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        基于三維點云聚類的坡度估計方法

        2018-06-22 10:13:22李海波曹云峰莊麗葵南京航空航天大學(xué)江蘇南京210016
        計量學(xué)報 2018年3期
        關(guān)鍵詞:激光雷達斜坡坡度

        李海波, 曹云峰, 丁 萌, 莊麗葵(南京航空航天大學(xué), 江蘇 南京 210016)

        1 引 言

        為了對火星進行更全面的科學(xué)考察,通常需要探測器著陸到火星表面。探測器在著陸過程中,應(yīng)避免著陸到坡度較大的斜坡上,以免造成側(cè)滑或傾翻[1]。因此探測器在著陸階段,需要對候選著陸區(qū)域的坡度進行估計?;鹦潜砻娲嬖谳^大的巖石[2],巖石會使巖石區(qū)域的測量數(shù)據(jù)相對周圍區(qū)域測量數(shù)據(jù)產(chǎn)生較大的突兀值,影響坡度估計。目前,對坡度的估計方法主要有基于機器視覺的方法與基于激光雷達(light detection and ranging,LIDAR)的方法。機器視覺在計量領(lǐng)域有多種應(yīng)用[3~5],其設(shè)備具有體積小、重量輕的優(yōu)點,但獲得的數(shù)據(jù)受光照變化影響大;激光雷達可以應(yīng)用到不同測量目標(biāo)上[6,7],其測量數(shù)據(jù)不受光照影響,是一種理想的坡度估計信息源;文獻[8]提出了一種利用激光雷達測量數(shù)據(jù)進行坡度估計的方法,該方法采用最小二乘法擬合平面,擬合平面的傾角即為該區(qū)域的坡度;文獻[9]也提出了一種基于激光雷達測量的高程數(shù)據(jù)進行坡度估計的方法,該方法采用最小平方中位數(shù)法求取局部地形的法向量,法向量與天體重力方向的夾角即認為是局部地形的坡度,但該方法需要預(yù)先設(shè)定一些先驗參數(shù);文獻[10]針對激光雷達測量的數(shù)據(jù)利用最小二乘法擬合一個平面,求取該平面的法向量,定義法向量與當(dāng)?shù)刂亓铀俣确较蛑g所夾的銳角即為局部地形坡度,也就是擬合平面與基準(zhǔn)面之間的夾角;此外其他相關(guān)文獻中關(guān)于坡度估計的方法大都基于上述方法,如文獻[11]等。但這些方法對坡度進行估計均存在估計誤差較大的問題,為此,本文研究了一種基于三維點云數(shù)據(jù)聚類與隨機搜索最優(yōu)擬合平面的坡度估計方法,可以顯著降低估計誤差,提高坡度估計精度。

        2 坡度估計原理

        2.1 測量數(shù)據(jù)點的稀疏表示

        首先定義測量區(qū)域空間坐標(biāo)系,其定義及數(shù)據(jù)點三維表示如圖1所示??臻g直角坐標(biāo)系在三維激光掃描測量中起著關(guān)鍵作用[12],以測量區(qū)域的左下角為原點,x軸與水平邊重合指向正東;y軸與x軸垂直,指向正北;z軸與x軸和y軸垂直并按右手定則確定,見圖1(a)。通過空間坐標(biāo)系,激光雷達的測量數(shù)據(jù)可用三維坐標(biāo)表示,即Di=[xi,yi,zi],其中,D表示數(shù)據(jù)點;i為測量點數(shù)據(jù)序號;x、y、z分別表示測量點數(shù)據(jù)在三軸上的坐標(biāo),見圖1(b),圖中模擬的數(shù)據(jù)點可用三維坐標(biāo)表示。

        圖1 坐標(biāo)系定義及數(shù)據(jù)點三維表示

        X[x1…xN]=[X1…Xn]Γ

        (1)

        式中:Xl∈R3×Nl;Γ∈RN×N,是未知的置換矩陣。由于子空間的基是未知的,無法確定測量數(shù)據(jù)點屬于哪個子空間。為解決這一問題,首先將數(shù)據(jù)點進行稀疏化表示,使每一個數(shù)據(jù)點可以用空間中少數(shù)其他數(shù)據(jù)點進行表示,即

        xi=Xci,cii=0

        (2)

        式中:ci[ci1ci2…ciN]T;cii=0為限制條件,防止得到平凡解。由于在子空間中數(shù)據(jù)點的數(shù)量大于數(shù)據(jù)點的維數(shù),解的形式不唯一,即每個數(shù)據(jù)點由其他數(shù)據(jù)點表示的方式不唯一,具有多種方式。在這些解中,存在一種稀疏解ci,其解的非零部分與來自同一子空間的數(shù)據(jù)點xi相對應(yīng)[13], 即對于子空間Sl中的任一數(shù)據(jù)點xi,可以用來自同一子空間中的其他數(shù)據(jù)點組合表示。因此,離散數(shù)據(jù)點的稀疏表示能夠發(fā)現(xiàn)屬于同一子空間的數(shù)據(jù)點。由于式(2)中存在多個解,故采用最小化解的1范數(shù)方式獲得稀疏解,即

        (3)

        式(3)的解可通過凸規(guī)劃工具求得[14~16]。通過式(3),將所有數(shù)據(jù)點的稀疏優(yōu)化寫成矩陣形式:

        (4)

        式中:C[c1c2…cN]∈RN×N,其列向量對應(yīng)數(shù)據(jù)點的稀疏表示。式(4)的解即為所有數(shù)據(jù)點的稀疏表示,解中非零元素與空間中數(shù)據(jù)點相對應(yīng)。

        2.2 測量數(shù)據(jù)點分割

        通過構(gòu)造好的非負對稱相似度矩陣W構(gòu)造對角矩陣A,形式如下:

        (5)

        式中對角元素aii(i=1,…,N)為相似度矩陣W中列向量ci所有元素之和。利用對角矩陣A構(gòu)建Laplacian矩陣,即L=I-A-1/2WA-1/2,I為單位矩陣。對構(gòu)建的Laplacian矩陣L進行SVD(singular value decomposition)分解,對分解后得到的右正交矩陣V應(yīng)用K-means算法進行聚類,從而完成對數(shù)據(jù)點的分割。

        2.3 子空間測量點平面擬合

        對分割后的子空間測量點單獨進行平面擬合,設(shè)某一子空間測量數(shù)據(jù)點預(yù)確定的平面的方程為:

        ax+by+cz=d

        (6)

        式中:a、b、c為所設(shè)定平面單位法向量中的元素值,即單位法向量為(a,b,c),則有a2+b2+c2=1;d表示原點到所設(shè)定平面的距離,d≥0。

        在子空間中隨機選取一個數(shù)據(jù)點,計算與其歐式距離最近的4點,設(shè)這5點為{(xi,yi,zi),i=1,…,5},由式(6)可知每個點到平面的距離為

        hi=|axi+byi+czi-d|

        (7)

        式中h表示點到平面的距離。

        (8)

        當(dāng)e的值最小時,平面擬合最好。為求取e的最小值,根據(jù)約束條件:a2+b2+c2=1,利用拉格朗日乘子法構(gòu)造函數(shù)如下:

        λ(a2+b2+c2-1)

        (9)

        式中λ為拉格朗日乘子。

        將式(9)對d求偏導(dǎo),并令其為0,即

        (10)

        整理得

        (11)

        將式(11)代入式(7)得

        (12)

        將式(11)代入式(9)得

        (13)

        將式(13)分別對a、b、c求偏導(dǎo),并令其為0,

        (14)

        將式(14)進一步整理轉(zhuǎn)換得:

        (15)

        Bx=μx

        (16)

        B為3×3實對稱矩陣,由矩陣理論可知:

        (17)

        式中(,)表示兩個向量做點積運算。由于a2+b2+c2=1,所以(x,x)=1,則

        (18)

        當(dāng)e取最小值時擬合的平面最好,所以μ應(yīng)取最小值,其對應(yīng)的特征向量為a、b、c的值。

        利用正交三角分解可求出矩陣B的所有特征值,設(shè)最小特征值為μmin,I為單位矩陣。求其對應(yīng)的特征向量,令

        (B-μminI)x=0

        (19)

        通過式(19)求得的非零解即為對應(yīng)的特征向量,從而獲得參數(shù)a、b、c的值,即平面的法向量元素值。將所求的a、b、c值代入式(11)中,可求出d的值。

        設(shè)子空間中另一數(shù)據(jù)點為Dj={(xj,yj,zj),j=1,…,n,j≠i},由式(7)可知,其與平面的距離為hj。當(dāng)hj的值小于設(shè)定閾值時,則該點屬于統(tǒng)計的點; 當(dāng)hj的值大于或等于設(shè)定閾值時,該點不屬于統(tǒng)計的點。

        按此方法計算子空間中其余點與該平面的距離,統(tǒng)計與平面距離小于設(shè)定閾值的點,當(dāng)統(tǒng)計的數(shù)目大于預(yù)先設(shè)定值時,便認為該平面為最優(yōu)擬合平面,其法向量為(a,b,c);若統(tǒng)計的數(shù)目小于或等于預(yù)先設(shè)定值,便認為該點不是最優(yōu)擬合平面,需重新隨機選取一點,重復(fù)上述步驟,直至統(tǒng)計的數(shù)目大于預(yù)先設(shè)置值為止。同理,用該方法可以求得另一子空間數(shù)據(jù)點的最優(yōu)擬合平面及法向量。

        2.4 坡度角估計

        在獲得兩個最優(yōu)擬合平面后,可以通過其法向量夾角求得兩個平面的夾角,設(shè)兩平面的法向量分別為n1、n2,則其夾角可通過下式計算。

        (20)

        式中θ為兩法向量之間夾角。根據(jù)幾何關(guān)系,θ在數(shù)值上等于兩平面夾角,即坡度角。

        3 仿真實驗及分析

        隨機選取兩個斜坡角度進行算法測量實驗,模擬生成的待測量斜坡角度如圖2所示。

        如圖2所示兩種斜坡角度對應(yīng)的模擬激光雷達測量數(shù)據(jù)點如圖3所示。

        圖2 模擬生成的待測量斜坡角度

        圖3 斜坡角度測量數(shù)據(jù)點

        對于圖3的測量數(shù)據(jù)點,首先利用2.1節(jié)所述方法進行稀疏表示;在此基礎(chǔ)上,利用2.2節(jié)所述方法進行數(shù)據(jù)分割,劃分子空間數(shù)據(jù)點;對子空間數(shù)據(jù)點使用2.3節(jié)所述方法進行平面擬合,求出平面法向量;根據(jù)所求法向量,利用公式(20)計算兩平面夾角,即坡度角,平面擬合及計算結(jié)果如圖4所示。

        對斜坡角度測量結(jié)果進行統(tǒng)計分析見表1。

        表1 測量結(jié)果分析

        由表1可以看出,本文所述方法測量誤差極小,測量相對誤差較小。

        考慮到在實際工作中坡度可能很不規(guī)則及火星地表存在較大巖石等情況,在34°斜坡上模擬添加存在上述情況產(chǎn)生的突出測量值,如圖5(a)中橢圓內(nèi)的測量值。利用2.2、2.3節(jié)所述方法對數(shù)據(jù)點進行分割與尋找最優(yōu)平面擬合數(shù)據(jù)點,數(shù)據(jù)點尋找結(jié)果如圖5(b)所示,可以看出突出測量值數(shù)據(jù)點沒有被統(tǒng)計到擬合數(shù)據(jù)點范圍內(nèi),利用圖5(b)所示的數(shù)據(jù)點進行平面擬合,結(jié)果如圖5(c)所示。

        從圖5(c)可以看出,坡度測量結(jié)果為33.970 7°,與圖4(b)的測量結(jié)果相同,這表明本方法對突出的測量值具有一定的魯棒性。

        圖5 存在突出測量值的坡度估計

        4 與常用方法比較

        利用激光雷達測量數(shù)據(jù)進行坡度估計的常用方法是最小二乘法(least square method,LSM),將文中提出的方法與最小二乘法進行比較。隨機選取一個坡度,模擬生成的斜坡角度及測量數(shù)據(jù)點如圖6所示。分別用最小二乘法和本方法對測量數(shù)據(jù)進行處理,計算結(jié)果如圖7所示。對測量結(jié)果進行比較分析,結(jié)果如表2所示。從表2可以看出,本文提出的方法測量相對誤差較小;與LSM方法比較,測量誤差得到了顯著降低。

        圖6 44°斜坡及測量數(shù)據(jù)點

        圖7 測量結(jié)果比較

        表2 不同方法測量結(jié)果比較分析

        5 結(jié) 論

        為降低火星探測器著陸時對坡度估計的誤差,研究了一種基于三維點云數(shù)據(jù)聚類與隨機搜索最優(yōu)擬合平面的坡度估計方法。對于三維點云測量數(shù)據(jù),首先進行數(shù)據(jù)點的稀疏表示;然后根據(jù)稀疏表示系數(shù)對數(shù)據(jù)點進行聚類與分割,劃分子空間;對子空間中的數(shù)據(jù)點進行平面擬合,隨機搜索最優(yōu)擬合平面;根據(jù)最優(yōu)擬合平面計算其法向量及向量間夾角,完成坡度估計。實驗表明:本文方法可以對坡度進行較為準(zhǔn)確的估計,與常用的坡度估計方法相比較,可以顯著降低估計誤差,提高坡度估計精度,為探測器著陸時決策是否需要規(guī)避機動提供更加準(zhǔn)確的信息。

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