☉內(nèi)蒙古包頭市第四中學(xué) 張 輝

高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》一節(jié)正文中對雙曲線的漸近線的介紹比較簡單，主要是通過多媒體演示讓學(xué)生感受漸近的過程，而該過程的證明實際上在本節(jié)課后的“探究與發(fā)現(xiàn)”部分給出.就近些年高考題來看，對漸近線的考查也僅限于簡單的應(yīng)用，所以很多教師對漸近線的教學(xué)也是輕描淡寫、浮于表面，尤其對文科數(shù)學(xué)的教學(xué)更是如此.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)切不可“急功近利”，上課只講考的內(nèi)容，不考內(nèi)容只字不提，那樣數(shù)學(xué)課就會變成“識記課”，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也就無從談起.

在受分層教學(xué)思想的影響下，本人覺得在講授雙曲線的漸近線內(nèi)容時不僅不能輕描淡寫，還要根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)不同，精心設(shè)計出適合各類學(xué)生的學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的思考與探索領(lǐng)會雙曲線漸近線的本質(zhì).在學(xué)習(xí)兄弟學(xué)校賈老師的一節(jié)課后，整理出如下學(xué)案：

學(xué)案A：

（1）函數(shù)y=（k≠0）的圖像是什么圖形？

（2）函數(shù)y=（k≠0）的圖像的漸近線分別是什么？

（3）圖1表示雙曲線C：x2-=1，同學(xué)們認(rèn)為該雙曲線有漸近線嗎？

（4）如果有，請試著畫一畫，猜一猜漸近線方程.

（5）漸近線方程的斜率是什么？斜率與雙曲線方程中的“a，b”有關(guān)系嗎？

圖1

（6）雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程是______.

（7）請同學(xué)們試著說說“漸近線”的“漸近”的表象：______.

（8）當(dāng)過第一、三象限的漸近線的斜率______時，雙曲線的口越_____；斜率______時，雙曲線的口越______.

（9）等軸雙曲線的漸近線方程為______.

學(xué)案B：

（1）函數(shù)y=k x（k≠0）的圖像的漸近線分別是什么？

（2）在圖1中畫一畫雙曲線C：x2-=1的漸近線，并猜一猜方程.

（3）漸近線方程的斜率是什么？斜率與雙曲線方程x2-=1中的“a，b”有關(guān)系嗎？

（4）雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程是______.

（5）請同學(xué)們試著說說“漸近線”的“漸近”的表象：______.

（6）當(dāng)過第一、三象限的漸近線的斜率______時，雙曲線的口越_____；斜率_____時，雙曲線的口越______.

（7）等軸雙曲線的漸近線方程為______.

學(xué)案C：

（1）我們學(xué)習(xí)過反比例函數(shù)的圖像是______其漸近線是______，如何描述其“漸近”特征？

（2）雙曲線C有漸近線嗎？如果有，請畫一畫，猜一猜漸近線方程是______.

（3）你有什么理由認(rèn)為上述方程是雙曲線的漸近線？

①根據(jù)雙曲線的______性，我們可以將上述問題轉(zhuǎn)化成研究第______象限的問題.

②如何說明第______象限內(nèi)的漸近線與雙曲線的位置關(guān)系？

③用什么數(shù)字特征刻畫“漸近線”的“漸近”特征呢？

④這種數(shù)字特征運算方便嗎？還有相對簡單的數(shù)字特征來刻畫“漸近線”的“漸近”特征嗎？

⑤我們在學(xué)習(xí)哪部分知識用到了相似的方法？

⑥雙曲線漸近線的斜率變化影響雙曲線什么幾何特征？

這三個學(xué)案分別適合基礎(chǔ)在低、中、高層次的學(xué)生.雖然都是從學(xué)生熟悉的反比例函數(shù)的漸近線入手，一步步引出所要學(xué)的雙曲線漸近線的一般性質(zhì).但是，可以看出，學(xué)生基礎(chǔ)水平越低，問題設(shè)置越簡單，跨度越?。粚W(xué)生基礎(chǔ)水平越高，問題設(shè)置越難，跨度越大，涉及的內(nèi)容也越深越廣.如此“因材施教”，才能讓學(xué)生更輕松卻也更深刻地掌握雙曲線的性質(zhì).在教學(xué)過程中，我們要針對不同層次的學(xué)生在理解過程中可能遇到的不同問題進行學(xué)案設(shè)計，使他們在掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上得到不同層次的能力提升.

1.人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)A版選修1-1數(shù)學(xué)［M］.人民教育出版社，2007（2）.

2.翁開鋒.高中數(shù)學(xué)分層導(dǎo)學(xué)案模式的教學(xué)實踐研究.課程教育研究［J］，2017（7）.

3.包水耿.關(guān)于雙曲線的漸近線的若干結(jié)論及其應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2002（7）.F