安徽合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 張嘉文

從廣義上講，我們生活在一個(gè)被數(shù)字包圍的世界，從童年到成年，從家中到街上，無(wú)論是學(xué)習(xí)還是工作，數(shù)字和數(shù)量已經(jīng)成為我們生活的一部分。在我們的計(jì)劃或者決定中都會(huì)有數(shù)字的身影，因此為了計(jì)劃更有效或者決定更正確，我們通常需要進(jìn)行一番數(shù)字計(jì)算。能夠在各種情況下定量地思考，能夠使用數(shù)學(xué)進(jìn)行有效的表示，并理解這些情形中數(shù)學(xué)概念中的邏輯規(guī)則，這是我們?cè)谧鲇?jì)算時(shí)需要掌握的能力，而這些能力通常與數(shù)感有關(guān)。

一、數(shù)感

數(shù)感是一個(gè)易于理解但是難以定義的概念，這里給出關(guān)于數(shù)感的一些認(rèn)識(shí)。

數(shù)感可以看作是對(duì)數(shù)字和運(yùn)算的一種理解，它幫助個(gè)體進(jìn)行信息處理和應(yīng)用適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，并進(jìn)行有根據(jù)的反饋和交流。同樣，數(shù)感是理解問(wèn)題情境中涉及的數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，這種理解需要靈活，因?yàn)橄嗤牟呗圆贿m用于所有的情況。

數(shù)感是一種認(rèn)知能力，它允許個(gè)體與環(huán)境提供的各種資源成功地交互，以便能夠產(chǎn)生適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案來(lái)處理涉及數(shù)學(xué)使用的日常活動(dòng)。它可以被看作是數(shù)字在用途、意義和關(guān)系的等方面的一種良好直覺(jué)，這種直覺(jué)能夠幫助個(gè)體以有效而靈活的方式處理涉及數(shù)字和數(shù)量的情況。

二、數(shù)感實(shí)驗(yàn)

與任何其他數(shù)學(xué)知識(shí)或能力一樣，數(shù)感源于每天在最不同的社會(huì)情境中進(jìn)行的活動(dòng)，例如在家里、在學(xué)?；蛘呤墙值郎虾凸ぷ鲌?chǎng)所中。從社會(huì)經(jīng)濟(jì)層面上看，相比低收入家庭，中產(chǎn)階級(jí)家庭的父母與子女更頻繁地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)。來(lái)自低收入家庭的孩子們?cè)谌雽W(xué)前的數(shù)感發(fā)展通常有限，并且在上學(xué)之前只擁有有限的數(shù)學(xué)知識(shí)。研究表明，來(lái)自不同社會(huì)階層的孩子在日常生活中有不同的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)知識(shí)（不一定更好或更壞），因此考察不同社會(huì)階層的兒童在理解數(shù)字和運(yùn)算能力方面的差異是必要的。這里將介紹研究人員對(duì)巴西二年級(jí)兒童（7～8歲）數(shù)感能力考察，分析兒童對(duì)于數(shù)字的一般用法的認(rèn)識(shí)。

實(shí)驗(yàn)是一項(xiàng)訪談研究，包含三個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題：（1）數(shù)字是什么？（2）算術(shù)是什么？（3）我們?yōu)槭裁匆獪y(cè)量？這個(gè)三個(gè)問(wèn)題的設(shè)置是結(jié)合了巴西國(guó)家課程建議中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的三個(gè)方面——數(shù)字、運(yùn)算和測(cè)量。

受訪的孩子共計(jì)40名，20名來(lái)自低收入家庭，20名來(lái)自中等收入家庭。每個(gè)孩子的回答都被記錄下來(lái)，并根據(jù)孩子的回答將每個(gè)問(wèn)題的回答分成4類(lèi)，分別為校內(nèi)用途、校外用途、智力用途和職業(yè)用途，每一類(lèi)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)如表1。分類(lèi)的過(guò)程由2名進(jìn)行相互獨(dú)立的判斷，對(duì)意見(jiàn)不統(tǒng)一的案例，將有第三個(gè)獨(dú)立的判斷者進(jìn)行分類(lèi)，最終的判別將至少有2名判斷者的同意。

表1 實(shí)驗(yàn)中的問(wèn)答分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)

分類(lèi)結(jié)果見(jiàn)表2，經(jīng)過(guò)曼-惠特尼U檢驗(yàn)可以看出，認(rèn)為數(shù)字的校外用途的中產(chǎn)家庭的孩子明顯多于低收入家庭的孩子（U=8，P=0.0290），而在數(shù)字的職業(yè)用途方面則是低收入家庭的孩子較多（U=106，P=0.0078）。

表2 實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分類(lèi)匯總

對(duì)于低收入家庭兒童，校內(nèi)用途比其他用途更頻繁（弗里德曼測(cè)試：X＝15.529，P＝0.001），而對(duì)于中產(chǎn)家庭兒童，校內(nèi)使用和校外使用大致相同并且比其他使用更頻繁（弗里德曼測(cè)試：X＝11.571，P＝0.003）。重要的是要提到，與職業(yè)活動(dòng)有關(guān)的職業(yè)用途在中產(chǎn)階級(jí)兒童中很少被觀察到（只有5%）。

將這些用途與數(shù)字、算術(shù)和測(cè)量3個(gè)方面的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系可以得到以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：（1）在學(xué)校中，數(shù)字多用于進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，而在校外使用時(shí)，數(shù)字多于計(jì)數(shù)情況有關(guān)；（2）算術(shù)運(yùn)算本事上還是應(yīng)用于學(xué)校用途，找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（3）測(cè)量活動(dòng)大多與校外用途相關(guān)。

總體來(lái)說(shuō)，兩組孩子都傾向于把數(shù)字和運(yùn)算應(yīng)用于學(xué)校相關(guān)的用法，而把測(cè)量活動(dòng)用于校外的用法。

三、思考與建議

對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，研究人員認(rèn)為在這項(xiàng)研究中，孩子們可能認(rèn)為計(jì)數(shù)活動(dòng)是學(xué)校情境活動(dòng)。這是因?yàn)樵诎臀鳎嫦蛐W(xué)的數(shù)學(xué)教科書(shū)往往傾向于算術(shù)運(yùn)算的解決方案。另一方面，測(cè)量活動(dòng)不經(jīng)常在學(xué)校提出，所以他們不與學(xué)校的使用有關(guān)。相反，需要測(cè)量的情況通常在家庭中出現(xiàn)，孩子們經(jīng)常要測(cè)量物體的長(zhǎng)度（例如，衣柜的高度）或它們之間的距離（例如，衣柜和床之間），而算術(shù)運(yùn)算主要是在做作業(yè)的時(shí)候進(jìn)行的。

以上實(shí)驗(yàn)給我們一個(gè)強(qiáng)烈的信號(hào)，那就是來(lái)自不同社會(huì)階層的孩子在入學(xué)之前會(huì)擁有不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)感的發(fā)展也不盡相同。通過(guò)對(duì)上述實(shí)驗(yàn)的分析，結(jié)合我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，可以得出以下幾點(diǎn)思考：

小學(xué)教師應(yīng)充分認(rèn)清孩子數(shù)感發(fā)展不均衡這一現(xiàn)實(shí)條件。不同社會(huì)背景的兒童在日常生活中對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)和意義存在相似和不同，這是入學(xué)前孩子數(shù)感發(fā)展不均衡的現(xiàn)實(shí)條件，教師應(yīng)對(duì)此進(jìn)行充分的認(rèn)識(shí)。觀察孩子在學(xué)校內(nèi)外的數(shù)學(xué)活動(dòng)，尤其是相關(guān)家庭背景，對(duì)孩子的原始數(shù)感有個(gè)清晰的定位，這樣才能有利于后續(xù)教學(xué)的針對(duì)性。

小學(xué)教師應(yīng)制定更加靈活的教學(xué)方案來(lái)培養(yǎng)孩子的數(shù)感。孩子數(shù)感的發(fā)展是多方面作用的結(jié)果，作為數(shù)感發(fā)展的重要一環(huán)，學(xué)校教學(xué)應(yīng)該承擔(dān)更多的責(zé)任，教師在教學(xué)方案上應(yīng)該更加靈活，既要考慮到孩子數(shù)感發(fā)展的不均衡，也要注重教學(xué)效果。

小學(xué)教師應(yīng)注重于家庭的聯(lián)動(dòng)，在生活中培養(yǎng)孩子的數(shù)感。孩子的成長(zhǎng)需要多方面的努力，只有各個(gè)環(huán)節(jié)同向運(yùn)作才能使孩子健康成長(zhǎng)。同樣，孩子的數(shù)感發(fā)展也需要家庭和學(xué)校的共同合作，教師應(yīng)該和家庭進(jìn)行更多的溝通和指導(dǎo)，在日常生活中增加孩子參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。

[1]馬云鵬，史炳星.認(rèn)識(shí)數(shù)感與發(fā)展數(shù)感[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（02）：46-49.

[2]鄭毓信.“數(shù)感”“符號(hào)感”與其他——《課程標(biāo)準(zhǔn)》大家談[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（03）：30-32.

[3]鄭毓信.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》的“另類(lèi)解讀”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（01）：1-7.

[4]Spinillo A G.Number Sense in Elementary School Children：The Uses and Meanings Given to Numbers in Different Investigative Situations[C]//Invited Lectures from the 13th International Congress on Mathematical Education. Springer， Cham，2018：639-650.