☉江蘇省儀征市第二中學 俞仁宗

在數(shù)學解題過程中，往往通過對典型數(shù)學問題的解決并深入觀察，從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，并得以解決問題，真正達到“解一題拓一類，拓一類通一片”，避免“題海戰(zhàn)術”，從而真正培養(yǎng)思維品質(zhì)，提升解題思維與解題能力，以不變應萬變.

高考真題 （2017·全國卷Ⅱ文·7，理·5）設x，y滿足則z=2x+y的最小值是（ ）.

（A）-15 （B）-9 （C）1 （D）9

分析：先根據(jù)條件作出對應不等式組的可行域，根據(jù)目標函數(shù)并結合可行域來確定最值問題.

解析：作出不等式組

所表示的平面區(qū)域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），對于目標函數(shù)z=2x+y，結合圖1知，過點A時取得最小值，最小值為-15，故選A.

點評拓展：解決線性規(guī)劃問題關鍵是先根據(jù)線性約束條件，畫出可行域，結合目標函數(shù)的特點，結合相應的幾何意義利用圖像求最值.利用線性規(guī)劃可以解決很多的相關問題，其解決問題的關鍵是：設出決策變量，利用圖像在線性約束條件下找出決策變量使線性目標函數(shù)達到最大或最小值.

圖1

變式1：設x，y滿足約束條件則其表示的平面區(qū)域的面積為______.

相似度：考查約束條件下的線性規(guī)劃可行域問題，區(qū)別在于本題是在線性規(guī)劃可行域約束條件下平面區(qū)域的面積問題，降低了難度，而高考真題是在給定的可行域約束條件下求目標函數(shù)的最小值.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖2.

圖2

由于|AB|=|6-（-6）|=12，點C（0，1）到直線AB：y+3=0的距離為h=d=|1+3|=4，那么S=×12×4＝24.△ABC

變式2： 設x，y滿足約束條件的最大值是（ ）.

（A）15 （B）12 （C）9 （D）6

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下求目標函數(shù)的最值問題，區(qū)別在于本題是在給定的可行域約束條件下求目標函數(shù)的最大值，而高考真題是在給定的可行域約束條件下求目標函數(shù)的最小值.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）.

對于目標函數(shù)z=2x+y，結合圖1知，過點B時取得最大值，最大值為9，故選C.

變式3：設x，y滿足約束條件的最大值為9，則實數(shù)m=（ ）.

（A）-1 （B）-2 （C）1 （D）2

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標函數(shù)的相關問題，區(qū)別在于本題根據(jù)目標函數(shù)的最值問題求解約束條件中的相關不等式中的參數(shù)值，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標函數(shù)的最值問題.

解析：將目標函數(shù)變形為y=-2x+z，當z取最大值，則直線縱截距最大，故當m≤0時，不滿足題意；

當m＞0時，作出不等式組其是由點A（-6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖3.對于目標函數(shù)z=2x+y，顯然過點時取得最大值，最大值為z=2×-3=9，解得m=2.故選D.

圖3

變式4：設x，y滿足約束條件（k＞0）的最小值等于-15，則實數(shù)k=______.

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標函數(shù)的相關問題，區(qū)別在于本題根據(jù)目標函數(shù)的最值問題求解相應的參數(shù)值，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標函數(shù)的最值問題.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖1.

當k＞0時，目標函數(shù)z=kx+y過點A（-6，-3）時取得最小值為k×（-6）-3=-15，解得k=2.

變式5：設x，y滿足約束條件最小值為______，最大值為______.

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標函數(shù)的相關問題，區(qū)別在于本題是在給定的可行域約束條件下，結合斜率的幾何意義確定相關分式的最值問題，增加了知識點與難度，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標函數(shù)的最值問題.

圖4

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖4.由表示的是可行域內(nèi)的點P（包括邊界）與點P（-9，-5）的連線的斜率，那么由相應的可行域可知，當取交點B（6，-3）時，此時直線PB的斜率最小，即

點P經(jīng)過直線AC：2x-3y+3=0，此時直線PAC的斜率最大，即

變式6：設x，y滿足約束條件9）2+（y+5）2的最小值為______，最大值為______.

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標函數(shù)的相關問題，區(qū)別在于本題是在給定的可行域約束條件下，結合平面內(nèi)兩點間的距離公式、點到直線的距離公式確定相關等式的最值問題，增加了知識點與難度，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標函數(shù)的最值問題.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖4.

由于z=（x+9）2+（y+5）2表示的是可行域內(nèi)的點（包括邊界）與點P（-9，-5）的連線的長度的平方，

那么由相應的可行域可知，當取交點B（6，-3）時，此時線段PB的長度最大，即|PB|2=（6+9）2+（-3+5）2=229；

當取交點A（-6，-3）時，此時線段PA的長度最小，即|PA|2=（-6+9）2+（-3+5）2=13.J