李人杰，陳楊，向開恒

( 北京電子工程總體研究所，北京 100854 )

0 引言

空間飛越是指運(yùn)行在停泊軌道的航天器，接到指令后沿著設(shè)計的轉(zhuǎn)移軌道，從距離目標(biāo)航天器或天體極近的空間一點(飛越點)掠過，進(jìn)行短時間觀測并遠(yuǎn)離的過程[1]。

對空間飛越的研究具有重要意義。首先，飛越探測是深空探測的一種重要方式，如嫦娥二號對4179 Toutatis小行星的飛越探測[2]和新視野號對冥王星的飛越探測[3]。其次，飛越可以為在軌服務(wù)提供信息。空間中有許多因故障而失效或廢棄的航天器，在進(jìn)行在軌服務(wù)之前，對目標(biāo)實施飛越可以對其進(jìn)行快速有效地觀察，獲取目標(biāo)運(yùn)行狀況、故障類別等信息[4]。最后，飛越式接近還可以作為一種安全接近方法，使在軌服務(wù)航天器沿一條無碰撞路徑到達(dá)目標(biāo)，且保證出現(xiàn)故障時也能安全撤離[5-6]。

飛越軌道的優(yōu)化設(shè)計是實施空間飛越的基礎(chǔ)，然而，由于各種擾動和偏差的存在，航天器難以按照預(yù)先設(shè)計的最優(yōu)軌道進(jìn)行飛越，所以相對于最優(yōu)軌道設(shè)計方法，更為關(guān)注的是在一定的初始條件下(即接收到指令時飛越航天器和目標(biāo)航天器的初始軌道參數(shù))，滿足燃料消耗和飛越時間約束的發(fā)射窗口的計算方法，但目前相關(guān)的研究較少。文獻(xiàn)[7]提出了基于發(fā)射窗口的天基發(fā)射方案，在給定初始條件下計算了發(fā)射窗口，研究了軌道規(guī)劃策略。在進(jìn)行發(fā)射窗口的計算時，初始條件是一個重要影響因素，不同的初始條件下發(fā)射窗口不同，所以，有必要研究初始條件對發(fā)射窗口的影響。

本文針對空間飛越問題，基于Lambert軌道轉(zhuǎn)移方法，研究了空間飛越發(fā)射窗口的計算方法，并分析了不同的飛越航天器和目標(biāo)航天器的初始軌道參數(shù)對發(fā)射窗口的影響。

1 普適變量法求解Lambert問題

空間飛越問題可以歸結(jié)為一個Lambert問題，如圖1所示。

該問題具體描述為：根據(jù)飛越航天器在變軌時刻的位置r1和速度v1、在飛越時刻的位置r2和速度v2、以及飛越航天器飛行時間Δt，可以確定出在變軌時刻飛越航天器的速度增量Δv以及飛越軌道。求解Lambert問題實質(zhì)上就是求解高斯問題[8]，對于該問題有多種解法，如普適變量法[9-10]、Battin算法[11]、Thore算法[12]等。本文使用普適變量法進(jìn)行求解，具體過程如下。

速度增量

Δv=|v1-v1t|，

(1)

式中：v1t為飛越航天器在變軌后瞬間的速度，即變軌時刻其在飛越軌道上的速度。

(2)

式中：

(3)

(4)

(5)

式中：r1和r2分別為位置矢量r1和r2的模；p為飛越軌道的半通徑；μ為引力常數(shù)；θ為r1和r2的夾角,即

(6)

引入普適變量χ，式(3)和式(4)可以表示為

(7)

(8)

(9)

式中：C，S，Z為普適變量χ的函數(shù)。

C，S，Z的具體表示為

(10)

(11)

(12)

式中：a為飛越軌道的半長軸。

通過式(3)和式(7)得

(13)

將式(13)代入式(9)可得

(14)

在式(14)兩側(cè)同時乘以r1r2，并定義2個新變量A，Y，式(14)可變?yōu)?/p>

(15)

式中：

(16)

(17)

由式(13)和式(17)可得

(18)

由式(4)和式(8)可得

(19)

A可由初始條件求出，根據(jù)式(11),(12)和(15)可知C,S和Y都是Z的函數(shù)，所以式(19)中只有一個未知變量Z，是一個一元超越方程，因此可以以Z為迭代變量進(jìn)行迭代來求解。

對于飛越問題，在已知r1,v1,r2和Δt的情況下，使用普適變量法求解的具體流程如圖2所示。

2 考慮初始相位角的發(fā)射窗口計算

在本文的研究中作如下假設(shè)：

(1) 飛越航天器初始軌道與目標(biāo)航天器軌道為共面圓軌道。共面飛越是空間飛越的基礎(chǔ)工況，并且異面飛越問題也可以通過虛交點[13]或穿越點[14]轉(zhuǎn)換為共面飛越問題，所以基于共面假設(shè)的研究有重大意義。

(2) 只考慮二體引力，忽略其他攝動力的影響。

(3) 速度增量的施加瞬間完成。

(4) 只考慮單圈Lambert轉(zhuǎn)移。

2.1 飛越任務(wù)流程

在實際情況中，由于燃料消耗的約束，飛越航天器接收到指令后，可能不會如圖1中一樣立即變軌，而是需要在初始軌道上繼續(xù)飛行一段時間之后再進(jìn)行變軌，如圖3所示。圖中2條虛線為接收指令時飛越航天器和目標(biāo)航天器的位置矢量r10，r20；定義初始相位角θ0為t0時刻飛越航天器與目標(biāo)航天器的地心角[15]，θ0∈[-180°,180°]，當(dāng)目標(biāo)航天器沿軌道運(yùn)行方向領(lǐng)先飛越航天器時為正，落后時為負(fù)。

根據(jù)圖3，從接收飛越任務(wù)指令到完成飛越任務(wù)的具體流程為：

(1)t0時刻接收指令，此時飛越航天器和目標(biāo)航天器的位置分別為r10,r20。

(2) 接收飛越任務(wù)后，飛越航天器和目標(biāo)航天器繼續(xù)飛行Δt0時間，到達(dá)t1時刻，t1=t0+Δt0。此時飛越航天器的位置為r1，目標(biāo)航天器的位置為r2′(圖3中未顯示)。

(3) 在t1時刻，飛越航天器施加脈沖進(jìn)行變軌。

(4) 飛越航天器變軌后，飛行Δt時間，到達(dá)t2時刻，t2=t1+Δt。此時飛越航天器到達(dá)飛越點，實現(xiàn)飛越。由于飛越點與目標(biāo)航天器的距離和該點與地心的距離相比極小，可以忽略，所以假定此時飛越航天器和目標(biāo)航天器的位置均為r2。

完整的飛越任務(wù)時序如圖4所示。定義從接收指令到施加脈沖前的時間Δt0為等待時間，從施加脈沖到完成飛越的時間Δt為轉(zhuǎn)移時間，總時間為飛越時間Δts= Δt0+Δt。

2.2 發(fā)射窗口計算

所有滿足燃料消耗約束和飛越時間約束的t1時刻的集合即為可行的發(fā)射窗口，發(fā)射窗口隨t0時刻初始條件的變化而變化。在共面圓軌道的假設(shè)下，初始條件的變化只與初始相位角θ0的變化有關(guān)。所以，只需研究初始相位角的變化對發(fā)射窗口的影響。研究步驟具體如下：

步驟1： 已知t0時刻飛越航天器和目標(biāo)航天器的軌道根數(shù)，由于圓軌道假設(shè)，使用緯度幅角ω來表示航天器的位置，設(shè)飛越航天器的緯度幅角ωL為任意常數(shù)，設(shè)目標(biāo)航天器的緯度幅角ωT=0。

步驟2：ωT=ωT+ωTstep，ωTstep為目標(biāo)航天器緯度幅角的步長，初始相位角θ0=ωT-ωL，如果θ0>180°，則令θ0=θ0-360°；設(shè)等待時間Δt0=Δt0 min，Δt0 min為最小等待時間。

步驟3： Δt0=Δt0+Δt0step，Δt0step為等待時間的步長；計算t1=t0+Δt0。設(shè)轉(zhuǎn)移時間Δt=Δtmin，Δtmin為最小轉(zhuǎn)移時間。

步驟4： Δt=Δt+Δtstep，Δtstep為轉(zhuǎn)移時間的步長。

步驟5： 根據(jù)初始軌道根數(shù)和Δt0,Δt，計算出r1，v1，r2，使用普適變量法求解Lambert問題得到Δv；計算飛越時間Δts=Δt0+Δt；如果Δv<Δvmax且Δts<Δtsmax，則t1時刻屬于初始相位角為θ0時的發(fā)射窗口，其中Δvmax和Δtsmax分別為速度增量和飛越時間的最大允許值。

步驟6： 如果Δt<Δtmax，返回步驟4，其中Δtmax為最大轉(zhuǎn)移時間；否則進(jìn)行步驟7。

步驟7： 如果Δt0<Δt0max，返回步驟3，其中Δt0max為最大等待時間；否則進(jìn)行步驟8。

步驟8： 如果ωT<360°，返回步驟2；否則結(jié)束。

研究過程由ωT，Δt0和Δt3個變量的循環(huán)嵌套組成，如圖5所示。

3 仿真與分析

3.1 仿真條件

t0時刻飛越航天器和目標(biāo)航天器的軌道根數(shù)如表1所示。

表1 t0時刻軌道根數(shù)

循環(huán)變量的取值范圍和步長如表2所示。其中，為了具備普遍適用性，令等待時間Δt0和轉(zhuǎn)移時間Δt分別按照飛越航天器和目標(biāo)航天器軌道周期TL,TT的百分比取值。

表2 循環(huán)變量取值范圍與步長

燃料消耗約束Δvmax=500 m/s，飛越時間約束Δtsmax= 7 200 s。

3.2 結(jié)果分析

經(jīng)仿真，發(fā)射窗口長度TW與初始相位角θ0的關(guān)系如圖6所示?？梢钥闯?，當(dāng)初始相位角θ0∈[-11°, 91°]時，存在可行的發(fā)射窗口，且隨著初始相位角的增加，發(fā)射窗口長度先增大后減小，在θ0=32°時達(dá)到最大值TW=2 691.1 s。

發(fā)射窗口區(qū)間與初始相位角的關(guān)系如圖7所示，為了使表示直觀，圖中發(fā)射窗口區(qū)間使用t1時刻與t0時刻的時間差(即等待時間)來表示?？梢钥闯觯?dāng)初始相位角θ0∈[-11°, 32°]時，發(fā)射窗口從t0時刻開始，即在接收到指令后，飛越航天器可以無需等待，直接施加脈沖進(jìn)行變軌，如當(dāng)θ0=32°時發(fā)射窗口為t1∈[t0,t0+2 691.1]s。而當(dāng)θ0∈[33°, 91°]時，發(fā)射窗口不能從t0時刻開始，而是在接收到指令后，飛越航天器需等待一段時間再施加脈沖進(jìn)行變軌，如當(dāng)θ0=60°時發(fā)射窗口為t1∈[t0+2 087.0,t0+3 899.4]s。

上述仿真說明本文提出的方法能夠得到初始相位角與發(fā)射窗口的對應(yīng)關(guān)系，從而可以適當(dāng)?shù)某跏枷辔唤莵慝@得較好的發(fā)射窗口。由于在上述仿真條件下，當(dāng)θ0=32°時發(fā)射窗口長度最長，所以以θ0=32°為例進(jìn)行仿真。

速度增量等高線圖如圖8所示。圖中封閉的曲線為燃料消耗約束Δvmax=500 m/s，曲線內(nèi)部滿足約束；傾斜的虛線為飛越時間約束Δtsmax= 7 200 s，虛線的左下方滿足約束?？梢钥闯觯l(fā)射窗口為t1∈[t0+0,t0+2 691.1]s，與圖7的分析結(jié)果相同。

速度增量與飛越時間的關(guān)系如圖9所示。可以看出，相同的飛越時間對應(yīng)多個不同的速度增量，這是因為Δts= Δt0+Δt，同一個飛越時間Δts可以由不同的等待時間Δt0和轉(zhuǎn)移時間Δt相加而成，所以對應(yīng)著不同的速度增量。同樣，相同的速度增量也對應(yīng)多個不同的飛越時間，但隨著速度增量的減小，可行的飛越時間的區(qū)間逐漸減小，當(dāng)速度增量取最小值Δv=285.6 m/s時，對應(yīng)唯一的飛越時間Δts=4 090.3 s，此時等待時間Δt0=988.6 s，轉(zhuǎn)移時間Δt=3 101.7 s。

4 結(jié)束語

本文基于Lambert轉(zhuǎn)移的普適變量解法，在空間飛越問題中，提出了一種研究初始相位角對發(fā)射窗口的影響的方法，能夠分析發(fā)射窗口長度、發(fā)射窗口區(qū)間與初始相位角的對應(yīng)關(guān)系。仿真結(jié)果表明，初始相位角對發(fā)射窗口的影響很大，只在一個較小的初始相位角區(qū)間內(nèi)存在可行的發(fā)射窗口。利用本文的方法能夠有效地選出合適的初始相位角，為空間飛越任務(wù)的實施提供參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] 田野.空間目標(biāo)飛越式抵近觀察制導(dǎo)方法研究[D].長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2010.

TIAN Ye.Study on Guidance Methods of Fly-by Approaching Observation of Space Target[D].Changsha:National University of Defense Technology,2010.

[2] 黃江川,王曉磊,孟林智,等.嫦娥二號衛(wèi)星飛越4179小行星工程參數(shù)分析[J].中國科學(xué):技術(shù)科學(xué),2013,43(6):596-601.

HUANG Jiang-chuan,WANG Xiao-lei,MENG Lin-zhi,et al.Analysis of Engineering Parameters of CE-2 Fly-by 4179 Asteroid[J].Science China:Technology Science,2013,43(6):596-601.

[3] 鄭永春,胡國平.“新視野號”探測冥王星及柯伊伯帶綜述[J].深空探測學(xué)報,2015,2(1):3-9.

ZHENG Yong-chun,HU Guo-ping.Review of New Horizon Mission to the Pluto and Kuiper Belt[J].Journal of Deep Space Exploration,2015,2(1):3-9.

[4] 李廣華.近旁飛越航天器末制導(dǎo)方法研究[D].長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2011.

LI Guang-hua.Study on Terminal Guidance of Flyby Spacecraft[D].Changsha:National University of Defense Technology,2011.

[5] MATSUMOTO S,DUBOWSKY S,JACOBSEN S,et al.Fly-by Approach and Guidance for Uncontrolled Rotating Satellite Capture[C]∥AIAA Guidance Navigation and Control Conference and Exhibit,Austin,2003.

[6] 郝瑞,孟云鶴,郭勝鵬.多約束航天器飛越式接近的兩級運(yùn)動規(guī)劃方法[J].上海航天,2015,32(3):16-21.

HAO Rui,MENG Yun-he,GUO Sheng-peng.Two-Stage Motion Planning Method for Fly-by Approach of Spacecraft with Multiple Constraints[J].Aerospace Shanghai,2015,32(3):16-21.

[7] 閆循良,廖守億,張金生,等.天基發(fā)射方案與規(guī)劃策略仿真研究[J].計算機(jī)仿真,2013,30(9):83-87.

YAN Xun-liang,LIAO Shou-yi,ZHANG Jin-sheng,et al.Space-Based Launch Scheme and Planning Strategy Simulation[J].Computer Simulation,2013,30(9):83-87.

[8] BATE R R.航天動力學(xué)基礎(chǔ)[M].吳鶴鳴,李肇杰,譯.北京:北京航空航天大學(xué)出版社,1990.

BATE R R.Fundamentals of Astrodynamics[M].WU He-ming,LI Zhang-jie,Translated.Beijing:Beihang University Press,1990

[9] VALLADO D A.Fundamentals of Astrodynamics and Applications[M].California:Microscosm Press,2001.

[10] 楊雪榕.衛(wèi)星跟飛編隊控制問題研究[D].長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2010.

YANG Xue-rong.Study on Control Problems for the Leader-Follower Satellite Formation[D].Changsha:National University of Defense Technology,2010.

[11] BATTIN R H.An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics[M].New York:AIAA Education Series,1987.

[12] THERO J D,BAIN R D.Series Reversion/Inversion of Lambert′s Time Function[J].The Journal of the Astronautical Science (S0021-9142),1995,43(3):277-287.

[13] 魏鵬濤,雷剛,郭洪娜,等.基于Lambert轉(zhuǎn)移的虛交點軌道攔截優(yōu)化[J].飛行力學(xué),2012,30(6):556-559.

WEI Peng-tao,LEI Gang,GUO Hong-na,et al.Orbit Interception at Virtual Crossing Point Based on Lambert Transfer[J].Flight Dynamics,2012,30(6):556-559.

[14] 張雅聲.基于穿越點軌道攔截方法的仿真分析[C]∥系統(tǒng)仿真技術(shù)及其應(yīng)用學(xué)術(shù)會議,合肥,2009：545-547.

ZHANG Ya-sheng.Simulation of the Orbit Intercept Method Through the Penetrate Point[C]∥System Simulation Technology and Application Conference,Hefei,2009：545-547.

[15] 朱仁璋.航天器交會對接技術(shù)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2007.

ZHU Ren-zhang.Rendezvous and Docking Techniques of Spacecraft[M].Beijing:National Defense Industry Press,2007.