方 敏， 朱 翔,2， 李天勻,2， 胡曉芳

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074； 3. 中國艦船研究設計中心，武漢 430064)

長期以來，圓柱殼結(jié)構(gòu)在工程領域得到了廣泛應用，由于肋骨的加強作用,關于環(huán)肋柱殼的研究具有重要意義。駱東平等[1]基于Flügge殼體理論和有限差分法系統(tǒng)研究了環(huán)肋增強柱殼的自由振動特性；梁斌等[2]在Flügge理論的基礎上，考慮流體的影響，分析了水下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率。

隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，橢圓柱殼也被應用于工程實際；另一方面，針對原設計的圓柱殼結(jié)構(gòu)，制造誤差[3]，甚至使用環(huán)境如深水壓力[4]等因素，也會使理想圓柱殼結(jié)構(gòu)的圓形截面產(chǎn)生不可忽略的橢圓度等偏差。與圓柱殼相比橢圓柱殼的解析解或半解析解的獲取相對困難一些，因為橢圓截面的曲率半徑是一個變量，這使得橢圓柱殼的動力平衡方程為一個變系數(shù)的偏微分方程，難以求解。因此關于橢圓柱殼，尤其是加肋橢圓柱殼的振動特性研究開展的并不廣泛。Boyd等[5]基于Love和Donnell的薄殼理論對簡支橢圓柱殼的自由振動進行了研究，并將結(jié)果與早前的兩種理論進行了比較，指出Rayleight-Ritzs法對所有范圍的橢圓度都相當準確，但是攝動法只在橢圓度小于0.5時是可靠的；Chen等[6]基于Sander殼體理論，采用基于Hamilton準則的模態(tài)展開法對有限長橢圓柱殼的自由振動展開了研究，指出該方法較Fourier分析法更為方便，并就多種邊界條件對橢圓柱殼自由振動頻率的影響進行了分析； Armenakas等[7]基于Flügge殼體理論，討論了簡支橢圓柱殼自由振動的對稱和反對稱模態(tài)，并對比了基于Donnell, Love, Sander殼體理論所得出結(jié)果的差異，指出不同殼體理論結(jié)果的差異隨著橢圓度的增加而增大；熊路等[8-9]基于Love-Timoshenko薄殼理論，采用波傳播法以及模態(tài)疊加法將位移模式以雙Fourier級數(shù)形式展開，推導出橢圓柱殼的自由振動方程，并求解了橢圓柱光殼自由振動的固有頻率；Boyd等[10]運用Rayleight-Ritzs法討論了任意邊界條件下圓與非圓柱殼加筋與否的振動模態(tài)，并分析了環(huán)筋與縱梁對振動的貢獻程度大小，指出環(huán)筋對固有頻率的影響要大于縱梁帶來的影響；鄒時智等[11]基于一類柱殼諧振控制方程呈一階常微分矩陣方程形式以及傅里葉展開，提出了一種新矩陣方法求解兩端簡支環(huán)肋加強的非圓柱殼在諧外力下的穩(wěn)態(tài)響應；Brodsky等[12]基于Love殼體理論，使用能量原理推導出了兩端簡支的環(huán)肋加強橢圓柱殼的穩(wěn)定性方程，并表明橢圓柱殼穩(wěn)定性受環(huán)肋的影響類似于圓柱殼，均勻側(cè)向壓力下橢圓柱體的屈曲載荷略微超過等效圓柱體的相應值。

本文采用Flügge殼體理論[13]，并采用剛度均攤法考慮環(huán)肋與殼體的關系，利用波傳播法將殼體位移沿周向和軸向展開成雙Fourier級數(shù)的形式，并結(jié)合Marguerre[14]對于非圓截面曲率半徑的處理方法推導出了環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動方程。為了驗證所建立方程和算法程序的準確性，文中將環(huán)肋橢圓柱殼退化成環(huán)肋圓柱殼和橢圓柱光殼，并將兩個退化模型的計算結(jié)果與相應參考文獻進行了對比分析。深入的研究了橢圓度參數(shù)ε，殼肋間距比d/mr0，以及環(huán)肋高度a1對環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率的影響。

1 研究對象

圖1 環(huán)肋橢圓柱殼幾何參數(shù)及坐標系Fig.1 Geometric parameters and coordinate system of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners

無量綱化坐標為

(1)

2 環(huán)肋橢圓柱殼自由振動理論模型

2.1 殼體自由振動方程

由Flügge薄殼理論的基本公式出發(fā)，并考慮到橢圓截面的曲率半徑R(s)是與無量綱周向坐標s有關的函數(shù)，可推導出殼體的幾何方程以及內(nèi)力表達式，并將二者帶入殼體平衡方程中，便可得到位移形式表達的環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動方程

(2)

式中： 矩陣[L]3×3的各元素的表達式為

2.2 橢圓截面曲率半徑及殼體位移的展開

為了求解式(2)，需將算子Lij(i,j=1,2,3)從變系數(shù)形式轉(zhuǎn)換為易于求解的常系數(shù)形式，曲率半徑r(s)需給出具體形式，根據(jù)文獻[14],橢圓柱殼曲率半徑的無量綱表達形式為

(3)

式中：s為橢圓截面無量綱化的周向弧長坐標，0≤s≤2π；ε為截面的橢圓度參數(shù)，為了不產(chǎn)生負曲率，ε不能超過1，定義0≤|ε|≤1，改變ε的正負號只是相當于將殼體沿其對稱軸轉(zhuǎn)動π/2弧度，因此，只需考慮橢圓度為正的情況，即0≤ε≤1。對于給定的長短軸a,b，橢圓度參數(shù)可表達為[15]

(4)

值得注意的是，橢圓柱殼在周向的對稱軸僅有長軸和短軸兩條，而圓柱殼則有無數(shù)條，故圓柱殼的對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)的振型相同，這對橢圓柱殼并不成立。因此，對橢圓柱殼的對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)的變化規(guī)律需要分開討論。殼體各位移在殼體周向是以2π為周期的，將它們在軸向和周向展開成雙Fourier級數(shù)形式。

對稱模態(tài)的展開形式為

(5)

反對稱模態(tài)的展開形式為

(6)

式中：ω為圓頻率；m為軸向半波數(shù);n為周向模態(tài)階數(shù)；Umn,Vmn,Wmn分別為不同m,n下殼體軸向、周向和徑向位移的Fourier系數(shù)；λm=kmr0，km為殼體的軸向波數(shù)，可根據(jù)梁函數(shù)推導出其近似值[16]。

將式(3)、式(5)代入平衡方程式(2)中，即可得到三個關于Umn,Vmn,Wmn沿周向模態(tài)階數(shù)n相互耦合的新的方程

(7)

進一步考察式(7)， 其中Fourier系數(shù)關于不同周向模態(tài)階數(shù)n是相互耦合的，在數(shù)值計算時，需對周向模態(tài)階數(shù)進行截斷處理。當n取有限項數(shù)p時，可以得到3p個線性方程，這些方程用矩陣形式表示為

(8)

式中： 當n為奇數(shù)時，X=[Um,1Um,3…Um,2p-1?Vm,1Vm,3…Vm,2p-1?Wm,1Wm,3…Wm,2p-1]T； 當n為偶數(shù)時，X=[Um,0Um,2…Um,2p-2?Vm,2Vm,4…Vm,2p-2?Wm,0Wm,2…Wm,2p-2]T；M為3p階的實數(shù)方陣， 由式(7)中的系數(shù)循環(huán)而成；I為單位矩陣。

若式(8)中的X有非零解，則要求其系數(shù)矩陣行列式值為零，即

|M-Ω2I|=0

(9)

求解式(9)即可求解真空中環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動固有頻率。

3 橢圓柱殼自由振動特性分析

3.1 收斂性分析及算法驗證

計算的模型參數(shù)為：殼厚比h/r0=0.01，殼肋寬度比為b1/mr0=0.02，殼肋高度比為a1/mr0=0.04； 泊松比μ=0.3， 楊氏模量E=E1=2.06×1011Pa；邊界條件為殼體兩端簡支。隨著截斷項數(shù)p的改變，環(huán)肋橢圓柱殼自由振動的無量綱固有頻率Ω計算結(jié)果變化，如圖2所示。計算結(jié)果收斂時對應的截斷項數(shù)，如表1所示。

圖2 無量綱固有頻率的計算值隨截斷項數(shù)的變化(m=1,n=8)Fig.2 The change of the non-dimensional natural frequency versus truncated number(m=1,n=8)

L/mr0d/mr0ε0.20.40.60.81.030.6161618181830.3161618181830.1161618181810.11616181818100.11616181818200.11616181818

由圖2可知，隨著截斷項數(shù)p的增大，環(huán)肋橢圓柱殼的無量綱固有頻率Ω的計算值最終會趨向于一個穩(wěn)定值；同時，由表1可知，在L/mr0≤20，d/mr0≤0.6的范圍內(nèi)，當取截斷項數(shù)p=25時，能夠保證計算結(jié)果收斂，同時也能使計算量不至于過大，本文后續(xù)的計算中均取p=25。

為了驗證本文建立的控制方程和計算程序的正確性，首先設置ε=0，這樣就得到了退化驗證的第一個模型。計算了兩端簡支的退化環(huán)肋圓柱殼的自由振動固有頻率，并與文獻[17]進行了對比驗證，本文計算結(jié)果與參考文獻吻合良好，具體結(jié)果見表2。計算模型為L=0.470 9 m,r0= 0.103 7 m,h=0.001 19 m,a1=0.002 91 m,b1=0.002 18 m,d=0.031 4 m，殼體和肋骨材料相同，密度ρ=7 850 kg/m3, 楊氏模量E=2.06×1011Pa， 泊松比為μ=0.3。

表2 兩端簡支的環(huán)肋圓柱殼固有圓頻率的對比驗證

將肋條的高度a1和b1寬度設為零，這樣將環(huán)肋橢圓柱殼退化成第二個驗證模型，也即無筋橢圓柱殼。計算了兩端簡支橢圓柱光殼的無量綱固有頻率，與基于變分原理求解橢圓柱光殼固有頻率的文獻[18]進行了對比分析，本文退化結(jié)果與文獻的結(jié)果吻合良好，具體結(jié)果見表3。計算模型為h/r0=0.002,μ=0.3,ε=0.5,m=1,E=2.1×1011Pa。這進一步表明本文所建立的理論模型及求解方法的準確性。

同時，本文基于文獻[17]的模型參數(shù)，通過改變殼體長度，保持環(huán)肋數(shù)量不變，對橢圓度ε=0.5、不同殼長比的環(huán)肋橢圓柱殼的固有頻率用商用有限元軟件ANSYS進行了計算驗證，其中殼體采用SHELL63單元建模，環(huán)向肋骨采用BEAM188單元建模。對比驗證結(jié)果如表4所示，部分FEM計算模態(tài)振型圖如圖3所示。可以看到，本文結(jié)果在不同殼長比下的計算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好。但同時，在殼長比增大，也即肋骨間距逐漸增大時，兩種計算結(jié)果的誤差也會相應增大，這是因為文中對于環(huán)肋的模擬采用了涂抹式的“剛度均攤法”，該方法對于越密、且尺寸越大的加筋結(jié)構(gòu)，結(jié)果越準確，而當殼體結(jié)構(gòu)的振動波長遠小于肋骨間距時，結(jié)果會存在較大誤差[19-20]。本文采用的計算模型均考慮了肋骨間距的要求，保證振動波長大于肋距。

表3 橢圓柱光殼的無量綱固有頻率對比驗證

表4 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率對比驗證

圖3 FEM計算的環(huán)肋橢圓柱殼模態(tài)振型及對應頻率Fig.3 Mode shapes and its corresponding natural frequencies of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners obtained by FEM

3.2 環(huán)肋橢圓柱殼模態(tài)振型和固有頻率

正如“2.2節(jié)”提到的，不同于圓柱殼，由于橢圓柱殼的對稱軸僅有長軸和短軸兩條，因此有必要分開討論其對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)頻率。圖4給出了本文計算方法得到的不同周向模態(tài)階數(shù)的環(huán)肋橢圓柱殼的對稱和反對稱模態(tài)振型。與圖3對比可見模態(tài)吻合良好。

圖4 環(huán)肋橢圓柱殼的模態(tài)振型Fig.4 Mode shapes of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners

同時，本文基于文獻[17]的模型參數(shù)，肋骨高度取a1=0.002 91 m，計算出了兩端簡支環(huán)肋橢圓柱殼軸向半波數(shù)m=1的固有圓頻率。具體結(jié)果見表5，S表示對稱模態(tài)頻率，A表示反對稱模態(tài)頻率。

表5 環(huán)肋橢圓柱光殼的固有圓頻率

3.3 橢圓度對殼體固有頻率的影響

橢圓度是橢圓柱殼區(qū)別圓柱殼的一個重要參數(shù)，因此，有必要研究環(huán)肋橢圓柱殼的固有頻率隨其橢圓度的變化規(guī)律。圖5給出了在m=1時， 不同L/mr0及不同d/mr0下，橢圓度ε對兩端簡支環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率的影響。

(——對稱模態(tài)；……反對稱模態(tài))圖5 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨橢圓度的變化Fig.5 The change of the natural frequency of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners versus ellipticity

從圖5可知，環(huán)肋橢圓柱殼的固有頻率相對于環(huán)肋圓柱殼有明顯的不同，在同一周向模態(tài)階數(shù)n下，殼體的對稱模態(tài)頻率和反對稱模態(tài)固有頻率有所不同，且二者差異隨著橢圓度ε的增大而增大；在周向模態(tài)階數(shù)n=1,3,5等奇數(shù)時，殼體對稱模態(tài)頻率大于反對稱模態(tài)頻率，而在n=2,4,6等偶數(shù)時，殼體的反對稱模態(tài)頻率大于其對稱模態(tài)頻率，隨著周向模態(tài)階數(shù)n的增加，環(huán)肋橢圓柱殼的對稱模態(tài)頻率和反對稱模態(tài)頻率的差異逐漸減?。籲=0對應的呼吸模態(tài)頻率都較高，且基本不受橢圓度ε改變的影響；

對比圖5(a)～圖5(d)可以得出，當殼長比L/mr0一定時，隨著殼肋間距比d/mr0的減小也即環(huán)肋數(shù)量逐漸增大，除了n=0,1外，其他周向模態(tài)階數(shù)下環(huán)肋橢圓柱殼的對稱模態(tài)頻率和反對稱模態(tài)頻率均有所增大，但二者差異在逐漸減小，在d/mr0≤0.3時，環(huán)肋橢圓柱殼的高階(n≥4)對稱和反對稱模態(tài)頻率基本重合；且隨著環(huán)肋數(shù)量的增大，某一橢圓度ε下的環(huán)肋橢圓柱殼自由振動基頻對應的周向模態(tài)階數(shù)也會逐漸降低。

對比圖5(e)、圖5(c)、圖5(f)可以得出，當殼肋間距比d/mr0一定時，隨著殼長比L/mr0的增大，環(huán)肋橢圓柱殼低階模態(tài)階數(shù)(n≤3)對應的對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)頻率值明顯減小，而高階模態(tài)階數(shù)(n≥4)對應的固有頻率值變化不大；任意周向模態(tài)階數(shù)下的對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)頻率的差異在殼肋間距比d/mr0一定時均隨著殼長比L/mr0的增大而減??；且隨著殼長比L/mr0的增大，環(huán)肋橢圓柱殼自由振動基頻對應的周向模態(tài)階數(shù)也在逐漸減小。

3.4 環(huán)肋間距對殼體固有頻率的影響

相鄰肋骨之間的距離是影響加肋結(jié)構(gòu)固有屬性的重要因素之一，本文采用無量綱參數(shù)d/mr0，也即殼肋間距比來討論肋骨間距的影響。圖6給出了環(huán)肋橢圓柱殼前6階周向模態(tài)階數(shù)對應的固有頻率值隨殼肋間距比的變化情況。

(——對稱模態(tài)；……反對稱模態(tài))圖6 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨殼肋間距比的變化Fig.6 The change of the natural frequency of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners versus the non-dimensional stiffeners interval d/mr0

圖6(a)是橢圓度ε=0也即環(huán)肋圓柱殼固有頻率隨殼肋間距比d/mr0的變化曲線，圖6(b)～圖6(d)則是不同橢圓度下的環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨殼肋間距比的變化曲線。從圖6可知，環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋間距的變化規(guī)律與環(huán)肋圓柱殼較為相似，環(huán)肋間距的改變對周向低階模態(tài)階數(shù)(n≤2)對應的固有頻率影響相對較小，對周向中高階模態(tài)階數(shù)(n≥3)對應的固有頻率影響較大；隨著環(huán)肋間距的增大，也即環(huán)肋數(shù)目減少，周向低階模態(tài)階數(shù)(n≤2)對應的固有頻率會逐漸增大，最終趨于一個穩(wěn)定值，而周向中高階模態(tài)階數(shù)(n≥3)對應的固有頻率則明顯減小，而且越高的周向模態(tài)階數(shù)對應的固有頻率減小幅度越大，從模態(tài)振型分析，對于低階模態(tài)，環(huán)肋以整體參與殼體振動，其質(zhì)量影響大于其剛度的影響，而對高階模態(tài)，殼體出現(xiàn)了局部彎曲，其剛度影響更大；在橢圓度較小時，隨著環(huán)肋間距的增大，環(huán)肋橢圓柱殼基頻對應的周向模態(tài)階數(shù)會由n=2往高階偏移，如在圖6(b)中，d/mr0=0.1時，基頻對應的周向模態(tài)為n=2， 當d/mr0=0.4時，基頻對應的周向模態(tài)為n=3。

3.5 環(huán)肋高度對殼體固有頻率的影響

環(huán)肋尺寸也是殼體固有頻率的因素，本文為討論方便，在保持環(huán)肋寬度不變的情況下，改變環(huán)肋高度。圖7給出了在環(huán)肋寬度b1不變的前提下，環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率值隨高度與寬度的比值a1/b1的變化情況。

(——對稱模態(tài)；……反對稱模態(tài))圖7 環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋高度的變化Fig.7 The change of the natural frequency of elliptic cylindrical shell with ring stiffeners versus the height of ring stiffeners

圖7(a)是橢圓度ε=0也即環(huán)肋圓柱殼固有頻率隨肋骨高度的變化曲線，圖7(b)～圖7(f)則是不同橢圓度下的環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋高度的變化曲線。從圖7中可以得出，環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率隨環(huán)肋高度的變化規(guī)律與環(huán)肋圓柱殼較為相似。低階模態(tài)階數(shù)n=0,1對應的環(huán)肋橢圓柱殼對稱模態(tài)在環(huán)肋高度增大后會減小，n=1對應的反對稱模態(tài)頻率則在橢圓度較小(ε<0.6)時隨著環(huán)肋高度的增加而減小，而在橢圓度較大ε≥0.6時，n=1對應的反對稱模態(tài)頻率則在環(huán)肋高度增加到某一值時呈增大趨勢，且橢圓度ε越大，該變化對應的高度越小，在ε=1時，n=1對應的反對稱模態(tài)頻率則一直呈增大趨勢，這是因為在橢圓度較小時，在環(huán)肋高度較低的情況下，環(huán)肋的質(zhì)量影響大于其剛度影響，而隨著環(huán)肋高度的增加，環(huán)肋剛度影響逐漸增大，對于橢圓度較大如ε=1時，環(huán)肋剛度影響較其質(zhì)量影響更大；而n≥3等稍高階周向模態(tài)應的對稱模態(tài)和反對稱頻率則隨著環(huán)肋高度的增大而增大，且越高的周向模態(tài)階數(shù)對應的固有頻率增大越明顯；n≤3時，環(huán)肋橢圓柱殼的對稱和反對稱模態(tài)頻率的差異隨著環(huán)肋高度的增大而減小，最終會趨于一致，而n≥4時，對稱和反對稱模態(tài)頻率的差異則隨著環(huán)肋高度的增大而增大；環(huán)肋橢圓柱殼基頻對應的周向模態(tài)階數(shù)也會隨著環(huán)肋高度的增大而減小。

4 結(jié) 論

本文提出了一種求解環(huán)肋橢圓柱殼固有頻率的解析解法?；贔lügge殼體理論，并采用“剛度均攤”考慮環(huán)肋，建立了環(huán)肋橢圓柱殼的自由振動方程，計算了不同橢圓度下，兩端簡支的環(huán)肋橢圓柱殼在真空中的自由振動固有頻率。較為細致的探討了殼體橢圓度ε、殼肋間距比d/mr0以及環(huán)肋高度a1對環(huán)肋橢圓柱殼自由振動的影響，并總結(jié)出以下結(jié)論：

(1) 在同一周向模態(tài)階數(shù)n下，環(huán)肋橢圓柱殼體的對稱模態(tài)頻率和反對稱模態(tài)固有頻率值不等，且二者差異隨著橢圓度ε的增大而增大；在周向模態(tài)階數(shù)n=1,3,5等奇數(shù)時，殼體對稱模態(tài)頻率大于反對稱模態(tài)頻率，而在n=2,4,6等偶數(shù)時，殼體的反對稱模態(tài)頻率大于其對稱模態(tài)頻率，隨著周向模態(tài)階數(shù)n的增加，二者差異逐漸減??；而n=0對應的呼吸模態(tài)頻率不隨橢圓度的改變而變化。

(2) 隨著環(huán)肋間距的增大，也即環(huán)肋數(shù)目減少，周向低階模態(tài)階數(shù)(n≤2)對應的固有頻率會逐漸增大，而周向中高階模態(tài)階數(shù)(n≥3)對應的固有頻率則明顯減小，且越高的周向模態(tài)階數(shù)對應的固有頻率減小幅度越大；在橢圓度較小時，隨著環(huán)肋間距的增大，環(huán)肋橢圓柱殼基頻對應的周向模態(tài)階數(shù)會由n=2往高階偏移。

(3) 隨著環(huán)肋高度的增大，低階模態(tài)階數(shù)n=0,1對應的環(huán)肋橢圓柱殼對稱模態(tài)會減小，n=1對應的反對稱模態(tài)頻率則在橢圓度較小(ε<0.6)時減小，而在橢圓度較大ε≥0.6時，n=1對應的反對稱模態(tài)頻率則在環(huán)肋高度增加到某一值時呈增加趨勢，且橢圓度ε越大，該變化對應的高度越小，在ε=1時，n=1對應的反對稱模態(tài)頻率則一直呈增大趨勢；而n≥2等稍高階周向模態(tài)應的對稱模態(tài)和反對稱頻率則隨著環(huán)肋高度的增大而增大，且越高的周向模態(tài)階數(shù)對應的固有頻率增大越明顯；n≤3時，環(huán)肋橢圓柱殼的對稱和反對稱模態(tài)頻率的差異隨著環(huán)肋高度的增大而減小，最終會趨于一致，而n≥4時，對稱和反對稱模態(tài)頻率的差異則隨著環(huán)肋高度的增大而增大；環(huán)肋橢圓柱殼基頻對應的周向模態(tài)階數(shù)也會隨著環(huán)肋高度的增大而減小。

參 考 文 獻

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