韓春耀，熊家軍，張凱

(空軍預(yù)警學(xué)院,湖北 武漢 430019)

0 引言

臨近空間高超聲速飛行器速度快、飛行高度高、射程遠(yuǎn)，并且光電特性復(fù)雜，具有突防能力強(qiáng)、打擊精度高的特點(diǎn)[1-3]，使得對(duì)該類目標(biāo)的探測(cè)、攔截面臨巨大挑戰(zhàn)。鑒于單傳感器探測(cè)能力有限，且目標(biāo)機(jī)動(dòng)范圍廣，防御方需要構(gòu)建多傳感器探測(cè)網(wǎng)絡(luò)[4]，而快速、可靠的情報(bào)交接是多傳感器探測(cè)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)跟蹤目標(biāo)的保證。軌跡預(yù)測(cè)指示相鄰傳感器進(jìn)入交接狀態(tài)，引導(dǎo)傳感器快速捕獲目標(biāo)，能夠提高情報(bào)交接的質(zhì)量和速度。無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器采用非慣性彈道，根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡，這增加了軌跡預(yù)測(cè)的難度。

軌跡預(yù)測(cè)是依據(jù)量測(cè)信息估計(jì)目標(biāo)未來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或者運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的過(guò)程，多用于預(yù)測(cè)制導(dǎo)[5-6]。軌跡預(yù)測(cè)包括2個(gè)步驟：一是估計(jì)當(dāng)前目標(biāo)狀態(tài)；二是構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。與目標(biāo)跟蹤類似，軌跡預(yù)測(cè)需要解決目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型不確定問(wèn)題和量測(cè)數(shù)據(jù)不確定問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]認(rèn)為預(yù)測(cè)飛行器的升阻比是實(shí)現(xiàn)軌跡預(yù)測(cè)的關(guān)鍵，并認(rèn)為升阻比成線性增長(zhǎng)規(guī)律，提出了基于升阻比變化規(guī)律的軌跡預(yù)測(cè)算法。但其軌跡是在縱程最優(yōu)條件下獲得的，并在此基礎(chǔ)上獲得了升阻比的變化規(guī)律，因此具有一定的局限性。

目標(biāo)連續(xù)跟蹤是軌跡預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，目前有不少關(guān)于臨近空間高超聲速目標(biāo)跟蹤問(wèn)題的研究。文獻(xiàn)[8]將臨近空間高超聲速目標(biāo)躍式機(jī)動(dòng)的加速度建模為具有正弦波自相關(guān)的零均值隨機(jī)過(guò)程。文獻(xiàn)[9]針對(duì)臨近空間高超聲速目標(biāo)飛行速度快、機(jī)動(dòng)性能強(qiáng)和加速度突變的特性，提出了一種基于目標(biāo)特性的修正強(qiáng)跟蹤濾波算法。文獻(xiàn)[10-11]運(yùn)用交互多模型算法跟蹤臨近空間高超聲速目標(biāo)。當(dāng)前主要的機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并將未知的機(jī)動(dòng)參數(shù)建模為隨機(jī)過(guò)程模型[12]。為解決單個(gè)運(yùn)動(dòng)模型描述的運(yùn)動(dòng)特征單一的問(wèn)題，適應(yīng)性更強(qiáng)的多模型方法運(yùn)用到該類目標(biāo)的跟蹤。

運(yùn)動(dòng)模型描述了目標(biāo)狀態(tài)隨時(shí)間變化規(guī)律，基于運(yùn)動(dòng)模型的跟蹤方法需要一步預(yù)測(cè)目標(biāo)狀態(tài)，以獲得目標(biāo)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度。而情報(bào)交接時(shí)，需要實(shí)施較長(zhǎng)時(shí)間的軌跡預(yù)測(cè)，此時(shí)一步預(yù)測(cè)不能滿足情報(bào)交接對(duì)預(yù)測(cè)時(shí)間的要求。由于無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器借助大升阻比氣動(dòng)外形在臨近空間做長(zhǎng)時(shí)間遠(yuǎn)距離滑翔，運(yùn)動(dòng)方程高度非線性，基于上述運(yùn)動(dòng)模型預(yù)測(cè)軌跡的方法精度低。目前，軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題的研究對(duì)象多針對(duì)彈道導(dǎo)彈目標(biāo)，由于其彈道是慣性彈道，滿足二體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，理論上在彈道導(dǎo)彈助推火箭關(guān)機(jī)以后即可實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間、高精度的軌跡預(yù)測(cè)[13-14]。無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器采用非慣性彈道，借助氣動(dòng)力實(shí)施大范圍橫向機(jī)動(dòng)和遠(yuǎn)距離滑翔[15]，構(gòu)建預(yù)測(cè)模型困難，且鮮有關(guān)于無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器軌跡預(yù)測(cè)的研究。

在已知目標(biāo)類型條件下，以無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器為研究對(duì)象，根據(jù)目標(biāo)的受力分析，建立基于動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化的滑翔段預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)了較長(zhǎng)時(shí)間的軌跡預(yù)測(cè)。

1 預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

1.1 飛行器受力分析及其動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型描述的是質(zhì)點(diǎn)空間狀態(tài)隨時(shí)間的變化，而動(dòng)力學(xué)模型描述的是研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)與受力的關(guān)系，根據(jù)研究對(duì)象的受力情況建立的運(yùn)動(dòng)模型更符合運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

選取站心地平直角坐標(biāo)系處理量測(cè)數(shù)據(jù)，同樣選擇在站心地平直角坐標(biāo)系分析目標(biāo)受力情況。站心地平直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傳感器天線中心，z軸過(guò)原點(diǎn)垂直于當(dāng)?shù)厮矫?，向上為正，y軸指向正北，與原點(diǎn)所在子午面相切，x軸位于當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)，向東為正，3個(gè)坐標(biāo)軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器在滑翔段主要受氣動(dòng)升力、重力與氣動(dòng)阻力：

(1)

式中：m為質(zhì)量；CD為阻力系數(shù)；CL為升力系數(shù)；ρ為大氣密度；g為引力向量，方向從飛行器質(zhì)心指向地心；A為有效面積；v=(vx,vy,vz)為速度向量；u為升力方向的單位向量。

假設(shè)升力方向的單位向量u=(ui,uj,uk)，那么向量u滿足以下4個(gè)條件：

(2)

式中:vx和vz為速度向量在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的分量。

據(jù)此可以求出升力方向的單位向量為

(3)

無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器在滑翔段速度傾角較小，小于5°，速度在z軸的投影較小。由式(3)可以看出升力方向的單位向量uk分量接近于1。因此，假設(shè)升力在x軸與y軸的分量為0。

飛行器距離傳感器較遠(yuǎn)時(shí)，重力在x軸與y軸存在分量，若將地球建模為橢球，重力分量與質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)是非線性關(guān)系。這些因素均不利于簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)模型。重力在x軸與y軸的分量分別為

gx=gsinβcosα,
gy=gsinβsinα,

(4)

式中:β為飛行器地心距向量與坐標(biāo)軸z軸的夾角;α為飛行器的方位角。

假設(shè)飛行器距離傳感器小于500 km，即β小于5°，則可以忽略重力在x軸y軸的分量。同時(shí)無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器高度為20～80 km[3]，由于地球曲率的影響限制了傳感器的探測(cè)范圍，因此，假設(shè)是合理的。

根據(jù)無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器的受力情況，可得其動(dòng)力學(xué)模型，為了簡(jiǎn)化形式，令

(5)

則飛行器的動(dòng)力學(xué)模型可表示為

(6)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化

由式(6)可見(jiàn)，無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在各坐標(biāo)軸方向上式耦合的。阻力的方向與當(dāng)前速度方向相反，阻力大小與速度的平方呈正比；升力方向與速度方向垂直，升力大小與速度的平方呈正比。

動(dòng)力學(xué)模型可表示為關(guān)于速度向量v的微分方程形式為

(7)

動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣包含了速度向量本身，無(wú)法獲得解析解。模型中的參數(shù)，如空氣密度、升力系數(shù)、阻力系數(shù)、重力加速度以及飛行器的質(zhì)量，可以給出參考值或者取值范圍。但對(duì)于未知的高超聲速目標(biāo)，要想獲得精準(zhǔn)的軌跡分析及軌跡預(yù)測(cè)結(jié)果，辨識(shí)模型參數(shù)是必要的。

模型參數(shù)的辨識(shí)精度依托于狀態(tài)估計(jì)精度，而求解狀態(tài)又需要模型參數(shù)，兩者互為因果，使目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的分析復(fù)雜化。因此，可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型。

(8)

式中:v0為預(yù)測(cè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的初始速度，同時(shí)是實(shí)施預(yù)測(cè)的初始速度。

(9)

式(9)為飛行器在預(yù)測(cè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型，為一階線性微分方程形式，能夠獲得其解析解。簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型所需辨識(shí)的模型參數(shù)綜合到了KD,KL2個(gè)參數(shù)中，降低了參數(shù)辨識(shí)的復(fù)雜度。同時(shí)由于2個(gè)參數(shù)的取值與多種因素有關(guān)，因此，弱化了簡(jiǎn)化模型中模型參數(shù)對(duì)應(yīng)的物理意義。

動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建過(guò)程中簡(jiǎn)化依據(jù)為：

(1) 速度傾角小，阻力只在x軸與y軸存在分量，升力只在z軸存在分量；

(2) 飛行器在距離傳感器500 km范圍內(nèi)滑翔，忽略重力在x軸與y軸存在的分量；

(3) 在預(yù)測(cè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)飛行器質(zhì)量保持不變。

(4) 升力系數(shù)與阻力系數(shù)的比值也基本保持不變。

1.3 預(yù)測(cè)模型

微分方程(9)的解如式(10)和式(11)所示，即預(yù)測(cè)模型。若已知當(dāng)前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則可獲得目標(biāo)速度和位置隨時(shí)間變化，即實(shí)現(xiàn)了軌跡預(yù)測(cè)。

預(yù)測(cè)飛行器軌跡的前提是獲得目標(biāo)當(dāng)前的狀態(tài)以及預(yù)測(cè)模型的參數(shù)KD,KL。

(10)

(11)

2 算法框架設(shè)計(jì)

飛行器軌跡預(yù)測(cè)與跟蹤過(guò)程中的一步預(yù)測(cè)的差別在于預(yù)測(cè)時(shí)間不同。目標(biāo)跟蹤時(shí)，一步預(yù)測(cè)目標(biāo)狀態(tài)以獲得狀態(tài)的條件概率密度，預(yù)測(cè)時(shí)間為量測(cè)數(shù)據(jù)率的倒數(shù)，即為采樣間隔時(shí)間。將傳感器的數(shù)據(jù)率設(shè)置為1 Hz，則一步預(yù)測(cè)時(shí)間為1 s。而軌跡預(yù)測(cè)的目的是為了引導(dǎo)相鄰傳感器捕獲目標(biāo)，輔助傳感器間進(jìn)行情報(bào)交接，因而需要較長(zhǎng)時(shí)間的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)時(shí)間設(shè)置為30 s。

圖1給出了軌跡預(yù)測(cè)算法流程。狀態(tài)估計(jì)的運(yùn)動(dòng)模型采用“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，濾波方法采用卡爾曼濾波。軌跡平滑采用動(dòng)弧平滑平均法，抑制隨機(jī)噪聲的影響，提高目標(biāo)軌跡量測(cè)點(diǎn)估計(jì)值的精度，進(jìn)而提高軌跡預(yù)測(cè)的精度[16]。由預(yù)測(cè)模型可知，在獲得相鄰時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)后可求得模型參數(shù)KL,KD，并且x軸與y軸的模型參數(shù)均為KD，可取均值作為最終值。最后將模型參數(shù)及初始狀態(tài)代入預(yù)測(cè)模型，外推目標(biāo)狀態(tài)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

飛行器軌跡參數(shù)設(shè)置。初始位置經(jīng)緯度為(0°,0°)，初始高度為50～ 70 km，初始速度為4 000 m/s，初始速度傾角為-2°～2°，航向角為60°～120°，飛行器的攻角為15°，滑翔過(guò)程中保持較大升阻比。圖2為通過(guò)數(shù)值積分生成的一條飛行器模擬軌跡。

傳感器參數(shù)設(shè)置。采樣頻率為1 Hz，距離量測(cè)誤差σR=100 m，方位角量測(cè)誤差σα=0.1°，俯仰角量測(cè)誤差σγ=0.1°。

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)設(shè)置。考慮到無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器在滑翔過(guò)程中x軸和y軸的速度不斷減小，假定加速度的值一直為負(fù)，且最大負(fù)加速度為-10 m/s2；飛行器高度呈正弦狀，因此z軸速度、加速度關(guān)于時(shí)間的變換規(guī)律均成波浪形，z軸加速度的范圍為-10～10 m/s2。

3.2 預(yù)測(cè)精度評(píng)估

采用蒙特卡羅仿真評(píng)估軌跡預(yù)測(cè)算法的預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)精度用均方根誤差(root mean square error, RMSE)橢球表示，可以用橢球的體積衡量誤差的大小。設(shè)N次蒙特卡羅仿真的預(yù)測(cè)點(diǎn)狀態(tài)為(xk,yk,zk)，k=1,2,…,N，則均方根誤差橢球的球心為(Xo,Yo,Zo)，其中：

(12)

橢球的軸長(zhǎng)a,b和c分別用各坐標(biāo)軸方向的預(yù)測(cè)均方根誤差值表示，即

(13)

式中:(xo,yo,zo)為飛行器在預(yù)測(cè)時(shí)刻的理論位置。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

假設(shè)軌跡預(yù)測(cè)時(shí)間為Tpre，在k時(shí)刻預(yù)測(cè)k+1時(shí)刻至k+Tpre時(shí)刻的飛行器軌跡。用式(14)衡量k時(shí)刻的軌跡預(yù)測(cè)精度。圖3為軌跡預(yù)測(cè)均方根誤差隨時(shí)間的變化曲線，軌跡預(yù)測(cè)的RMSE小于3 km。假設(shè)下一傳感器的波束寬度為1°，則在500 km處傳感器波束的幾何寬度約為17.453 km，軌跡預(yù)測(cè)的均方根誤差能夠保證搜索波束捕獲到目標(biāo)。當(dāng)目標(biāo)在z軸方向轉(zhuǎn)彎時(shí)預(yù)測(cè)模型參數(shù)變化大，預(yù)測(cè)誤差大，z軸的RMSE呈周期震蕩趨勢(shì)。與z軸相比，x軸與y軸的預(yù)測(cè)RMSE較小，可見(jiàn)x軸與y軸預(yù)測(cè)模型與運(yùn)動(dòng)規(guī)律更相符。

(14)

軌跡預(yù)測(cè)時(shí)間設(shè)置為30 s，圖4展示了預(yù)測(cè)RMSE隨預(yù)測(cè)時(shí)間的變化。可見(jiàn)軌跡預(yù)測(cè)RMSE隨預(yù)測(cè)時(shí)間逐漸增大，與z軸RMSE相比，x軸與y軸的RMSE變化較小，這也說(shuō)明飛行器在z軸的機(jī)動(dòng)能力較強(qiáng)。

當(dāng)前時(shí)刻k=150時(shí)，RMSE橢球半徑分別為(3 874，749，3 851)。圖5為軌跡預(yù)測(cè)誤差橢球在y軸與z軸的一個(gè)切面，實(shí)線橢圓為誤差橢圓，星號(hào)為預(yù)測(cè)點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器在滑翔段飛行時(shí)間長(zhǎng)、滑翔平穩(wěn)，有利于繼續(xù)軌跡預(yù)測(cè)。針對(duì)無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題，結(jié)合臨近空間高超聲速飛行器防御的應(yīng)用需求，基于動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化構(gòu)建了預(yù)測(cè)模型，并實(shí)現(xiàn)了較長(zhǎng)時(shí)間的軌跡預(yù)測(cè)。軌跡預(yù)測(cè)無(wú)論對(duì)于探測(cè)網(wǎng)絡(luò)的情報(bào)交接，還是對(duì)于攔截打擊，都有一定的價(jià)值。研究對(duì)象為無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速目標(biāo)，應(yīng)用時(shí)需要先判斷目標(biāo)屬性，軌跡預(yù)測(cè)算法具有一定的局限性。

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