江文奇, 祁晨晨, 王晨晨

(南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院江蘇產(chǎn)業(yè)集群決策咨詢研究基地, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

1986年,文獻(xiàn)[1]拓展了模糊集理論,運(yùn)用隸屬度、非隸屬度和猶豫度來(lái)全面表征評(píng)估者的判斷,更加符合現(xiàn)實(shí)情形,已在聚類分析、模式識(shí)別、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。在多準(zhǔn)則決策問(wèn)題中,直覺(jué)模糊集(intuitionistic fuzzy sets,IFS)的相似度是決策的重要因素之一,對(duì)決策結(jié)果產(chǎn)生重要影響,如何設(shè)計(jì)IFS的相似度成為重要的研究問(wèn)題。

較為經(jīng)典的IFS的相似度度量主要采用距離測(cè)度模型。如文獻(xiàn)[2-3]早期提出了相似度度量距離模型;文獻(xiàn)[4]分析了兩個(gè)模型的缺點(diǎn)并進(jìn)行了改進(jìn);文獻(xiàn)[5]運(yùn)用歐式距離進(jìn)行度量;文獻(xiàn)[6]給出了IFS相似度的定義,并將模糊集的相似度量方法推廣到IFS;文獻(xiàn)[7] 指出文獻(xiàn)[6]中相似度的應(yīng)用局限性,并提出新的相似度;文獻(xiàn)[8]基于Hausdorff距離構(gòu)建直覺(jué)模糊相似度;文獻(xiàn)[9]則構(gòu)建了含有猶豫度的相似度模型;文獻(xiàn)[10]分析了上述相似度不符合直覺(jué)思維問(wèn)題,基于Lp度量提出新的相似度;文獻(xiàn)[11]針對(duì)相似度的距離度量可能導(dǎo)致反直覺(jué)的情形,提出了基于層次的相似度度量方法。為了降低距離測(cè)量中的信息損失,文獻(xiàn)[12-13]將IFS轉(zhuǎn)化為直角三角形的重心和三角模糊數(shù),提出相似性度量模型;文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步基于轉(zhuǎn)換的直角三角模糊數(shù)的中心點(diǎn)來(lái)測(cè)量相似度。

為了規(guī)避距離測(cè)度可能造成的識(shí)別和比較困難問(wèn)題,文獻(xiàn)[15]從集合論的觀點(diǎn)出發(fā)構(gòu)建直覺(jué)模糊相似度;文獻(xiàn)[16]提出了余弦相似度測(cè)量方法;文獻(xiàn)[17]則提出了基于余弦相似度和歐幾里德距離的相似性度量模型;文獻(xiàn)[18]提出基于Frank t-范數(shù)族的直覺(jué)模糊相似性度量;文獻(xiàn)[19]考慮了猶豫度因素,提出了運(yùn)用相關(guān)系數(shù)表示相似度;文獻(xiàn)[20]利用模糊蘊(yùn)含算子和集合基數(shù)提出基于包含度的相似性度量方法;文獻(xiàn)[21]綜合考慮了隸屬度、非隸屬度、猶豫度和直覺(jué)指數(shù)對(duì)隸屬度函數(shù)的影響,提高了匹配精度;文獻(xiàn)[22]基于Sugeno積分提出新的相似度;文獻(xiàn)[23]基于匹配函數(shù)提出新的相似性度量方法;為了識(shí)別不確定性,文獻(xiàn)[24]提出了新的IFS之間相似性度量的公理化定義,并從相似性和猶豫性2個(gè)方面構(gòu)造二元組相似性度量;文獻(xiàn)[25]為較好區(qū)分IFS而提出新的相似度模型;文獻(xiàn)[26]則基于限制IFS隸屬度的區(qū)間端點(diǎn)凸組合來(lái)定義相似度;文獻(xiàn)[27]提出了基于知識(shí)測(cè)度的相似性度量方法來(lái)評(píng)估IFS和互補(bǔ)集之間最相似和最不相似的情況;文獻(xiàn)[28]提出基于激活檢測(cè)的相似性度量方法;文獻(xiàn)[29]基于隸屬度函數(shù)、非隸屬度函數(shù)、猶豫度函數(shù)和隸屬度函數(shù)的上界定義相似度;文獻(xiàn)[30]提出了基于鄰域的相似度構(gòu)建方法,并應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域;文獻(xiàn)[31]基于最大最小算子提出直覺(jué)模糊相似性度量。

在考慮權(quán)重的情形下,文獻(xiàn)[32]提出了基于距離測(cè)度的加權(quán)相似度測(cè)量方法;文獻(xiàn)[33]利用聚合函數(shù)整合現(xiàn)有的距離測(cè)量并賦予權(quán)重;文獻(xiàn)[34]認(rèn)為相似度越低權(quán)重越低,并提出直覺(jué)模糊有序加權(quán)余弦相似性度量;文獻(xiàn)[35]針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中元素間一般相互關(guān)聯(lián)的問(wèn)題,提出用Shapley加權(quán)相似度來(lái)處理這種特性間的交互作用;文獻(xiàn)[36]提出了用IFS表示的加權(quán)相似度,可以降低信息損失,更能反映IFS的特性。

上述研究文獻(xiàn)分別從不同角度提出了相似度度量模型,有利于實(shí)現(xiàn)直覺(jué)模糊型多準(zhǔn)則決策。然而,部分文獻(xiàn)提出的相似度模型并不符合相似度的具體特征或者沒(méi)有考慮一般情形下的相似度特征,導(dǎo)致相似度結(jié)果無(wú)法真正體現(xiàn)其具體特征。于是,本文首先考慮了一般情形下IFS的相似度的具體特征,分析現(xiàn)有相似度函數(shù)與該特征的匹配度,進(jìn)而提出一種新的IFS相似度測(cè)量方法,最后通過(guò)算例分析和靈敏度分析來(lái)闡明本方法的優(yōu)越性和應(yīng)用價(jià)值。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)X是一個(gè)給定論域,則X上的一個(gè)IFS為A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}。其中μA(x)和vA(x)分別為X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度,μA:X→[0,1],vA:X→[0,1],且滿足條件0≤μA(x)+vA(x)≤1,x∈X。稱πA(x)=1-μA(x)-vA(x)為X中元素x屬于A的猶豫度。

定義2[1]設(shè)A和B是給定論域X上的IFS,則有:

(1) IFS相等關(guān)系:A=B當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈X,有μA(x)=μB(x),vA(x)=vB(x)。

(2) IFS包含關(guān)系:A?B當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈X,有μA(x)≤μB(x),vA(x)≥vB(x)。

(3) IFS的交:A∩B= {〈x,min(μA(x),μB(x)),max(vA(x),vB(x))|?x∈X〉}。

(4) IFS的并:A∪B= {〈x,max(μA(x),μB(x)),min(vA(x),vB(x))|?x∈X〉},文獻(xiàn)[6]首先定義了IFS的相似度(條件1～條件3、條件5),文獻(xiàn)[20]在此基礎(chǔ)上完善了相似度性質(zhì),添加了條件4。IFS相似度定義如下:

定義3[6]設(shè)S是一個(gè)映射,且S:IFS(X)×IFS(X)→[0,1]。稱S(A,B)為IFSA∈IFS(X)和B∈IFS(X)間的相似度,S(A,B)滿足以下條件:

條件10≤S(A,B)≤1;

條件2S(A,B)=1，當(dāng)且僅當(dāng)A=B;

條件3S(A,B)=S(B,A);

條件4S(A,B)=0，當(dāng)且僅當(dāng)A=〈0,1〉,B=〈1,0〉或A=〈1,0〉,B=〈0,1〉;

條件5如果A?B?C,則S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

定義4[37-38]設(shè)A=〈μA(x),vA(x)〉,B=〈μB(x),vB(x)〉是2個(gè)IFS,則MA(x)和MB(x)分別是A和B的記分函數(shù);HA(x)和HB(x)分別是A和B的精確函數(shù)。其中MA(x)=μA(x)-vA(x),MB(x)=μB(x)-vB(x);HA(x)=μA(x)+vA(x),HB(x)=μB(x)+vB(x)。則2個(gè)IFSA和B的比較為:

(1)若MA(x)

(2)若MA(x)>MB(x),則A>B;

(3)若MA(x)=MB(x),則

①HA(x)

②HA(x)>HB(x)時(shí),A>B。

為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),若IFSA={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}只有一個(gè)元素,常將A簡(jiǎn)寫為A=〈μA(x),vA(x)〉。以下記μA表示μA(x),μB表示μB(x),vA表示vA(x),vB表示vB(x)。則現(xiàn)有IFS相似度函數(shù)的度量方法列舉如下:

(1)文獻(xiàn)[2]定義相似度為

(1)

(2)文獻(xiàn)[3]定義相似度為

(2)

(3)文獻(xiàn)[4]在文獻(xiàn)[2-3]的基礎(chǔ)上提出新的相似度公式，即

|(μA-μB)|+|(vA-vB)|]

(3)

(4)文獻(xiàn)[5]基于歐幾里德距離提出新的相似度，即

(4)

(5)文獻(xiàn)[6]給出了相似度的公理化定義,并提出了新的相似度，即

(5)

(6)文獻(xiàn)[9]考慮了猶豫度,定義相似度為

SLH(A,B)=

(6)

式中,p≥1。

(7) 文獻(xiàn)[10]基于Lp度量提出新的相似度，即

(7)

(8) 文獻(xiàn)[32]基于距離測(cè)度提出新的相似度，即

(8)

(9) 文獻(xiàn)[16]提出余弦相似度,即

(9)

(10) 文獻(xiàn)[23]基于匹配函數(shù)提出新的相似度,即

(10)

(11) 文獻(xiàn)[25]提出新的相似度，即

SY(A,B)=

(11)

(12)文獻(xiàn)[12]提出基于雙參數(shù)的相似度度量方法，即

(12)

式中,t=2,3,4,…;p=1,2,3,…。

(13)文獻(xiàn)[13]基于轉(zhuǎn)換的三角模糊數(shù)提出相似度度量模型,即

(13)

式中,Axi是轉(zhuǎn)換的三角模糊數(shù),即Axi=(μA,μA,1-vA)。

(14) 文獻(xiàn)[20]為了降低信息損失且提高區(qū)分度,提出基于傾向性的相似度量方法,即

(14)

(15) 文獻(xiàn)[14]提出基于轉(zhuǎn)換的直角三角模糊數(shù)的中心點(diǎn)來(lái)測(cè)量IFSs之間相似度，即

(15)

(16) 文獻(xiàn)[13]提出基于余弦相似度和歐幾里德距離的相似度，即

(16)

(17) 文獻(xiàn)[11]為提高分類準(zhǔn)確度,給出新的相似度,即

Sh(A,B)=

(17)

(18) 文獻(xiàn)[27]基于知識(shí)測(cè)度提出相似度測(cè)量方法，即

SK(A,B)=

(18)

2 現(xiàn)有相似度函數(shù)分析

針對(duì)定義3中的條件5,要滿足A?B?C則μA≤μB≤μC,vA≥vB≥vC,這種假設(shè)在現(xiàn)實(shí)中很難成立。很多IFS并不滿足上述強(qiáng)假設(shè),而記分函數(shù)可以表征一般情形下IFS的順序,擴(kuò)展條件5,即:

條件6如果MA≤MB≤MC,則:S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C);

條件7如果MA=MB=MC,HA≤HB≤HC時(shí),則S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

基于擴(kuò)展的定義3的7個(gè)條件,現(xiàn)有的相似度存在一些缺陷,主要表現(xiàn)在:

(1)SC,SDC,SIFS,SW不滿足條件2。例如:A=〈0.3,0.3〉,B=〈0.4,0.4〉時(shí),顯然A≠B,但SC(A,B)=SDC(A,B)=SIFS(A,B)=SW(A,B)=1。當(dāng)μA=vA=0或者μB=vB=0時(shí),分母為0,則SIFS值不存在,如A=〈0.5,0.5〉,B=〈0,0〉。SC與SDC不滿足條件7,如A=〈0.3,0.2〉,B=〈0.4,0.3〉,C=〈0.5,0.4〉時(shí),S(A,B)=S(A,C)=S(B,C)=1。

(2)SLH不滿足條件4。如A=〈0.5,0.5〉,B=〈0,0〉,C=〈1,0〉時(shí),可以得SLH(A,B)=SLH(B,C)=0不成立。同例,對(duì)于Sp和SK條件也不成立。

(3)SK不滿足條件1和條件5。如果A=〈0.3,0.4〉,B=〈0.4,0.3〉得SK(A,B)=-1<0;如果A=〈0.3,0.3〉,B=〈0.3,0.2〉,C=〈0.4,0.2〉,此時(shí)A?B?C,應(yīng)有S(A,C)≤S(B,C),然而SK(A,C)=0.99>SK(B,C)=0.907。Sp也不滿足條件5,如A=〈0.3,0.3〉,B=〈0.3,0.2〉,C=〈0.4,0.2〉,得Sp(A,B)=0.92

于是,比較上述相似度函數(shù)與本文定義的7個(gè)條件的匹配程度,如表1所示。

表1 現(xiàn)有文獻(xiàn)約束條件滿足情況

由表1可知,上述相似度函數(shù)不完全滿足定義3的條件及本文增加的2個(gè)條件,因此有必要重新設(shè)計(jì)新的相似度函數(shù)且其必須完全滿足7個(gè)條件。

3 新的相似度函數(shù)設(shè)計(jì)

設(shè)A=〈μA,vA〉,B=〈μB,vB〉是2個(gè)IFS,定義A與B之間的相似度為

S(A,B)=1-[|(μA-vA)-(μB-vB)|+

|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3]/4

(19)

定理1式(19)定義的S(A,B)是一個(gè)直覺(jué)模糊相似度,滿足條件1～條件7。

證明(1)針對(duì)條件1,因?yàn)?/p>

-1≤μA-vA≤1,-1≤μB-vB≤1?

0≤|(μA-vA)-(μB-vB)|≤2;

由于

-1≤2μA-vA≤2,-1≤2μB-vB≤2?

0≤|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3≤1;

同理,0≤|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3≤1。

所以

|(μA-vA)-(μB-vB)|+|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3≤4?S(A,B)≥0

因此,0≤S(A,B)≤1。

(2)條件2顯然成立。

(3)針對(duì)條件3,如果S(A,B)=1,則

|(μA-vA)-(μB-vB)|+|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3=0

于是

μA-vA=μB-vB,2μA-vA=2μB-vB,

2vA-μA=2vB-μB,

所以,μA=μB,vA=vB?A=B。

(4) 針對(duì)條件4,如果S(A,B)=1,則|(μA-vA)-(μB-vB)|+|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3=4,有:|(μA-vA)-(μB-vB)|=2,|(2μA-vA)-(2μB-vB)|=3,|(2vA-μA)-(2vB-μB)|=3,|(μA-μB)-(vA-vB)|=2,|2(μA-μB)-(vA-vB)|=3,|(μA-μB)-2(vA-vB)|=3,?μA-μB=1,vA-vB=-1或者μA-μB=-1,vA-vB=1,因此,A=〈1,0〉,B=〈0,1〉或者A=〈0,1〉,B=〈1,0〉。

(5)針對(duì)條件5,如果A?B?C有μA≤μB≤μC,vA≥vB≥vC,可得:μA-vA≤μB-vB≤μC-vC,于是:2μA-vA≤2μB-vB≤2μC-vC, 2vA-μA≥2vB-μB≥2vC-μC,令

12D(A,B)=3|(μA-vA)-(μB-vB)|+

|(2μA-vA)-(2μB-vB)|+|(2vA-μA)-(2vB-μB)|=

3(μB-vB)-3(μA-vA)+(2μB-vB)-

(2μA-vA)+(2vA-μA)-(2vB-μB)

12D(A,C)=3|(μA-vA)-(μC-vC)|+

|(2μA-vA)-(2μC-vC)|+|(2vA-μA)-(2vC-μC)|=

3(μC-vC)-3(μA-vA)+(2μC-vC)-(2μA-vA)+

(2vA-μA)-(2vC-μC)

于是

12(D(A,B)-D(A,C))=

[3(μB-vB)-3(μC-vC)]+[(2μB-vB)-(2μC-vC)]+

[(2vC-μC)-(2vB-μB)]≤0?

D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)

同理,S(A,C)≤S(B,C)。

(6) 針對(duì)條件6,如果MA≤MB≤MC,則有S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。因?yàn)镸A≤MB≤MC,即μA-vA≤μB-vB≤μC-vC。于是

4D(A,B)=(μB-vB)-(μA-vA)+

|(2μA-vA)-(2μB-vB)|/3+

|(2vA-μA)-(2vB-μB)|/3

4D(A,C)=(μC-vC)-(μA-vA)+

|(2μA-vA)-(2μC-vC)|/3+

|(2vA-μA)-(2vC-μC)|/3

如果

(2μA-vA)-(2μB-vB)<0,

(2vA-μA)-(2vB-μB)>0,

(2μA-vA)-(2μC-vC)<0,

(2vA-μA)-(2vC-μC)>0

因此

4D(A,B)=(μB-vB)-(μA-vA)+

[(2μB-vB)-(2μA-vA)]/3+

[(2vA-μA)-(2vB-μB)]/3

4D(A,C)=(μC-vC)-(μA-vA)+

[(2μC-vC)-(2μA-vA)]/3+

[(2vA-μA)-(2vC-μC)]/3

則

4(D(A,B)-D(A,C))=

(μB-vB)-(μC-vC)+

[(2μB-vB)-(2μC-vC)]/3+

[(2vC-μC)-(2vB-μB)]/3=

2((μB-vB)-(μC-vC))≤0?

D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)

同理,S(A,C)≤S(B,C)。

如果

(2μA-vA)-(2μB-vB)<0,

(2vA-μA)-(2vB-μB)<0,

(2μA-vA)-(2μC-vC)<0,

(2vA-μA)-(2vC-μC)>0

因此

4(D(A,B)-D(A,C))=

(μB-vB)-(μC-vC)+[(2μB-vB)-(2μC-vC)]/3+

[(2vB-μB)-2(2vA-μA)-(2vC-μC)]/3=

2(2μB-vB-3μC+3vC+μA-2vA)/3≤

2(2μB-vB-3μC+3vC+μB-2vB)/3=

2((μB-vB)-(μC-vC))≤0

得到:D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)。同理,S(A,C)≤S(B,C)。

其他幾種情形仍然可以證明。

(7)針對(duì)條件7,如果MA=MB=MC,HA≤HB≤HC,則:S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

上述條件意味著

μA-vA=μB-vB=μC-vC,

μA+vA≤μB+vB≤μC+vC

因此

μA≤μB≤μC,vA≤vB≤vC?

2μA-vA≤2μB-vB,2vA-μA≤2vB-μB

有

12D(A,B)=(2μB-vB)-(2μA-vA)+

(2vB-μB)-(2vA-μA)=(μB+vB)-(μA+vA)

同理,12D(A,C)=(μC+vC)-(μA+vA),

因此,D(A,B)≤D(A,C)?S(A,C)≤S(A,B)

同理,得到S(A,C)≤S(B,C)。

證畢

4 算例研究

通過(guò)比較現(xiàn)有的18種相似度函數(shù)與本文提出的相似度函數(shù),來(lái)說(shuō)明本文方法的有效性,進(jìn)而指出其他相似度函數(shù)可能存在的缺陷,具體如表2所示。

表2 IFS之間的各種相似度量方法比較

(1)如果A=〈0,0〉,B=〈0.5,0.5〉,C=〈1,0〉,依據(jù)記分函數(shù)和精確函數(shù)比較得AS(A,C)。根據(jù)投票模型,10個(gè)人投票,A表示10人都棄權(quán),B表示5人贊成5人反對(duì),C表示10人贊成。如果進(jìn)行二次投票,則A中的棄權(quán)者存在著支持和反對(duì)的傾向,因此A,B比A,C更為相似。

(2)如果A=〈0.3,0.4〉,B=〈0.3,0.3〉,C=〈0.4,0.4〉,D=〈0.4,0.3〉,依據(jù)本文的相似度模型,應(yīng)有A

(3)針對(duì)5、6和7、8,大部分文獻(xiàn)和直觀均認(rèn)為前者相似度小于后者。如果A=〈0.4,0.2〉,B=〈0.5,0.3〉,C=〈0.5,0.2〉,依據(jù)投票模型,假設(shè)10人參與投票,A表示4人贊成,2人反對(duì);B表示5人贊成,3人反對(duì),C表示5人贊成,2人反對(duì),投票結(jié)果表明A、B比A、C更為接近。由此可知本文改進(jìn)的條件和提出的相似度與投票結(jié)果一致。同理,對(duì)于7、8也可以得出同樣的結(jié)論。

(4)本文將用以下兩種方式說(shuō)明本文提出的相似度具有較強(qiáng)的區(qū)分能力,比現(xiàn)有文獻(xiàn)有更高的優(yōu)越性。

(i)假設(shè)μA和μB為變量,vA和vB固定值,運(yùn)用Excel中模擬運(yùn)算表功能,對(duì)提出的相似度進(jìn)行模擬分析。

①設(shè)vA=vB=0.1,分析結(jié)果如表3所示。行表示μA變化區(qū)間,列表示μB變化區(qū)間。

②設(shè)vA=0.2,vB=0.5,結(jié)果如表4所示。

由表3和表4可知,當(dāng)改變?chǔ)藺和μB時(shí),相似度結(jié)果發(fā)生較為明顯的變化,而且當(dāng)固定μA或μB時(shí),并沒(méi)有出現(xiàn)相同的相似度比較結(jié)果,這說(shuō)明本文提出的相似度測(cè)量方法具有較強(qiáng)的區(qū)分能力。

表3 當(dāng)vA=vB=0.1時(shí)相似度比較結(jié)果

表4 當(dāng)vA=0.2,vB=0.5時(shí)相似度比較結(jié)果

(ii) 比較本文的相似度與近幾年文獻(xiàn)中符合前5條性質(zhì)相似度的方差。具體操作如下:首先用Excel隨機(jī)生成500組IFSA與B,其中隸屬度μ為區(qū)間[0,1]之間的隨機(jī)數(shù),使用函數(shù)rand(),而非隸屬度v為區(qū)間[0,1-μ]之間的隨機(jī)數(shù),使用函數(shù)rand()*(1-μ);然后分別計(jì)算隨機(jī)生成的IFS的相似度;最后得到500組隨機(jī)IFS相似度的方差。此時(shí)模擬數(shù)據(jù)的方差基本接近其公式的方差。

表5 部分隨機(jī)IFS的相似度

注:由于篇幅限制,僅顯示20組隨機(jī)IFS及其相似度。

其次,計(jì)算500組隨機(jī)IFS相似度的方差,如表6所示。

表6 500組隨機(jī)IFS相似度的方差

5 結(jié) 論

本文針對(duì)IFS相似度模型設(shè)計(jì)問(wèn)題,從分析相似度模型的定義條件入手,研究各個(gè)相似度模型的匹配度。結(jié)合一般IFS的特征,運(yùn)用記分函數(shù)來(lái)辨別不同IFS的大小關(guān)系,進(jìn)而從內(nèi)容和形式上定義一種新的直覺(jué)模糊相似度。并通過(guò)理論證明、算例分析說(shuō)明提出的相似度能夠滿足原有性質(zhì)和改進(jìn)的性質(zhì),即從表2可知,尚未有一個(gè)相似度模型能滿足已有的相似度條件和本文提出的相似度條件,而本文提出的相似度彌補(bǔ)了現(xiàn)有相似度存在的無(wú)法比較或者比較結(jié)果不合理的問(wèn)題,靈敏度分析和模擬分析說(shuō)明本文提出的相似度降低了信息損失,具有較強(qiáng)的區(qū)分度和辨別能力,可以更好地輔助決策者進(jìn)行決策。

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