胡宇達(dá)， 秦曉北

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2. 燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

導(dǎo)電導(dǎo)磁結(jié)構(gòu)件廣泛應(yīng)用于航空航天、超導(dǎo)發(fā)電機(jī)、電磁傳感器、發(fā)動機(jī)等眾多高新科技裝置與設(shè)備中，處于電磁場中的導(dǎo)電彈性體因為受到電、磁、力等多種因素的作用，而表現(xiàn)出復(fù)雜的耦合動力學(xué)行為，或?qū)⒅苯佑绊懴到y(tǒng)運(yùn)動的安全性與可靠性。近年來，許多學(xué)者展開了這一領(lǐng)域的研究。Moon 等[1]較早的對薄板的磁彈性屈曲問題進(jìn)行了研究，提出了Moon-Pao模型，為后面研究的學(xué)者提供了很多的理論參考；鄭曉靜等[2-3]對磁場中鐵磁梁式板、軟鐵磁殼的動力學(xué)特性進(jìn)行了分析；Hasanyan等[4-5]研究了載流平板的磁彈性屈曲和后屈曲問題，并對處于傾斜磁場中的導(dǎo)電板的非線性振動問題進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模與研究；Takagi等[6]在考慮磁黏滯阻尼的影響下，采用了新的數(shù)值分析方法，對處于磁場環(huán)境中的薄板的動力學(xué)行為進(jìn)行了研究；胡宇達(dá)等[7-10]研究了磁場中軸向運(yùn)動導(dǎo)電薄板的非線性動力學(xué)行為以及旋轉(zhuǎn)圓板的磁彈性主共振問題；Bayat等[11]對變厚度功能梯度環(huán)形旋轉(zhuǎn)板的磁熱機(jī)械響應(yīng)進(jìn)行了研究；Zenkour[12]研究了功能梯度環(huán)形夾層板的磁熱彈性響應(yīng)；高原文等[13]研究了橫向磁場中鐵磁梁式板的混沌運(yùn)動問題；王省哲等[14]針對磁場中鐵磁梁式板的磁彈性屈曲問題進(jìn)行了研究；Bhandari等[15]研究了軸向非均勻磁場中旋轉(zhuǎn)盤引起的鐵磁流體的流動問題；Rad等[16]針對均布外激勵作用下變厚度環(huán)形FGM板的磁熱動力響應(yīng)進(jìn)行了分析。

在旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的研究中，Pei等[17]針對臨界和超臨界速度下的旋轉(zhuǎn)柔性薄板進(jìn)行了研究，分析了溫度分布、熱應(yīng)力等對旋轉(zhuǎn)盤動態(tài)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)振幅的影響。Sharma等[18]研究了變厚度及變密度彈性旋轉(zhuǎn)環(huán)形薄板的有限差分解。Hussain等[19]研究了加速旋轉(zhuǎn)盤在黏性流體中的數(shù)值解。Jabbari等[20]針對變厚度FGM旋轉(zhuǎn)圓板進(jìn)行研究，分析了厚度、角速度等參數(shù)對旋轉(zhuǎn)盤力學(xué)性能的影響。

本文針對磁場環(huán)境中兩頻激勵作用下的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動導(dǎo)電圓板的諧波-組合共振問題進(jìn)行研究，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定的判定條件及幅頻響應(yīng)方程，繪制幅頻特性曲線、動相平面軌跡圖并分析系統(tǒng)不同物理參量對諧波-組合共振特性的影響。

1 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板磁彈性基本方程

1.1 應(yīng)變能與動能

圖1為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動導(dǎo)電圓板在外加磁場B0作用下的示意圖。圓板的板厚為h，半徑為R，密度為ρ。

圖1 旋轉(zhuǎn)圓板示意圖Fig.1 Rotating circular plate diagram

設(shè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板內(nèi)任意一點的位移為

ur1=ur+zu1

(1)

uθ1=uθ+zv1

(2)

uz=w

(3)

用位移表達(dá)的中面內(nèi)力

(4)

(5)

(6)

則旋轉(zhuǎn)圓板的中面應(yīng)變勢能表示為

(7)

用位移表示的彎矩，扭矩

(8)

(9)

(10)

則旋轉(zhuǎn)圓板的彎曲應(yīng)變勢能表示為

(11)

板上任意一點的速度表達(dá)式

(12)

式中：i，j，k分別為坐標(biāo)軸r，θ，z方向上的單位向量。

則旋轉(zhuǎn)圓板的動能為

(13)

1.2 電磁力

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動導(dǎo)電圓板電流密度表達(dá)式

J=σ0(E+V×B)

(14)

式中：σ0為電導(dǎo)率；E為電場強(qiáng)度矢量；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量。

磁場環(huán)境中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板受到的洛倫茲力矢量表達(dá)式

f(fr,fθ,fz)=J×B0

(15)

(16)

(17)

(18)

則電磁力、電磁力矩在虛位移上所做的虛功為

(19)

假設(shè)圓板在橫向位移w上產(chǎn)生了微小的變化量δw，則Fz在虛位移δw上所做的功為

(20)

1.3 振動方程

應(yīng)用Hamilton原理建立旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板的振動微分方程

(21)

將式(7)、式(11)、式(13)、式(19)和式(20)代入式(21)中，得到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動導(dǎo)電圓板軸對稱非線性磁彈性振動微分方程

(22)

2 周邊夾支旋轉(zhuǎn)板諧波-組合共振求解

2.1 振型函數(shù)與無量綱化方程

受組合動載荷Fz=F1cosω1t+F2cosω2t作用下做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的圓形薄板，設(shè)滿足周邊夾支邊界條件的位移函數(shù)為

(23)

將式(23)代入式(22)，應(yīng)用伽遼金法進(jìn)行積分，推得旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板無量綱化振動方程

(24)

2.2 共振問題的多尺度法求解

對于兩頻激勵，考慮超諧波共振和組合共振同時發(fā)生的聯(lián)合共振情況，系統(tǒng)的無量綱化頻率為

(25)

式中：σ1，σ2為頻率調(diào)諧參數(shù)。

(26)

采用多尺度法求解方程，取時間尺度T0=τ，T1=ετ，討論一次近似解，可將式(26)的解表示為

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)

(27)

將式(27)代入式(26)，令方程兩端的ε0和ε1項的系數(shù)相等，可得到如下線性偏微分方程分別為

(28)

(29)

式(28)的通解為

q0=A(T1)eiT0+Λ1eiΩ1T0+Λ2eiΩ2T0+cc

(30)

將式(30)的通解代入式(29)，根據(jù)消除久期項的條件，得到關(guān)于A的關(guān)系式

(31)

(32)

(33)

分析式(32)和式(33)，當(dāng)且僅當(dāng)σ1T1-β和σ2T1-β都為常數(shù)時才能存在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，即β′=σ1=σ2=σ，同時，令γ=σT1-β，對于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動a′=γ′=0，則由式(32)和式(33)可得到磁場環(huán)境下旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板諧波-組合共振幅頻響應(yīng)方程

(34)

2.3 穩(wěn)定性分析

研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動下解的穩(wěn)定性問題，設(shè)

a=a0+a1,γ=γ0+γ1

(35)

式中：a0，γ0為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動下的穩(wěn)態(tài)解；a1，γ1為小的擾動量。

將穩(wěn)態(tài)解a,γ代入式(32)和式(33)，并對小的擾動量a1，γ1進(jìn)行Taylor展開，可得到關(guān)于a1和γ1的一階線性近似式

(36)

(37)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性近似理論，穩(wěn)態(tài)運(yùn)動下解的穩(wěn)定性依賴于式(36)和式(37)右端系數(shù)矩陣的特征值。通過式(36)和式(37)的Jacobi矩陣并考慮到穩(wěn)態(tài)運(yùn)動下a′=γ′=0，可得到特征方程

(38)

再根據(jù)Hurwitz判據(jù)，可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定的充要條件

(39)

3 算例分析

針對磁場環(huán)境下受橫向動載荷作用的鋁制旋轉(zhuǎn)圓形薄板進(jìn)行數(shù)值分析，得到反映旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板諧波-組合共振特性的圖形。主要參數(shù)：密度ρ=2 670 kg/m3，泊松比μ=0.34，彈性模量E=71 GPa，電導(dǎo)率σ0=3.63×107(s/m)，圓板半徑R=0.4 m。

圖2為轉(zhuǎn)速Ω=8 000 r/min時共振振幅a隨頻率調(diào)諧參數(shù)εσ的變化規(guī)律曲線圖。由圖2可知，在給定εσ范圍內(nèi)，共振幅頻響應(yīng)曲線向右偏移，呈現(xiàn)硬彈簧特性，隨著εσ的改變，系統(tǒng)出現(xiàn)多值性和跳躍現(xiàn)象，呈現(xiàn)典型的非線性振動特性；隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加，共振曲線呈現(xiàn)明顯的內(nèi)縮趨勢，共振區(qū)域變窄，振幅減小，可見磁場起到了電磁阻尼的作用；圖2(b)、圖2(c)和圖2(d)中顯示，隨著板厚的減小，外激勵力幅值F1，F(xiàn)2的增大，在給定的εσ范圍內(nèi)，系統(tǒng)共振區(qū)域變寬，激發(fā)多解區(qū)域的臨界點呈滯后右移趨勢。

圖2 幅頻a-εσ響應(yīng)圖Fig.2 Amplitude frequency response

圖3為振幅a隨磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z變化曲線圖，取F1=500 N/m2，F(xiàn)2=1 000 N/m2，Ω=8 000 r/min和h=4.5 mm。從圖3可知，在給定的B0z范圍內(nèi)，圖中曲線呈現(xiàn)關(guān)于B0z=0左右對稱形式，在給定調(diào)諧參數(shù)εσ范圍內(nèi)，曲線呈現(xiàn)從單值到多值并逐漸縮頸最終分離出上部的封閉曲線趨勢；調(diào)諧參數(shù)的改變對曲線變化規(guī)律影響顯著。圖中由虛線分割的多值解區(qū)域中，區(qū)域1、區(qū)域3代表穩(wěn)定解區(qū)域，區(qū)域2代表不穩(wěn)定解區(qū)域。

圖4為不同調(diào)諧參數(shù)下振幅a-力幅F1，F(xiàn)2的三維變化圖，取B0z=0.5 T，h=4.5 mm及Ω=8 000 r/min。從圖4可知，在給出的幾種調(diào)諧參數(shù)下，激勵力幅值F1=0時，無論F2取何值，共振振幅均為0，而當(dāng)F≠0時，F(xiàn)2=0可能激發(fā)振動，激發(fā)的共振是超諧波共振。從F1等于某一值的截面看，共振振幅a隨F2的變化曲線可以出現(xiàn)持續(xù)增加、先增加后減小或先減小后增加等多種復(fù)雜情況，調(diào)諧參數(shù)εσ的微小改變對曲線的影響顯著。

圖5為不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下振幅a-力幅F1，F(xiàn)2的三維變化圖，取h=4.5 mm，εσ=0.001及Ω=8 000 r/min。從圖5可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度取較小值時，振幅a隨激勵力幅值F1，F(xiàn)2變化曲線較復(fù)雜，振幅有先增加后減小或先減小后增加等多種形式，增大磁感應(yīng)強(qiáng)度到某一值后，振幅呈單一增大趨勢。

圖6為h=4.5 mm時振幅a隨外激勵力幅值F1變化規(guī)律曲線圖。從圖6(a)可知，B0z=0.5 T時，小的F1就可以激發(fā)系統(tǒng)的多值解，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z增大到一定值后，系統(tǒng)的解退化為單值，共振振幅隨之減??；從圖6(b)可知，系統(tǒng)的解呈現(xiàn)從一個到三個再到一個的轉(zhuǎn)變，隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)的多值解區(qū)域變窄，共振曲線向左偏移；圖6(c)為不同調(diào)諧參數(shù)下的a-εσ變化規(guī)律曲線，從圖6(c)可知，εσ取值的大小決定了單值曲線到多值曲線的變化，隨著εσ的增大，系統(tǒng)的多值解區(qū)域變寬，多值解區(qū)域共振振幅隨之增加；圖6(d)顯示激勵力幅值對共振曲線影響較大，當(dāng)F2=0時，系統(tǒng)解呈現(xiàn)從單值到多值，后又變?yōu)閱沃档淖兓厔?，此時系統(tǒng)僅激發(fā)超諧波共振，增大F2，共振曲線繼續(xù)向左偏移，解由多值逐漸退化為單值。

圖7為Ω=8 000 r/min時振幅a隨激勵力幅值F2變化規(guī)律曲線圖。圖7(a)顯示隨著F1的增加，共振曲線向左偏移，呈現(xiàn)軟彈簧特性，且隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z的增大，多值解區(qū)域減小，共振曲線呈明顯內(nèi)縮趨勢；圖7(b)、圖7(c)顯示隨著板厚、調(diào)諧參數(shù)的增大，共振曲線向右偏移，激發(fā)多值解的臨界點呈滯后右移趨勢；圖7(d)顯示，隨著F1的增大，共振曲線向左偏移，激發(fā)超諧-組合共振多值解所需要的激勵力F2值減小，F(xiàn)1=0時，a-F2共振曲線不會被激發(fā)。

圖3 振幅a-磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z響應(yīng)圖Fig.3 Amplitude-magnetic density response

圖4 振幅a-力幅F1，F(xiàn)2的三維變化圖Fig.4 Three-dimensional variations of amplitude a-excitation amplitude F1， F2

圖5 振幅a-力幅F1、F2的三維變化圖Fig.5 Three-dimensional variations of amplitude a-excitation amplitude F1，F(xiàn)2

圖6 振幅a-激勵力幅值F1響應(yīng)圖Fig.6 Amplitude a-excitation amplitude F1

圖8為改變初始條件得到的動相平面軌跡圖，箭頭指出了軌跡的運(yùn)動方向，取參數(shù)F1=500 N/m2，F(xiàn)2=1 000 N/m2，h=4.5 mm，B0z=0.5 T，Ω=8 000 r/min。圖中顯示當(dāng)調(diào)諧參數(shù)εσ取不同值時，穩(wěn)態(tài)解的個數(shù)也不同。圖8(a)只有一個穩(wěn)定焦點S1，其共振振幅為aS=0.157，記為S1(aS=0.157)。圖8(b)中顯示有兩個穩(wěn)定焦點S1(aS=0.052)，S3(aS=0.393)和一個不穩(wěn)定鞍點S2(aS=0.338)?？梢?，圖8(b)中的穩(wěn)態(tài)解與圖8(c)中的結(jié)果是一致的，且圖8(c)中的上支和下支曲線是穩(wěn)定解，中部曲線是不穩(wěn)定解，其解的不同取決于初始條件。

圖9為取板厚h=4.5 mm，εσ=0.08時的動相平面軌跡圖。圖9(a)給出了不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下對應(yīng)的兩個穩(wěn)定焦點，其中B0z=2 T對應(yīng)點S1(aS=0.393)，B0z=0.5 T對應(yīng)點S2(aS=0.381)；圖9(b)給出了不同力幅F2下對應(yīng)的兩個穩(wěn)定焦點，其中F2=800 N/m2和F2=1 000 N/m2分別對應(yīng)點S1(aS=0.452)和S2(aS=0.393)?？梢姡瑓⒘康母淖儗ο到y(tǒng)非線性穩(wěn)態(tài)解有顯著影響。

圖7 振幅a-激勵力幅值F2響應(yīng)圖Fig.7 Amplitude a-excitation amplitude F2

圖8 動相平面軌跡Fig.8 Moving phase plane trajectory

圖9 動相平面軌跡Fig.9 Moving phase plane trajectory

4 結(jié) 論

本文針對磁場環(huán)境中受兩頻激勵作用旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圓板的超諧-組合聯(lián)合共振問題進(jìn)行了研究，研究結(jié)果表明：

(1)在給定頻率參數(shù)范圍內(nèi)，共振曲線向右偏移，呈硬彈簧特性，并出現(xiàn)多值性和跳躍現(xiàn)象，呈現(xiàn)典型的非線性振動特性。

(2)隨著力幅的增加，共振曲線向左偏移，呈現(xiàn)軟彈簧特性，且隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，多值解區(qū)域減小，共振曲線呈明顯內(nèi)縮趨勢。

(3)初始條件對非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)影響較大，幅頻響應(yīng)曲線上支和下支部分是穩(wěn)定解，中間部分是不穩(wěn)定解。由此可見，通過改變不同參量，可實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)解從多值到單值、穩(wěn)定到不穩(wěn)定的轉(zhuǎn)變，從而達(dá)到控制系統(tǒng)共振現(xiàn)象的目的。

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