(同濟大學結(jié)構(gòu)工程與防災研究所，上海 200092)

0 引 言

現(xiàn)如今工程結(jié)構(gòu)的使用環(huán)境與條件日益復雜，諸多不確定因素在結(jié)構(gòu)參數(shù)和外載荷的體現(xiàn)已不可忽視。對于受到多源不確定性影響的工程結(jié)構(gòu)，通過考察系統(tǒng)多源輸入量對系統(tǒng)輸出量的影響從而確定重要的輸入量，已經(jīng)成為工程領域的一大熱點。旨在于研究模型輸入量的不確定性對輸出響應影響的靈敏度分析能有效解決這類問題。

多隨機變量結(jié)構(gòu)的靈敏度分析實際上是求取具有高維輸入變量的某一特定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出信息的過程，需要找到相對簡便高效的方法替代大量樣本的常規(guī)計算，就能解決復雜耗時這一狀況。近年來，元建模常用于近似求解多輸入與單輸出間的線性與非線性映射關(guān)系，Rabitz和Alis提出了一種針對高維度問題的近似建模方法[1]，即高維模型表示(high dimensional model representation，簡稱HDMR)方法，能夠?qū)碗s的高維問題通過層級結(jié)構(gòu)的構(gòu)造轉(zhuǎn)化為一系列低維問題的求和，從而提高建模效率。而RS-HDMR的組件函數(shù)正交性與其待求問題可行域內(nèi)方差分解的有效性還將更有利于全局靈敏度分析，獲取關(guān)鍵變量，為改進模型輸出提供依據(jù)。

將RS-HDMR應用于結(jié)構(gòu)多維不確定輸入變量對系統(tǒng)輸出量的影響研究，獲取各組件函數(shù)對系統(tǒng)輸出量的全局靈敏度信息。即利用HDMR通過替代模型降低計算成本改進靈敏度分析的計算效率以驗證該方法的工程適用性與可行性。

1 HDMR基本理論

HDMR可以有效地表示出科學或工程系統(tǒng)的輸出響應與多維輸入變量之間的映射關(guān)系。設待求問題設計變量的可行域為An(An∈Rn，Rn是n維實數(shù)空間)，則輸出函數(shù)f(x)∈R可以由所有單一輸入變量的獨立作用和變量之間的耦合作用的層級疊加所表示，其一般形式為：

f1,2,...,n(x1,x2,...,xn)

(1)

式中，f0是常數(shù)項，表示響應的零階分量函數(shù)；fi(xi)表示的是變量xi單獨作用時對輸出函數(shù)f(x)的影響，稱為響應的一階分量函數(shù)；fij(xi ，xj) 表示了變量xi和xj耦合作用時對輸出函數(shù)f(x)的影響，稱為響應的二階分量函數(shù)；隨后的各項表達式表示了數(shù)目逐漸增加的變量耦合作用對輸出函數(shù)的影響。

對于大多數(shù)系統(tǒng)而言，輸入變量間的關(guān)系一般表現(xiàn)為低階耦合，高階項的影響較弱，可以忽略。則輸出函數(shù)f(x)可以簡寫為：

(2)

(3)

2 工程算例分析

現(xiàn)有一六層兩跨鋼框架結(jié)構(gòu)模型，在水平荷載的外力作用下產(chǎn)生相應的節(jié)點位移，將結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中于各節(jié)點，取梁、柱為基本計算單元，通過數(shù)值模擬的方法建立相應的平面桿系有限元模型，如圖1。

圖1 六層兩跨框架計算模型示意圖

(注：柱截面尺寸Ac為0.3m2，梁截面尺寸Ab為0.25m2)

對于材料屬性和外部荷載的定義，均考慮各參數(shù)隨機性對結(jié)構(gòu)輸出位移響應的影響，設置成區(qū)間變量。以框架結(jié)構(gòu)頂部右端的節(jié)點位移作為輸出變量，獲取多輸入?yún)^(qū)間變量與節(jié)點位移響應輸出的映射關(guān)系，具體如下表1。

表1 框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的隨機變量及其分布信息

由于每一次輸入?yún)?shù)的變化都需要帶入到相應的平面桿系有限元模型中求解，獲取每一個樣本點需要一定的時間，若采用普通的全局靈敏度分析方法則需要大量的樣本點，耗時耗力。通過采用RS-HDMR的近似建模方法，利用較少的樣本點獲得較高精度的近似模型，提高效率，并獲取全局靈敏度指標，量化幾種關(guān)鍵影響因素對結(jié)構(gòu)節(jié)點位移的影響程度，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計提供重要理論依據(jù)。

2.1 近似模型的構(gòu)造

采用RS-HDMR構(gòu)建框架頂層節(jié)點位移的近似模型，對每個設計變量在其取值范圍內(nèi)進行蒙特卡羅隨機采樣，取點數(shù)量根據(jù)構(gòu)建近似模型時是否達到預先要求的精度決定，通過建立的平面桿系有限元模型數(shù)值模擬，計算獲得樣本點處的真實響應值。為了保證模型的近似精度，將近似模型擴展到二階項，且擬合的多項式最高次數(shù)為二次。并假設Xi(i=1,2,…,m)是待求問題設計變量的可行域內(nèi)的m個隨機樣本點，且f(Xi)表示的是輸出函數(shù)值，采用了如下三種誤差評價指標校核構(gòu)造的近似模型與真實響應函數(shù)的誤差大小：

(1)R2(R square)

(8)

(2)RAAE(relative average absolute error，相對平均絕對誤差)

(9)

式中，STD表示的是函數(shù)的標準差，與R2相同，該指標也是從整體上反映了近似模型的精度，且RAAE的值越小，近似精度則越高。

(3)RMAE(relative maximum absolute error，相對最大絕對誤差)

(10)

與R2和RAAE不同，該指標是一項局部指標，描述了設計空間某一局部區(qū)域的誤差，且RMAE的值越小，近似精度則越高。

現(xiàn)采用1000個訓練樣本點，通過三種評價指標驗證模型的函數(shù)逼近能力，評價結(jié)果如表2所示。

表2 采用RS-HDMR近似模型評價結(jié)果

由表中數(shù)據(jù)分析可知，R2的值在0.97以上(越接近1，近似精度越高)，RAAE的值約為0.11(越接近0，近似精度越高)，RMAE的值約為0.61(數(shù)值越小，近似精度越高)，由此可見，采用RS-HDMR在1000個訓練樣本點的條件下就能夠反映真實模型的特性，擬合的精度較高，且包括隨機采樣、真實值近似值計算的常規(guī)時間約為26s，而HDMR的計算總時間的0.037s，計算時間降低顯著。

2.2 全局靈敏度分析

經(jīng)過RS-HDMR的近似模型構(gòu)建后，獲取各階分量函數(shù)，并對提供的信息進行方差分析，從而得到各階分量函數(shù)的全局靈敏度信息。則總方差可以表示為：

(4)

其中，總方差中的各分量方差可以表示為：

(5)

由此可以進一步計算得到全局靈敏度因子：

(6)

忽略高階耦合項的影響，則滿足：

(7)

式中，Si為一階全局靈敏度因子，用于表示變量xi對輸出的主效應；Sij為2階耦合靈敏度因子，用于表示變量xi和變量xj對輸出的交互效應。

圖2 框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點位移響應的全局靈敏度(RS-HDMR)

對六層框架模型的輸出量進行方差分析，獲取各分量函數(shù)對模型輸出響應的全局靈敏度信息。將獲得的一階全局靈敏度因子進行對比，考察各個輸入變量對模型頂部節(jié)點位移輸出量的影響程度。圖2可以清晰定量地看出基于RS-HDMR一階全局靈敏度因子的各個輸入?yún)?shù)對輸出響應的貢獻程度。

顯然，柱的慣性矩Ic和梁的慣性矩Ib對框架頂層節(jié)點位移響應的貢獻度較大，而柱的彈性模量Ec、梁的彈性模量Eb、作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1和F2對頂層節(jié)點位移響應的貢獻度較小，幾乎可以忽略。六個變量參數(shù)的一階全局靈敏度因子比較結(jié)果為：柱的慣性矩Ib>梁的慣性矩Ic>梁的彈性模量Eb>柱的彈性模量Ec>水平荷載F1>水平荷載F2。為了與RS-HDMR獲得的全局靈敏度信息形成對照與提供依據(jù)，分別采用Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法獲取該框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點位移輸出響應的全局靈敏度信息，同樣在1000個隨機采樣樣本點的條件下，進行蒙特卡羅采樣，獲取相應的一階全局靈敏度參數(shù)因子。各個輸入?yún)?shù)對輸出響應的貢獻程度見圖3和圖4。

圖3 框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點位移響應的全局靈敏度(Sobol方法)

圖4 框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點位移響應的全局靈敏度(Saltelli單循環(huán)法)

通過采用Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法獲得的全局靈敏度信息進行比對分析，可以得出近似的結(jié)論：柱的慣性矩Ic和梁的慣性矩Ib對框架頂層節(jié)點位移響應的貢獻度較大，而柱的彈性模量Ec、梁的彈性模量Eb、作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1和F2對頂層節(jié)點位移響應的貢獻度較小，并且按照各變量的貢獻程度進行排序，Sobol方法與RS-HDMR的方法結(jié)果相同，而Saltelli單循環(huán)法的排序除了無法區(qū)別柱的彈性模量Ec和作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1的貢獻程度大小，其它的結(jié)論基本相同。

因此，基于上述三種方法的全局靈敏度分析，可以獲知在控制該平面桿系有限元框架模型的節(jié)點位移輸出響應，優(yōu)化工程設計，應重點考慮對結(jié)構(gòu)響應貢獻大的輸入?yún)?shù)，例如框架結(jié)構(gòu)中柱與梁的慣性矩。這在實際工程的應用中具有重大意義，尤其是當結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的設計參數(shù)較多時，可以采用簡便有效的全局靈敏度分析方法對具有不確定性的設計參數(shù)進行分析，獲取各參數(shù)變量對輸出響應的貢獻程度。

在采用上述三種靈敏度分析方法的過程中，基于蒙特卡羅的隨機采樣方式，Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法的計算耗時相對較長，在1000個隨機采樣樣本點的條件下，分別需要2min和3min的時間；而采用RS-HDMR構(gòu)造近似模型、并進行方差分析獲取全局靈敏度因子的方法，計算耗時大約只需要26s。通過比較，RS-HDMR在數(shù)量較少的樣本點條件下，能夠較為精確地構(gòu)造近似模型，從而顯著提高計算效率，而Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法需要獲取真實的響應，計算耗時較長，且為了保證收斂性和計算精度需要進一步增加采樣點的數(shù)量。

3 結(jié) 論

(1)引入了RS-HDMR的全局靈敏度分析方法，研究了六層兩跨鋼框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點位移輸出關(guān)于柱慣性矩Ic、梁慣性矩Ib、柱的彈性模量Ec、梁的彈性模量Eb、作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1和F2六個模型參數(shù)的全局靈敏性，確定了對該框架結(jié)構(gòu)模型的輸出響應貢獻度較大大的兩個輸入?yún)?shù)：柱與梁的慣性矩。

(2)與Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法相比較，RS-HDMR利用高維模型的層級理論，有效的表示了輸出響應與各輸入變量間的耦合性與映射關(guān)系，采用較少的樣本點建立精度較高的近似模型，從而為全局靈敏度分析降低了計算成本，提高了建模效率，這對于工程優(yōu)化設計具有重要意義。但基于傳統(tǒng)的蒙特卡羅隨機采樣，該方法在建模與計算效率上仍然具有局限性，因此，仍需要進一步發(fā)展與完善。

(3)采用RS-HDMR方差分析所獲得的全局靈敏度指標，有利于評估各個隨機輸入?yún)?shù)對結(jié)構(gòu)輸出響應的影響程度，根據(jù)得到的靈敏度信息，設計人員可以針對具有重要貢獻的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化，能夠為工程設計的改進與結(jié)構(gòu)性能的提高提供有益指導。

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