王 磊，朱夢杰

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引言

防空導(dǎo)彈通常攔截迎擊狀態(tài)的目標(biāo)，但隨著防空任務(wù)需求的多樣化，當(dāng)導(dǎo)彈發(fā)射前后目標(biāo)穿越發(fā)射點上空或發(fā)射期間目標(biāo)遠(yuǎn)離發(fā)射點時，會形成導(dǎo)彈尾追攔截目標(biāo)的情況。預(yù)測遭遇點參數(shù)在導(dǎo)彈發(fā)射條件判斷、彈道設(shè)計及彈上飛控邏輯的實現(xiàn)中具有重要意義。快速、準(zhǔn)確的預(yù)測遭遇點參數(shù)對充分發(fā)揮武器系統(tǒng)作戰(zhàn)性能有著重要影響。影響遭遇點預(yù)測的因素很多，包括導(dǎo)引方法、目標(biāo)運動特性、攔截態(tài)勢等諸多方面。相比于迎擊目標(biāo)，尾追態(tài)勢下目標(biāo)初始參數(shù)裝訂值域擴大，導(dǎo)彈攔截過程存在迎擊轉(zhuǎn)尾追或全程尾追的情況，在此基礎(chǔ)上的彈目運動幾何關(guān)系和預(yù)測方法也會產(chǎn)生新的變化。根據(jù)目標(biāo)初始裝訂信息，在兼顧迎擊與尾追攔截態(tài)勢的前提下，快速準(zhǔn)確的預(yù)測彈目遭遇點成為一個值得研究的問題。

現(xiàn)有關(guān)遭遇點預(yù)測問題所提出的方法依據(jù)采用算法的不同可大致分為以下幾類：一類是解析法，此類方法通常依據(jù)彈目相對運動關(guān)系或軌道特征參數(shù)，推導(dǎo)形成遭遇點預(yù)測的解析模型，能直接計算或通過迭代計算預(yù)測命中點[1-5]，也可將遭遇點預(yù)測轉(zhuǎn)化為一元高次方程的求解，從而簡化問題的復(fù)雜度[6]；一類是數(shù)值積分法，根據(jù)導(dǎo)引指令及彈體、目標(biāo)運動學(xué)模型以及初始發(fā)射條件，解算運動學(xué)彈道至彈目遭遇，從而獲得理論遭遇點位置[7]；還有一類常用于彈道式飛行器的遭遇點預(yù)測修正方法，將彈目的動力學(xué)方程進(jìn)行泰勒展開并舍去高階項，以便形成離散形式的預(yù)測濾波模型，通過對目標(biāo)數(shù)據(jù)序列濾波得到目標(biāo)軌跡，從而計算得到預(yù)測遭遇點[8-9]。對比可知，解析算法求解過程一般采用對模型進(jìn)行簡化和近似處理的方法，多應(yīng)用于目標(biāo)彈道易于解析化表達(dá)的情況，因此不太適用于尋的制導(dǎo)方式的彈道，簡化得到的近似解與真實遭遇點間存在偏差。數(shù)值積分法需要對氣動、指令形成、彈目運動學(xué)等進(jìn)行建模，計算過程即彈目運動方程的求解過程。該算法通常面臨計算精度與計算效率之間的矛盾。預(yù)測修正方法基于對目標(biāo)參數(shù)的預(yù)測濾波，濾波計算復(fù)雜，資源開銷大，工程應(yīng)用受到較大限制。

目前涉及遭遇點預(yù)測的研究中通常結(jié)合導(dǎo)引規(guī)律設(shè)計給出迎擊條件下的預(yù)測算法，尚未涉及尾追目標(biāo)態(tài)勢下的遭遇點預(yù)測方法，同時解析法和數(shù)值積分法工程應(yīng)用受限。因此本文考慮尾追攔截的彈目相對運動關(guān)系及工程應(yīng)用對計算效率的需求，針對性解決了尾追態(tài)勢的模型適用性和收斂性問題，采用數(shù)值方法建立了便于遞推求解的遭遇點預(yù)測模型。首先根據(jù)彈目相對運動關(guān)系建立遭遇點預(yù)測模型，針對尾追態(tài)勢分析了模型收斂性及適用性。然后結(jié)合尾追攔截態(tài)勢及預(yù)測模型收斂條件，優(yōu)化運動關(guān)系描述并設(shè)計了兼顧迎擊、尾追目標(biāo)的迭代算法。最后通過典型遭遇點對預(yù)測算法的收斂性和預(yù)測精度進(jìn)行了仿真研究，驗證了其有效性。

1 尾追攔截與遭遇點預(yù)測

在射擊坐標(biāo)系中，目標(biāo)由初始位置以一定速度運動至遭遇點，導(dǎo)彈由發(fā)射點按照既定導(dǎo)引規(guī)律運動至遭遇點。發(fā)射、遭遇斜距及目標(biāo)軌跡構(gòu)成了攔截過程的彈目運動軌跡。導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈目遭遇態(tài)勢Fig.1 Missile-target encounter situation

導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時，武器系統(tǒng)決定目標(biāo)是否具備攔截條件，并在滿足發(fā)射條件時控制導(dǎo)彈發(fā)射，遭遇點參數(shù)Hp和Rp是決策、控制導(dǎo)彈發(fā)射過程的關(guān)鍵數(shù)據(jù)[10]。為判定發(fā)射窗口，遭遇參數(shù)需要在導(dǎo)彈發(fā)射前確定[11-12]。導(dǎo)彈發(fā)射后，Rp，Tp用于導(dǎo)彈初始轉(zhuǎn)彎入射角計算，中、末制導(dǎo)參數(shù)調(diào)參以及武器系統(tǒng)的照射資源切換。遭遇點預(yù)測需要解決的問題，即發(fā)射前根據(jù)武器系統(tǒng)裝訂給導(dǎo)彈的目標(biāo)初始參數(shù)，結(jié)合導(dǎo)彈速度特性及飛行情況，計算理論遭遇點高度Hp、斜距Rp及遭遇時間Tp。

2 遭遇點預(yù)測模型

2.1 模型建立

圖2 彈目相對運動和預(yù)測遭遇點Fig.2 Missile-target relative movement and predicted impact point

根據(jù)圖2，假定初始裝訂給導(dǎo)彈的目標(biāo)位置信息為(xt,yt,zt)，速度信息為(vxt,vyt,vzt)，則目標(biāo)初始斜距及其變化率計算如下

(1)

設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射到遭遇時間Tp內(nèi)發(fā)射點與目標(biāo)連線掃過的角度為γ，目標(biāo)初始斜距與目標(biāo)軌跡之間的夾角為θ，幾何關(guān)系為

(2)

(3)

式中：Ω為初始視線旋轉(zhuǎn)角速度，Ω=|Rt0×Vt|/Rt0。根據(jù)平行接近關(guān)系遭遇時間

(4)

(5)

由Tp計算Rp，得

(6)

將式(3)～(6)整理得到

(7)

(8)

2.2 預(yù)測算法分析

分析可知式(7)方程系數(shù)僅與目標(biāo)初始裝訂值有關(guān)，若對式(7)采用迭代法進(jìn)行求解，形如方程x=φ(x)的迭代收斂性有如下結(jié)論[14]。

若迭代函數(shù)φ(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：1)x∈[a,b]?φ(x)∈[a,b]；2)φ(x)滿足?x1,x2∈[a,b]，有|φ(x1)-φ(x2)|≤L|x1-x2|，且0

在給定(xt,yt,zt)及(vxt,vyt,vzt)的條件下，式(7)的收斂性是確定的。迎擊與背離目標(biāo)的區(qū)別在于目標(biāo)初始參數(shù)的差異，不同目標(biāo)初始位置條件下迭代方程特性如圖3所示。

圖3 迭代方程特性Fig.3 Iterative function characteristic

(9)

(10)

2.3 尾追攔截模型優(yōu)化

針對式(7)模型收斂性與適用性所存在的問題，對預(yù)估模型進(jìn)行優(yōu)化。當(dāng)γ>90°時，根據(jù)圖2幾何關(guān)系對模型修正為

(11)

將式(5)、式(6)代入式(11)并整理得

(12)

聯(lián)立式(6)并代入式(4)可得

(13)

式(11)對應(yīng)的γ值域為(0°,180°)，故式(13)考慮了目標(biāo)在低空尾追攔截時的適用性，能夠描述T1，T2，T3各種攔截情況下的彈目運動。分析可知式(13)是關(guān)于Rp的一元高次方程，記式(13)右端為g1(Rp)，對g1(Rp)求導(dǎo)可得

(14)

不同攔截態(tài)勢下目標(biāo)初值形成的函數(shù)g1(Rp)特性有較為明顯的差異，將尾追近界點參數(shù)代入g1(Rp)出現(xiàn)g1(Rpmin)Rpmax，且|g1(Rpmin)|>1、|g1(Rpmax)|>1的情況，不滿足不動點迭代的收斂性條件。表明以Rp=g1(Rp)形式進(jìn)行遭遇點預(yù)測仍然面臨收斂性問題。結(jié)合2.2節(jié)，鑒于Rp=g1(Rp)形式的方程迭代收斂性對g1(Rp)的函數(shù)特性有較為嚴(yán)格的要求，需要尋求一種新的方程形式和迭代算法以滿足收斂性及計算效率的約束。

3 遭遇點預(yù)測模型解算

3.1 迭代算法

將式(13)進(jìn)行整理可得f(Rp)=0，函數(shù)f(Rp)表達(dá)式為

(15)

圖4 尾追態(tài)勢初值條件下的f(Rp)特性Fig.4 Characteristic of f(Rp) for tail- chase situation initialization

典型目標(biāo)初值對應(yīng)的f(Rp)曲線如圖4所示。結(jié)合圖4可知f(Rp)在導(dǎo)彈攔截范圍內(nèi)存在過零點，且該特性與目標(biāo)的迎擊或尾追態(tài)勢無關(guān)，因此必定存在符合彈目運動關(guān)系的遭遇點。而f(Rp)=0求解算法應(yīng)滿足收斂條件寬松，收斂速度快兩方面要求。根據(jù)數(shù)值計算相關(guān)方法，形如f(x)=0的方程，Newton迭代法求解的局部收斂性定理要求滿足[15]：

1)f(x)=0存在單一根x*；

2)x*的鄰域內(nèi)f′(x)連續(xù)。

根據(jù)f(Rp)單調(diào)性及過零點的情況，宜采用Newton迭代法求解。為避免計算f(Rp)導(dǎo)數(shù)，離散化的遞推形式為

(Rp(k)-Rp(k-1))(k=0,1,…)

(16)

3.2 初值及終止條件

確定迭代初值需要考慮的因素包括收斂性和迭代次數(shù)。初值選擇需要在可能的遭遇點附近，一方面滿足局部收斂性條件，另一方面減少迭代次數(shù)。在導(dǎo)彈典型攔截范圍內(nèi)考慮全空域收斂速度，確定迭代初值

(17)

式中：Rpmax，Rpmin分別為殺傷斜距遠(yuǎn)，近界。ε為遭遇斜距迭代要求的收斂精度，ε<Δ。滿足以下任一條件結(jié)束迭代：迭代次數(shù)大于n次； |Rp(k+1)-Rp(k)|<ε。其中迭代次數(shù)n和收斂精度ε根據(jù)計算效率及使用需求確定。

3.3 預(yù)測模型解算流程

按式(17)確定Rp的迭代初值，根據(jù)目標(biāo)裝訂位置(xt,yt,zt)和裝訂速度(vxt,vyt,vzt)計算迭代參數(shù)形成迭代公式。迭代過程按如下步驟進(jìn)行：

2) 由式(15)計算f(Rp)；

3) 由式(16)根據(jù)k與k-1步的Rp和f(Rp)計算Rp(k+1)；

4) 由式(6)計算Tp；

5) 由式(8)更新Hp，Rp；

6) 判斷終止條件，滿足則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步驟1)。

遭遇點預(yù)測模型解算流程如圖5所示。

圖5 預(yù)測模型解算流程Fig.5 Calculation process of forecast model

預(yù)測得到的遭遇點參數(shù)可用于發(fā)射條件判斷、彈道設(shè)計及彈上飛控邏輯的實現(xiàn)。

4 仿真結(jié)果

以典型目標(biāo)遭遇參數(shù)對應(yīng)的發(fā)射點作為算例，分析預(yù)測模型設(shè)計的有效性。T1～T4均為速度500 m/s的超低空平飛目標(biāo)，目標(biāo)飛行高度0.1 km，理論遭遇斜距5.0～12.0 km，設(shè)置不同的航路捷徑，射擊坐標(biāo)系下理論裝訂參數(shù)及遭遇參數(shù)見表1，迭代初值Rp(0)=10，Δ=0.5。

表1 典型目標(biāo)態(tài)勢

表2、表3為迭代計算結(jié)果，將優(yōu)化前后的計算情況進(jìn)行了對比。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，優(yōu)化前模型雖然較好地預(yù)測了迎擊態(tài)勢的遭遇點，但對尾追情況不適用，會出現(xiàn)迭代發(fā)散或預(yù)測至限幅值的情況。優(yōu)化后模型則能同時適應(yīng)迎擊、尾追的攔截情況。

表2 迎擊攔截斜距預(yù)測結(jié)果

表 3 尾追攔截斜距預(yù)測結(jié)果

從迭代次數(shù)可以看出，優(yōu)化后的迎擊平均迭代次數(shù)增加0.5步，尾追迭代次數(shù)平均增加1.25步，優(yōu)化后迭代計算量與優(yōu)化前相當(dāng)，滿足實際應(yīng)用。圖6中給出了優(yōu)化后尾追迭代中平均速度與遭遇時間的收斂情況。

圖6 迭代次數(shù)及收斂過程Fig.6 Iteration number and convergence process

通過預(yù)測值與實際仿真遭遇斜距的比較可知，對迎擊目標(biāo)遭遇斜距的預(yù)測誤差不足1%，對尾追目標(biāo)遭遇斜距預(yù)測相對誤差約3%，預(yù)測精度完全滿足發(fā)射條件及彈上邏輯的使用要求。

以T1，T4目標(biāo)為例，不同迭代初值條件下尾追預(yù)測的收斂過程如圖7所示。結(jié)果表明：在合理范圍內(nèi)的初值都能夠較好的收斂，以式(17)確定的初值能快速收斂至理論遭遇斜距。優(yōu)化模型并未限定目標(biāo)的遭遇態(tài)勢，該模型對各種目標(biāo)態(tài)勢均有較好的適應(yīng)性。仿真計算表明：優(yōu)化模型適用于全空域迎擊、尾追目標(biāo)的遭遇點預(yù)測。

圖7 遭遇斜距收斂過程Fig.7 Encounter slant-range convergence process

遭遇點預(yù)測精度受目標(biāo)測量及機動的影響，目標(biāo)參數(shù)的裝訂誤差會影響迭代精度，工程應(yīng)用中需考慮雷達(dá)測量誤差引起的參數(shù)攝動，統(tǒng)計可能出現(xiàn)的最大誤差量級。應(yīng)用中多數(shù)情況下可將目標(biāo)視為非機動目標(biāo)，但目標(biāo)在突防、規(guī)避等特殊運動狀態(tài)下，其機動的不確定性使遭遇點的預(yù)測變復(fù)雜。針對性分析目標(biāo)可能的機動形式及時機，預(yù)測其機動規(guī)律以改善模型精度是需要進(jìn)一步研究的工作。

5 結(jié)束語

對于防空導(dǎo)彈遭遇點預(yù)測問題，本文通過對目標(biāo)攔截態(tài)勢的分析，給出一種兼顧迎擊的尾追態(tài)勢下遭遇點參數(shù)預(yù)測方法。該方法通過分析彈目相對運動，在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上給出優(yōu)化的彈目運動描述，以此為基礎(chǔ)設(shè)計遭遇點預(yù)測迭代模型，使算法在預(yù)測遭遇參數(shù)時不受攔截態(tài)勢的影響。仿真結(jié)果表明：預(yù)測算法對運動關(guān)系的優(yōu)化改進(jìn)是有效的。在可行域內(nèi)，預(yù)測算法對迭代初值的選擇無特殊要求；對不同點的驗證表明，預(yù)測計算量小，算法平均迭代收斂次數(shù)少；相比常規(guī)遭遇點預(yù)測方法，給出了適用于尾追攔截態(tài)勢的預(yù)測模型；考慮了不同遭遇點導(dǎo)彈速度特性的變化，預(yù)測精度高，便于工程應(yīng)用。此外，目標(biāo)信息的精度和運動特性會影響遭遇點預(yù)測準(zhǔn)確度，后續(xù)可考慮機動情況下的目標(biāo)速度預(yù)估完善迭代模型。同時，應(yīng)進(jìn)一步研究分析引入目標(biāo)機動后的迭代收斂性。

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