) 大數(shù)據(jù)與視覺計算研究所，山西 太原 030051)

0 引言

建筑施工機(jī)械設(shè)備日漸復(fù)雜導(dǎo)致購置費(fèi)用高昂，對維護(hù)專業(yè)化水平提出了更高的要求，施工單位轉(zhuǎn)而尋求設(shè)備承租，由租賃商負(fù)責(zé)設(shè)備的維修維護(hù)。維修方式分為故障后維修和預(yù)防性維修兩類[1]。故障后維修多為小修，即將故障設(shè)備恢復(fù)到工作狀態(tài)而不改變故障率。若小修時間超過租賃商與施工單位(客戶)的協(xié)議約定，則應(yīng)按照所超時間收取租賃商罰金，以彌補(bǔ)客戶停工期間造成的損失。因此，租賃商采用開銷較小的預(yù)防維修降低故障率，以避免故障引起的高昂費(fèi)用。頻繁預(yù)防維修雖可有效減少故障次數(shù)，但會導(dǎo)致總的維修費(fèi)用過高，故需權(quán)衡故障與維修成本，給出最優(yōu)預(yù)防維修策略。已有的租賃設(shè)備預(yù)防維修優(yōu)化研究多針對單設(shè)備系統(tǒng)，研究其周期性[2-6]和順序性[1,7]維修策略、完美維修和非完美維修[8-10]效果，其中多以役齡的回退[4-5,10-15]和故障率的回退[1,7,16]進(jìn)行維修效果建模。相應(yīng)地，以租賃商維修開銷最小[1-5,7-11,16]或利潤最大[6,12-14]為目標(biāo)的預(yù)防維修優(yōu)化研究，同樣多針對單設(shè)備系統(tǒng)展開，較少關(guān)注多設(shè)備維修問題?，F(xiàn)有的多設(shè)備租賃維修優(yōu)化研究被視為單設(shè)備租賃維修優(yōu)化的簡單疊加，即將客戶數(shù)量看作與維修服務(wù)質(zhì)量無關(guān)的常量，多設(shè)備租賃維修僅是單設(shè)備租賃維修乘以該常量。多設(shè)備租賃維修需要考慮如何提供滿意的服務(wù)來吸引更多的客戶，從而租出更多設(shè)備，即客戶數(shù)量應(yīng)為受維修服務(wù)影響的變量。對于最小化開銷的單設(shè)備租賃預(yù)防維修，Yeh等[1]、Pongpech等[2]、Zhou等[5]、李林等[7]、Jaturonnatee等[8]、金琳等[11]分別建立了各自的維修開銷模型，這些模型中總開銷的構(gòu)成涉及預(yù)防性維修費(fèi)用、故障后維修費(fèi)用、故障后維修超時罰金和故障次數(shù)罰金；Yeh等[3-4,9-10]認(rèn)為，總開銷由預(yù)防性維修費(fèi)用、故障后維修費(fèi)用和維修超時罰金構(gòu)成，但未考慮故障次數(shù)罰金；Zhou等[16]的維修開銷則考慮了預(yù)防性維修費(fèi)用、故障后維修費(fèi)用和故障次數(shù)罰金，未考慮維修超時罰金，但考慮了設(shè)備更新費(fèi)用。在最大化租賃利潤的單設(shè)備預(yù)防維修方面，Chang等[6]提出的利潤模型同時考慮了收入和支出，其中收入包括租金和租賃結(jié)束后設(shè)備的剩余價值，開銷則包括設(shè)備購置費(fèi)、預(yù)防性維修開銷、故障后維修開銷和維修超時罰金等；楊愛峰等[12]認(rèn)為，預(yù)防性維修可以回退設(shè)備役齡、提高設(shè)備剩余價值、增大利潤；Yeh等[13]認(rèn)為一個租賃周期結(jié)束后，租賃商為了吸引顧客而給予租金折扣，使單位周期租金越來越少，故需優(yōu)化租賃周期數(shù)?？梢?，現(xiàn)有的租賃設(shè)備預(yù)防維修模型均未考慮預(yù)防維修服務(wù)質(zhì)量和客戶數(shù)量的關(guān)系。實際上，在租金和設(shè)備性能確定的前提下，通過為客戶提供良好的維修服務(wù)能夠吸引更多客戶，增大其租賃意愿，最大化租賃商利潤。因此，本文假設(shè)租金和設(shè)備性能確定，研究租賃商利潤與客戶數(shù)量的關(guān)系以及相關(guān)的預(yù)防性維修策略。

客戶數(shù)量與客戶滿意度關(guān)系密切，客戶滿意度是優(yōu)化維修策略的重要因素[17]?？蛻魸M意度認(rèn)知涉及主客觀因素，本質(zhì)上源于預(yù)防維修服務(wù)質(zhì)量。格魯羅斯[18]認(rèn)為，服務(wù)質(zhì)量是客戶感知的質(zhì)量，取決于客戶期望的服務(wù)質(zhì)量和實際接收的服務(wù)質(zhì)量之間的差距。客戶實際接收的服務(wù)質(zhì)量稱為客觀服務(wù)績效，客戶期望的服務(wù)質(zhì)量稱為主觀期望。當(dāng)客觀服務(wù)績效高于或等于主觀期望時，客戶感知的服務(wù)質(zhì)量良好；反之，當(dāng)客戶的主觀期望過高時，即便客觀服務(wù)績效良好，客戶可能仍不滿意服務(wù)質(zhì)量。

鑒于施工單位對承租設(shè)備的可靠度非常重視，本文從施工機(jī)械的可靠度角度評價維修服務(wù)質(zhì)量，借鑒朱海華[19]采用平均無故障時間表征設(shè)備可靠度的做法，用平均無故障時間表征維修服務(wù)績效，并將維修服務(wù)質(zhì)量評估方法和客戶數(shù)量預(yù)測模型引入Yeh等[1]的預(yù)防性維修策略。在評估得到量化的服務(wù)質(zhì)量后，預(yù)測有意愿承租設(shè)備的客戶數(shù)量，進(jìn)而得到租賃商利潤期望。最后，以租賃商利潤期望最大化為目標(biāo)，使用一維取整一維實數(shù)的微粒群算法優(yōu)化預(yù)防維修策略。

1 系統(tǒng)假設(shè)

假設(shè)租賃設(shè)備的故障過程是非齊次泊松過程，沒有進(jìn)行預(yù)防維護(hù)時，故障率h(t)隨著時間單調(diào)遞增且h(0)=0；本文以故障率服從威布爾分布為例[1-2,8]，則故障過程符合非齊次泊松過程；租賃期內(nèi)預(yù)防維修和故障后維修服務(wù)產(chǎn)生的費(fèi)用均由租賃商承擔(dān)；若發(fā)生故障則進(jìn)行小修，費(fèi)用固定，修復(fù)前后的設(shè)備故障率相同；順序預(yù)防維修的修復(fù)效果以故障率回退表示，預(yù)防性維修費(fèi)用與修復(fù)效果成正比。故障次數(shù)和小修超時均產(chǎn)生罰金。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步有如下假設(shè)：

(1)租賃過程 假設(shè)租賃商有足夠多的設(shè)備可供出租，每臺設(shè)備在某時段內(nèi)僅可供一個客戶租賃，每個客戶只租賃一次，每次只租賃一臺設(shè)備，設(shè)備租期相同，則認(rèn)為租賃的設(shè)備數(shù)等于客戶數(shù)。于是，租賃收入可表示為：總租金=單位時間租金×租期×租賃設(shè)備數(shù)。

(2)客戶期望 為了評估維修服務(wù)質(zhì)量，引入服務(wù)績效這一客觀評價，與客戶的主觀期望之差作為服務(wù)質(zhì)量的評價指標(biāo)。不難發(fā)現(xiàn)，若客戶的主觀期望很高，即使租賃商提供了較好的服務(wù)績效，客戶仍然認(rèn)為服務(wù)質(zhì)量差；若客戶的主觀期望較低，租賃商即便提供的服務(wù)績效適中，客戶也會認(rèn)為服務(wù)質(zhì)量好。假設(shè)客戶期望用隨機(jī)變量Fs表示，其服從正態(tài)分布N(μs,σs)。

(3)客戶租賃意愿 假設(shè)僅考慮維修服務(wù)質(zhì)量對客戶租賃意愿的影響?？蛻舾兄木S修服務(wù)質(zhì)量高于閾值Sf時，對維修服務(wù)表示滿意且愿意租賃設(shè)備，否則不愿意租賃。

(4)客戶租期 假設(shè)所有客戶租期相同，不考慮租期變化的情況。

2 模型建立

2.1 基本維修策略

為了降低故障次數(shù)，租賃商在租賃期內(nèi)進(jìn)行n次預(yù)防維修，第i次預(yù)防維修的時刻為ti，設(shè)備故障率回退固定量δ≥0，且0

Cpm(δ)=a+bδ,a>0,b>0。

(1)

式中：a為預(yù)防維修固定開銷，bδ為可變開銷。

相比于租賃期，小修和預(yù)防維修所需的時間很短。因此，研究設(shè)備故障率變化時，二者所需的時間可忽略不計。而小修超過規(guī)定值τ時，會對客戶施工過程產(chǎn)生影響，需對超時部分收取罰金。

不進(jìn)行預(yù)防維修時，小修不改變故障率h(t)，故障過程是非齊次泊松過程，[0,t]內(nèi)的故障次數(shù)

(2)

在第i次預(yù)防維修后，設(shè)備的故障率變?yōu)閔(ti)-iδ≥0,i=1,2,…,n，如圖1[1]所示。

因此，基本維修策略下租賃期內(nèi)的故障次數(shù)[1]

(3)

租賃期內(nèi)的維修開銷包括小修開銷、預(yù)防維修開銷和罰金[1]：

2.2 維修服務(wù)質(zhì)量評估

前文述及維修服務(wù)質(zhì)量是客觀服務(wù)績效和客戶主觀期望的差值?？陀^服務(wù)績效可用服務(wù)可靠性度量，朱海華[19]采用平均無故障時間(mean time to failure, MTTF)作為可靠性的衡量指標(biāo)。租期內(nèi)的平均無故障時間為租期與故障次數(shù)之商：

(5)

(6)

前面已假設(shè)客戶對維修服務(wù)的主觀期望Fs服從正態(tài)分布N(μs,σs)，其中μs表示客戶群體的期望均值，σs表示標(biāo)準(zhǔn)差，則服務(wù)質(zhì)量可表示為

Qr=Ls-Fs。

(7)

因為Ls是需要優(yōu)化的確定量，F(xiàn)s是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，所以維修服務(wù)質(zhì)量Qr是服從正態(tài)分布N(μr,σr)的隨機(jī)變量，且數(shù)值特征間存在以下關(guān)系：

(8)

2.3 客戶數(shù)量

設(shè)客戶對維修服務(wù)質(zhì)量的滿意閾值為Sf，客戶不滿意租賃商的維修服務(wù)時，無意愿租賃設(shè)備。因此有意愿租賃設(shè)備的客戶比例

(9)

設(shè)潛在客戶規(guī)模為α，則有意愿租賃設(shè)備的客戶數(shù)量為

2.4 租賃利潤

本文將Chang提出的單設(shè)備利潤模型及其費(fèi)用組成[11]擴(kuò)展到多設(shè)備，分別計算多設(shè)備的租金收益、剩余價值、維修開銷和設(shè)備購置費(fèi)，以便計算總利潤。

(1)租金 租賃商的租金收益

P=L×W×αr。

(11)

式中：W為單位租金，αr為客戶數(shù)量。

(2)租賃結(jié)束設(shè)備的剩余價值 將Chang等[11]提出的單設(shè)備剩余價值乘以客戶數(shù)量αr，得到多設(shè)備的剩余價值

(12)

(3)維修開銷和設(shè)備購置費(fèi) 將式(4)所示的單設(shè)備維修開銷模型乘以客戶數(shù)量αr即得到多設(shè)備維修開銷：

nCpm(δ)}×αr。

(13)

此外，設(shè)備購置費(fèi)V與租期長短和維修策略均無關(guān)，設(shè)其為常數(shù)。

2.5 利潤模型

租賃商的收入為

租賃商的支出為

(15)

收支相抵，可得租賃商的利潤

(16)

3 模型求解

3.1 確定預(yù)防維修時刻的確定

將式(3)代入式(16)，得到

E[TP]=E[TR]-E[TC]=Pr×αr

(17)

式中Pr表示租賃商從一個客戶所得的利潤，

(18)

欲確定利潤最大化對應(yīng)的最佳預(yù)防維修時刻ti，需將利潤E[TP]對ti求導(dǎo)：

(19)

對Pr求導(dǎo)，得

(20)

將租賃設(shè)備的客戶數(shù)量(式10)對αr求導(dǎo)得

(21)

(22)

(23)

g2(x)具有性質(zhì)-ɡ2(μr-x)=ɡ2(μr+x);再將式(21)中被積分部分定義為

推薦理由:國內(nèi)第一本育兒早教音頻書，跟兒科專家輕松掌握育兒新知識、新理念，學(xué)習(xí)國內(nèi)外先進(jìn)育兒經(jīng)驗。一本有態(tài)度、有溫度、有深度的育兒書，專家一線經(jīng)驗分享，教你輕松搞定寶寶養(yǎng)育中的10大問題，針對寶寶喂養(yǎng)護(hù)理，疾病預(yù)防，智商、情商及運(yùn)動發(fā)育。

(24)

ɡ3(x)具有性質(zhì)-ɡ3(μr-x)=ɡ3(μr+x),且當(dāng)x>μr時ɡ3(x)>0,當(dāng)x<μr時ɡ3(x)<0,當(dāng)x=μr時ɡ3(x)=0。 因此，以μr為中心在區(qū)域(μr-B,μr+B)對ɡ3(x)進(jìn)行積分，可得

(25)

根據(jù)物理意義，服務(wù)質(zhì)量均值μr不可能逼近+∞，客戶滿意閾值Sf也不可能逼近-∞，因此

|μr-Sf|?|+∞-μr|=+∞;

(26)

(27)

h(ti)-iδ≥0(i=1,…,n)

(28)

時，越早進(jìn)行預(yù)防維修，越能盡早消除潛在故障，從而提高設(shè)備的可靠性。換言之，優(yōu)質(zhì)的預(yù)防維修服務(wù)能夠吸引更多客戶,從而增加設(shè)備出租數(shù)量。

對利潤E[TP]求導(dǎo)：

(29)

3.2 預(yù)防維修次數(shù)和修復(fù)程度的優(yōu)化

j=1,2。

(30)

4 案例分析

為驗證本文所研究模型的優(yōu)越性，將Yeh的未考慮維修服務(wù)質(zhì)量的研究[1]與本文考慮維修服務(wù)質(zhì)量的研究進(jìn)行比較分析，其中Yeh的模型記作mode1，本文模型記作mode2，在此基礎(chǔ)上將本文模型進(jìn)行工程應(yīng)用實例驗證來表明其實用性。數(shù)值實驗內(nèi)mode1和mode2的租金、租期和凈殘值等參數(shù)均相同。

4.1 數(shù)值案例

假設(shè)租賃設(shè)備故障率服從威布爾分布h(t)=λβ(λt)β-1，λ=0.5，β=1.5；小修時間Tm服從威布爾分布(2,0.5)；潛在客戶總數(shù)α=1 000；客戶的主觀期望Fs服從正態(tài)分布N(μs,σs)，μs=0.83，0.85，0.87，σs=0.2；客戶滿意閾值Sf=0.02；租賃期L=3，單位租金W=700，設(shè)備購置費(fèi)V=1 000，設(shè)備凈殘值Vd=20，設(shè)備壽命td=20，小修平均開銷Cr=300，故障次數(shù)的單位懲罰開銷CΛ=100，小修時間超過規(guī)定值τ=2后的單位時間懲罰開銷Cτ=200，預(yù)防維修開銷Cpm(δ)=a+bδ=100+50δ。分別使用mode1和mode2進(jìn)行計算并比較，結(jié)果如表1所示。

表1 不同主觀期望均值μf下mode1和mode2的預(yù)防維修策略

由表1可見，由于mode1不考慮維修服務(wù)質(zhì)量對客戶數(shù)量和利潤的影響，改變客戶主觀期望的均值μs時，預(yù)防維修次數(shù)n、修復(fù)效果δ、預(yù)防維修時刻ti和服務(wù)績效Ls等均保持不變。當(dāng)主觀期望均值μs從0.83依次增大到0.85和0.87時，租賃商的服務(wù)績效不變，mode1的服務(wù)質(zhì)量Qr均值μr相應(yīng)地從0.028 1下降到0.008 1和-0.011 9(如圖2)，因此客戶數(shù)量從657依次降到275和55(如圖3)；相應(yīng)地，利潤從973 220依次降到407 360和81 472(如圖4)。

在本文策略mode2中，當(dāng)客戶主觀期望上升時，租賃商會相應(yīng)地提高維修服務(wù)績效，保持較高的服務(wù)質(zhì)量，以吸引較多的客戶，從而提升租賃利潤。因此，當(dāng)客戶的主觀期望均值μs從0.83依次提高到0.85和0.87時，租賃商的服務(wù)績效Ls相應(yīng)增大，取值從0.8917, 0.9123上升為0.9264，以滿足客戶不斷上升的期望，使服務(wù)質(zhì)量均值μr高于mode1的μr,如圖2所示。高水平的服務(wù)質(zhì)量可以吸引更多客戶，因此客戶數(shù)量遠(yuǎn)高于mode1的客戶數(shù)量，如圖3所示?？蛻魯?shù)量多意味著租賃利潤大，故而mode2的利潤亦遠(yuǎn)高于mode1的利潤，如圖4所示。

由以上實驗可知，mode1按照單設(shè)備租賃維護(hù)的方式來管理多設(shè)備，在客戶主觀期望變化時保持既定的維修績效不變，造成客戶顯著流失。而mode2隨客戶期望的提高相應(yīng)提高服務(wù)績效，使客戶數(shù)量基本保持穩(wěn)定，租賃利潤遠(yuǎn)大于mode1。但是應(yīng)該注意到，由于mode2隨著客戶主觀期望μs的提高而提高預(yù)防維修績效，其單個設(shè)備的維修開銷上升，如圖5所示，可見在最小化維修開銷方面mode1更優(yōu)。為了提高服務(wù)質(zhì)量以吸引更多客戶，mode2不得不增加預(yù)防維修次數(shù)和維修開銷，故而需要較多的能耗與資源，如何在提高服務(wù)質(zhì)量和節(jié)能減排之間得到平衡，是下一步研究要解決的問題。

4.2 工程實例

以工程吊車出租應(yīng)用為例，采用文獻(xiàn)[11]給出的工程實例數(shù)據(jù)，吊車故障率服從威布爾分布，h(t)=λβ(λt)β-1，其中λ=0.025，β=3，租賃期L=300，小修平均開銷Cr=500，故障次數(shù)的單位懲罰開銷CΛ=300，小修時間超過規(guī)定值τ=2后的單位時間懲罰開銷Cτ=100。預(yù)防維修開銷Cpm=1 000，為使文獻(xiàn)[11]的參數(shù)定義與本文假設(shè)一致，定義a=1 000，b=0，則Cpm(δ)=a+bδ=1 000+0δ=1 000。為引用服務(wù)質(zhì)量建模，需補(bǔ)充如下數(shù)據(jù)：故障后維修時間Tm服從威布爾分布(2,0.5)，潛在客戶總數(shù)α=1 000，客戶的主觀期望Fs服從正態(tài)分布N(μs,σs)，μs=0.9，0.92，0.94，σs=0.02，客戶滿意閾值Sf=0.01，單位租金W=1 000，設(shè)備購置費(fèi)V=10 000，設(shè)備凈殘值Vd=200，設(shè)備壽命td=400。

按mode2進(jìn)行計算，結(jié)果如表2所示，表中僅列出第10，20，30，40，50，60，70次的預(yù)防維修時刻。由實驗結(jié)果可知，mode2通過提升服務(wù)質(zhì)量增加了客戶數(shù)量，進(jìn)而增大了租賃商的利潤。當(dāng)主觀期望均值μs從0.9依次提高到0.92和0.94時，租賃商的服務(wù)績效Ls相應(yīng)地從0.951提高到0.963 4和0.972 7，以滿足客戶不斷提高的期望，前后的服務(wù)質(zhì)量均值μr分別為0.051，0.043 4和0.032 7。服務(wù)質(zhì)量較高可以吸引較多的客戶，因此平均客戶數(shù)量較大，分別為980，952和872，利潤則保持在較好的水平，分別為2.378×108，2.209 2×108和1.879 7×108。這些結(jié)果說明，本文策略mode2具有實用性。

表2 不同主觀期望均值μf下mode2的預(yù)防維修策略

5 結(jié)束語

在建筑施工機(jī)械設(shè)備的租賃過程中，租賃商所提供的維修服務(wù)的好壞決定了客戶是否愿意租賃設(shè)備，進(jìn)而決定了租賃商的收入和利潤。因此，本文在考慮客戶期望和維修績效的基礎(chǔ)上，提出維修服務(wù)質(zhì)量評估方法和客戶數(shù)量預(yù)測模型，將其引入順序預(yù)防維修策略并進(jìn)行優(yōu)化，旨在最大化租賃商的利潤。使用MATLAB軟件對一維取整一維實數(shù)的微粒群算法進(jìn)行求解，數(shù)值仿真結(jié)果表明,本文策略較現(xiàn)有策略能夠顯著提高租賃商的利潤。

為了提高維修服務(wù)質(zhì)量以吸引更多客戶，增加了單設(shè)備預(yù)防維修次數(shù)和維修開銷，從而增大了能耗和資源需求，如何在提高維修服務(wù)質(zhì)量的同時兼顧節(jié)能減排，是下一步要研究的問題。此外，由于現(xiàn)實中客戶租期長短不一，而本文假設(shè)客戶租期相同，故租期不同時的租賃利潤最大化問題也是下一步要研究的主要問題之一。同時，本文僅考慮維修服務(wù)質(zhì)量對客戶數(shù)量的影響，未來研究還需要綜合考慮租賃價格、設(shè)備性能、品牌口碑等因素對客戶數(shù)量的影響。

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