程一峰, 劉增力(昆明理工大學 信息工程與自動化學院, 云南 昆明 650500)

1 引 言

近年來,稀疏表示在圖像去噪中的應用越來越廣泛,成為前沿研究課題。Mallat等[1]提出超完備字典,基于超完備字典的稀疏表示是圖像稀疏去噪的重要研究方向,而字典的設(shè)計則是該方向上重要的研究環(huán)節(jié)。全局字典以及自適應字典是字典的兩類重要分支,最近幾年,超完備字典通過學習和訓練而獲得的方法得到很大的進展。Aharon M,Elad M等[2]提出了K-SVD(K-singular value decomposition)算法,達到了良好的去噪效果。然而傳統(tǒng)的K-SVD算法在一些方面仍然存在不足,具體表現(xiàn)如下:字典在更新過程中會出現(xiàn)每一列無法全部更新或部分列失效的問題,原因是初始化字典的選擇不恰當,最終結(jié)果會導致信號利用率低;在噪聲比較強的時候,字典中含有與噪聲匹配的大量噪聲原子,導致字典在學習過程中無法有效地將噪聲去除;K-SVD算法運算時間較長,體現(xiàn)在圖像訓練過程中會占用大量的時間;傳統(tǒng)最速下降算法鋸齒現(xiàn)象嚴重。

本文針對傳統(tǒng)的K-SVD算法的幾點不足,對其進行了改進:首先,通過稀疏貝葉斯學習(sparse Bayesian learning,SBL)[3]對圖像進行預處理,提高圖像信號的利用率;然后,對字典進行優(yōu)化,并結(jié)合Bartlett檢驗法[4]將噪聲原子裁剪,提高去噪后圖像質(zhì)量;第三,針對運算時間較長的問題,研究凸優(yōu)化算法中的最速下降法,將改進的最速下降算法與正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)相結(jié)合;第四,將最速下降算法進行一維搜索,有效地抑制了鋸齒現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明,通過本文的圖像去噪方法,圖像精度和峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)值都得到了提高。

2 圖像的稀疏表示模型

2.1 K-均值聚類算法

通過K-均值(K-means)聚類算法將圖像塊進行聚類處理,將具有相似集合形態(tài)的圖像塊聚集在一起,再通過K-SVD算法對每一個相似塊訓練出各自的優(yōu)化字典,最終得到的字典更具有針對性。

K-均值聚類算法的主要方法步驟如下:首先從全體n個數(shù)據(jù)中選擇k個聚類中心。根據(jù)剩下的n-k個對象與k個聚類中心的相似度,將每個對象分配到k個聚類中心中與其最為相似的聚類中去。如果類中心有變化則對其進行反復聚類計算,直到類中心不再發(fā)生變化以及平方誤差函數(shù)收斂為止。平方誤差函數(shù)的定義可以表示為[5,6]:

(1)

式中:xji為第j類第i個樣本;kj為第j類的均值或稱聚類中心;nj為第j類樣本個數(shù);E為數(shù)據(jù)對象及其相應的聚類中心的均方差總和。

2.2 稀疏貝葉斯學習

在K-SVD算法中,字典在更新過程中經(jīng)常會出現(xiàn)每一列不能全部更新或部分列失效的現(xiàn)象,為了解決這個問題,可以通過貝葉斯學習[7]對信號進行預處理,通過貝葉斯概率模型進行迭代直到信號的稀疏表示。

1) 計算βij的協(xié)方差矩陣與βij:

βij協(xié)方差矩陣為

(2)

式中:βij為稀疏向量;Γ為k×k階對角矩陣,γ1,γ2,…,γk為對角元素;D為過完備字典矩陣;σ為噪聲標準差。

(3)

式中:Xij為圖像子塊。

2) 更新噪聲:

(4)

式中:Rij為提取子圖的矩陣;X為含噪圖像塊。

(5)

2.3 字典噪聲原子裁剪

傳統(tǒng)K-SVD的方法在訓練含噪圖像之后,得到的字典中會出現(xiàn)與噪聲匹配的噪聲原子,因此對于字典進行優(yōu)化的關(guān)鍵步驟就是刪除這些噪聲原子。然而關(guān)鍵問題是:如何對噪聲原子進行檢測。文獻[8]中提出利用假設(shè)檢驗來檢測噪聲原子。噪聲原子采用對角、反對角、水平、垂直4個掃描方向進行對比掃描,更能提高相關(guān)性檢測的能力。

設(shè)μi為特征向量的方差,在噪聲原子4個方向上用Bartlett檢驗法測試特征向量的方差μi是否相等,或者至少有2個原子的方差不等,Bartlett檢驗統(tǒng)計量H的定義為:

(6)

式中:n為原子元素數(shù)量。

對原子庫中的原子進行判斷,若某個原子滿足H<χ2(β;3),則認為該原子為噪聲原子,并且進行刪除。χ2(β;3)表示自由度為3的卡方分布上的β百分點位置。與通過挖掘原子庫的冗余性來減小原子數(shù)目的傳統(tǒng)字典優(yōu)化方法對比可以發(fā)現(xiàn),該方法不會對信息原子產(chǎn)生影響,只會從字典中刪除噪聲原子,從而提高了逼近質(zhì)量以及去噪效果。

2.4 改進的最速下降正交匹配追蹤

傳統(tǒng)的最速下降算法雖然擁有很多的優(yōu)點和可取之處,但是該算法依然存在缺點。在迭代過程中迭代點呈現(xiàn)了相應的“之”字型,此現(xiàn)象為鋸齒現(xiàn)象,對收斂速度會產(chǎn)生影響,但是鋸齒現(xiàn)象又是無法避免的。因此可以通過抑制鋸齒現(xiàn)象從而可以提高收斂速度。

稀疏分解圖像的目標是找到一個矩陣α并且滿足:

(7)

式中:||α||0為α的非零元個數(shù)。

目前,稀疏分解方法可分為基追蹤(BP),匹配追蹤(MP)和正交匹配追蹤(OMP)。OMP是最好的匹配追蹤算法并且具有最適用的基礎(chǔ)表達功能。式(7)可以轉(zhuǎn)換為無約束最優(yōu)化問題,即:

(8)

式中:λ為正則化參數(shù)。

盡管OMP算法比其他方法快,但其仍以損失一定的精度為代價?？紤]到凸優(yōu)化算法具有較高的精度但收斂速度較慢的特點,本文將改進的最速下降算法與OMP算法相結(jié)合,即改進的最速下降OMP。利用改進的最速下降算法去求解式(8)。

通常將式(8)看成是一種多元函數(shù)f(x)的無約束優(yōu)化問題,其尋優(yōu)表達式為[9,10]:

αk+1=αk+tkpk

(9)

式中:tk為優(yōu)化迭代的步長;pk為第k次迭代搜索方向。

通常認為在一個點上最快的下降方向是這一點的負梯度方向。于是可以定義:

pk=-f(αk)

(10)

每次優(yōu)化迭代的步長tk可以通過式(11)求得,即:

(11)

如果tk-1f(X(k+1))Tp(k-1)<0,則轉(zhuǎn)入式(12),否則轉(zhuǎn)入式(14)。

令p′k=X(k)-X′,從X(k)出發(fā),沿著p′k搜索方向進行一維搜索,求出步長t′k,使得

(12)

若f(X(k)+t′kp′k)

X(k+1)=X(k)+tkpk

(13)

置k=k+1,轉(zhuǎn)到式(10)。

該算法通過在p=X(k+1)-X(k-1)方向上進行一維搜索,得到一個比原始算法更好的迭代點。

(14)

式中:G=DTD;b=DTX。

對式(14)求導可得:

f(Xk)=Gα-b=-DTr

(15)

pk=-f(Xk)=DTr

(16)

式中：r為殘差矩陣。

(17)

結(jié)合改進之后的最速下降算法在凸優(yōu)化算法中的優(yōu)點及貪婪迭代算法中OMP的優(yōu)點。改進的最速下降OMP可以概括如下:

OMP的分解方法的目的是解決

(18)

步驟1:初始化。殘差r0=X,αx是X(X是含噪圖像塊)的稀疏系數(shù),Dx是X的字典,Dx∈D,ε是誤差控制參數(shù),原子下標索引集合I=φ。

步驟2:迭代L次,更新原子下標索引集I=I∪{i}。

1)選擇原子i和相應的稀疏系數(shù)αx,通過集合I使得目標函數(shù)最小化

(19)

2)更新I,I=I∪{i}

3)更新矩陣的最優(yōu)稀疏系數(shù)αx

(20)

4)更新殘差向量

rk+1=rk-Dxtkpk

(21)

步驟3:更新迭代殘差,當||rk+1||2<ε停止迭代,其它情況則返回步驟2。

3 改進的K-SVD圖像去噪算法

本文利用稀疏貝葉斯學習對含噪圖像進行預處理,提高其信號利用率。并且結(jié)合改進的最速下降正交匹配追蹤以及噪聲原子裁剪對字典進行更新。具體算法步驟如下:

步驟1:初始化階。首先利用K-means聚類算法對大小為N的圖像Y進行聚類,將圖像分為n類(n?N),并令有k個超參數(shù)的向量為γ=[γ1,γ2,…,γk]T,得到圖像子塊Xij=RijX,i=1,2,…,k;j=1,2,…,n;Rij為圖像子塊矩陣。最后,初始化字典D(0)∈Rn×k為過完備DCT基,并令J=1。

步驟2:稀疏貝葉斯學習。當J≤Jmax時,針對每一類圖像塊Xij用稀疏貝葉斯學習不斷更新噪聲大小,并且求得稀疏系數(shù)向量αij。

(22)

1)定義稀疏系數(shù)不為零的圖像塊集合為ωl={(i,j)|αij(l)≠0}。

步驟5:字典優(yōu)化。進行噪聲監(jiān)測并刪除噪聲原子。

步驟6:圖像去噪。在去噪過程中存在著圖像塊的重疊現(xiàn)象,因此應該對圖像塊的重疊部分做平均,去噪之后的圖像的近似解為:

選取PSNR較大的圖像作為最終去噪輸出圖像。

4 實驗結(jié)果分析

實驗是將本文算法與經(jīng)典圖像去噪算法:小波閾值去噪,基于非自適應冗余DCT字典去噪,基于傳統(tǒng)K-SVD方法去噪在MATLAB上進行仿真對比。實驗結(jié)果見圖1、圖2和圖3。

圖1 Boat原圖與加噪圖像

圖2 不同字典對比

從仿真結(jié)果可以看出,本文方法對于含噪圖像去噪效果明顯,能夠很好地保留圖像的邊緣紋理信息。與傳統(tǒng)去噪方法進行對比之后,可以發(fā)現(xiàn),本文算法的去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)去噪,圖像精度提高。

對Barbara,Flatland和Boat 3種圖像,選用不同去噪方法的峰值信噪比值比較結(jié)果見表1。

圖3 不同方法的去噪對比

表1 不同方法的峰值信噪比值比較 dB

通過表1可以發(fā)現(xiàn),不論是稀疏性較好的Barbara圖亦或是稀疏性較弱的Flatland和Boat圖,利用本文方法,峰值信噪比都明顯比其他方法提高不少,相對于傳統(tǒng)的K-SVD,本文方法提高了大概1 dB。因此,本文方法相對于其他去噪方法,綜合去噪能力顯著提高。

5 結(jié) 論

首先通過稀疏貝葉斯學習對含噪圖像進行預處理, 提高信號利用率。接著將改進之后的OMP算法,以及原子裁剪方法相結(jié)合,構(gòu)成了改進之后的K-SVD算法對圖像進行去噪。通過實驗分析可以看出,相對于傳統(tǒng)去噪算法,本文方法能夠更好地提高圖像的精度,圖像邊緣和紋理部分保留完好,峰值信噪比顯著提高,并且去噪效率也有所提高。

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