☉山東淄博實驗中學 李象林

縱觀近年高考數(shù)學試卷中的選擇題和填空題，涉及解析幾何中的“距離”題目出現(xiàn)的頻率非常多，亮點也頗多.處理好此類問題，除了要用到“兩點間的距離公式”和“點到直線的距離公式”外，還要結合題目中的已知條件，準確用好題中對應的特殊點，從而避免少走彎路，達到快速、有效、準確解題的目的.

一、用好“原點”

例1 （2017·全國Ⅲ理·10，文·11）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，A，且以線段12A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為（ ）.

分析：先確定以線段A1A2為直徑的圓的方程，結合直線與圓相切，根據(jù)原點O為圓心，利用點到直線的距離公式建立關系式，得到a、b的關系式，再結合橢圓的離心率公式加以求解即可.

解析：依題可知，以線段A1A2為直徑的圓O的方程是x2+y2=a2，又直線bx-ay+2ab=0與圓O相切，所以圓心O到直線的距離為，整理可得a2=3b2，那么橢圓

點評：原點O是解析幾何問題的中心，很多解析幾何問題就圍繞這個中心來展開.本題比較簡單，但巧妙地把解析幾何中的直線、圓、圓錐曲線三者有機融合，涉及直線的方程、圓的方程、橢圓的方程與幾何性質、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等眾多的知識點，真正體現(xiàn)解析幾何的大交匯，充分展示新大綱的精髓.

二、用好“頂點”

例2 （2017·全國Ⅰ理·15）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若∠MAN=60°，則C的離心率為______.

分析：先確定右頂點A的坐標與雙曲線C的一條漸近線方程，結合右頂點A到漸近線的距離d的求解，利用直線與圓的位置關系，并結合對應的角的情況建立關系式，得到參數(shù)之間的關系，從而得以求解雙曲線的離心率.

解析：由題可知,雙曲線C的右頂點為A（a，0），設其中一條漸近線為bx-ay=0，

則圓心A到此漸近線的距離為

因為∠MAN=60°，圓A的半徑為r=b，則有

則C的離心率

點評：頂點是圓錐曲線問題的基礎，涉及圓錐曲線方程問題，往往離不開頂點的滲透.本題結合頂點到雙曲線的漸近線的距離的求解，借助弦心距、弦以及圓的半徑所構成的直角三角形的性質入手來解決，達到求解雙曲線的離心率的目的.

三、用好“焦點”

例3 （2017·全國Ⅱ文·12）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x軸上方），l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（ ）.

分析：根據(jù)拋物線的方程確定焦點F的坐標，進而得到直線MF的方程，結合題意求解點M、N的坐標，利用拋物線的定義以及平面幾何的性質，結合勾股定理的轉化來求解M到直線NF的距離問題.

解析：由拋物線C：y2=4x可得焦點F（1，0），準線l的方程為x=-1，可得直線MF的方程為y=（x-1），代入y2=4x并整理有3x2-10x+3=0，解得x=3或x=1 3，可得M（3，2），結合題目條件可得N（-1，2）.根據(jù)拋物線的定義知，|MF|=|MN|=4，利用平面幾何的性質可知，M到直線NF的距離即為等腰△MNF的底邊NF上的高，結合勾股定理可（其中K為準線l與x軸的交點）.

點評：焦點是構成圓錐曲線問題的核心，往往是利用圓錐曲線的定義處理問題的“沖鋒號角”.涉及焦點的距離問題，經?？紤]利用圓錐曲線的定義來轉化與應用.本題采用平面幾何的性質來處理，解答過程顯得更為簡單快捷，處理問題更具特色，效果明顯.

四、用好“對稱點”

例4 （2017·全國Ⅱ理·16）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=______.

分析：根據(jù)題目條件以及中點的性質可以確定點N、F關于點M對稱，進而確定點M的橫坐標，結合定義把拋物線上的點到焦點的距離轉化為拋物線上的點到準線的距離，進而來求解對應的線段長度問題.

解析：由拋物線C：y2=8x知，p=4，焦點F（2，0），由于FM的延長線交y軸于點N，則N的橫坐標為0，而M為FN的中點，即點N、F關于點M對稱，根據(jù)中點公式可得M的橫坐標為xM=1，結合拋物線的定義知3，故 |FN|=2|MF|=66.

點評：對稱點是解析幾何問題中的和諧元素，往往可以通過對稱點確定點的坐標、建立關系式、構建幾何性質等.在解決解析幾何中，根據(jù)對稱性，找出對稱點經常是順利解決問題的關鍵.本題結合圓錐曲線的對稱與定義，巧妙地達到化繁為簡、事半功倍的效果.

五、用好“動點”

例5 （2017·全國Ⅰ理·10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

（A）16 （B）14 （C）12 （D）10

分析：根據(jù)條件設出直線l1的方程，通過聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系并結合拋物線的定義確定兩動點間的距離|AB|=x1+x2+p，進而同理解得|DE|，結合基本不等式來確定相應的最值問題.

解析：由題得拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），易知直線l1，l2的斜率均存在且不為0，設直線l1的方程為y=k1（x-1），聯(lián)立方程組，得k12-（2k12+4）x+k12=0，所.由拋物線的定義確定兩動點間的距離|AB|=x1+x2+p=

那么|AB|+|DE|=8+=16（由于直線l1，l2互相垂直，則有k1k2=-1），當且僅當k1=-k2=1（或-1）時，取得等號.

點評：動點是解析幾何問題中的常態(tài)，利用動點的變化往往可以建立相應的關系式，為進一步的求解奠定基礎.本題結合動點間的距離公式的求解，通過題目條件加以化歸與轉化，并結合對應參數(shù)的取值情況，結合基本不等式，從而得以確定距離問題的最值.

其實，解析幾何中的基本概念、基本方程、基本公式等都是高考中?？嫉闹匾R點之一，對于考查的選擇題和填空題，有時題目比較容易，有時題目比較難，都不要輕視，要通過動手、動腦，融會貫通，真正達到“動后熟悉，熟后思考，思后悟理，悟后掌握”的解題效果.J