吳磊，李小波, 周青松，李磊

(國防科技大學(xué) 電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

多輸入多輸出(multiple-input multiple-output, MIMO)雷達是近年出現(xiàn)的新概念。通過適當(dāng)?shù)睦走_布站方式以及獨立發(fā)射多波形，MIMO雷達相較傳統(tǒng)雷達擁有更加優(yōu)越的目標檢測能力、參數(shù)估計性能以及可辨識性[1-5]?；谔炀€配置方式的差異，MIMO雷達可分為統(tǒng)計MIMO雷達和相干MIMO雷達[6]，其中統(tǒng)計MIMO雷達收發(fā)陣元的配置間距大，可以從不同的方向觀測目標，因此具有良好的空間增益、結(jié)構(gòu)增益和極化增益；相干MIMO雷達的發(fā)射陣元和接收陣元的配置類似于傳統(tǒng)雷達，陣元間距較近，可以形成更大的陣列虛擬孔徑，提高目標參數(shù)估計性能。根據(jù)收發(fā)陣列的分布位置又可將相干MIMO雷達分為單基地MIMO雷達和雙基地MIMO雷達。

傳統(tǒng)MIMO雷達一般發(fā)射的正交信號，不能將有限的發(fā)射能量集中在某一特定區(qū)域，導(dǎo)致雷達功率過于分散反而不利于目標檢測和參數(shù)估計，針對此問題，文獻[7-11]通過優(yōu)化設(shè)計發(fā)射信號的協(xié)方差矩陣實現(xiàn)發(fā)射方向圖賦形，達到了功率聚焦的效果，隨后根據(jù)發(fā)射協(xié)方差矩陣合成得到發(fā)射波形。文獻[12]提出了一種信號相關(guān)干擾背景下最大化接收端信干噪比(signal-to-interference-plus-noise ratio, SINR)的發(fā)射協(xié)方差矩陣，能獲得較高的輸出SINR，進而提高雷達的目標檢測能力。雖然上述文獻方法得到的部分相關(guān)信號能夠克服發(fā)射功率發(fā)散的問題，但是它也帶來了一個難題：如何從具有相關(guān)性的回波中提取獨立的目標信息。為了避免上述不足，文獻[13]提出了一種基波束思想的MIMO雷達發(fā)射波形快速設(shè)計方法，將波形設(shè)計轉(zhuǎn)化為基波束比例系數(shù)的求解(即發(fā)射加權(quán)矩陣的求解)，大大減小了算法計算量的同時，也降低了接收端信號處理的難度。

但是，文獻[13]注重的是MIMO雷達發(fā)射方向圖在形狀與期望方向圖的逼近性能。鑒于此，本文以雙基地MIMO雷達為應(yīng)用背景，借鑒文獻[13]中的基波束思想，以系統(tǒng)輸出SINR最大為準則，提出了一種信號相關(guān)干擾條件下的雙基地MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣設(shè)計方法。在對發(fā)射加權(quán)矩陣和接收機權(quán)值進行優(yōu)化的過程中，基于半正定松弛技術(shù)(semi-definite relaxation , SDR)、Charnes-Cooper變換[14]及循環(huán)優(yōu)化方法對模型進行了求解，并利用高斯隨機生成法得到最優(yōu)發(fā)射加權(quán)矩陣向量解，最終通過矩陣化操作得到最優(yōu)發(fā)射加權(quán)矩陣。數(shù)值仿真分析驗證了本文算法的有效性。

1 信號模型

考慮一雙基地MIMO雷達，其收發(fā)陣列都是均勻線陣，發(fā)射陣元數(shù)為Mt，接收陣元數(shù)為Mr，收發(fā)陣元間距均為半波長。假設(shè)目標位于遠場，相對于發(fā)射陣和接收陣的角度分別為(φ,θ)，其配置如圖1所示。

對于MIMO雷達，各發(fā)射陣元獨立地發(fā)射不同信號波形，假設(shè)S=(s1,s2,…,sk)T∈Ck×L表示一組正交波形族，則發(fā)射波形矩陣可以寫成

X=CS,

(1)

式中：C是一個Mt×K包含在正交基S下的s各列表示的系數(shù)矩陣。

假設(shè)感興趣空域中存在一感興趣點目標，相對于發(fā)射陣和接收陣的角度為(φ0,θ0)，另存在Q個相互獨立的信號相關(guān)干擾，相對于發(fā)射陣和接收陣的角度為(φq,θq),q=1,2,…,Q，則雷達接收端得到的數(shù)據(jù)矩陣為

(2)

式中：α0和αq為目標反射系數(shù)；a(φ)=(1,e-jπsin φ,…,e-jπ(Mt-1)sin φ)T∈CMt×1為發(fā)射陣列導(dǎo)向矢量；b(θ)=(1,e-jπsin θ,…,e-jπ(Mr-1)sin θ)T為接收陣列導(dǎo)向矢量；Y0為接收端接收到的目標反射信號；Yc為接收端接收到的干擾信號；N為接收到的均值為0方差為σ2的復(fù)高斯噪聲。

使信號通過一組與S相匹配的濾波器，并按列堆棧成維數(shù)為MrK×1的矢量y，可得

y=α0CH?b(θ0)a(φ0)+

(3)

式中：n為均值為0方差為σ2的復(fù)高斯噪聲向量。

2 雙基地MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣和接收機聯(lián)合優(yōu)化算法

在高斯干擾背景下，雷達的目標檢測能力及參數(shù)估計性能都與系統(tǒng)的輸出SINR的大小有著密切的關(guān)系。因此本文以系統(tǒng)輸出SINR為優(yōu)化目標，提出了一種信號相關(guān)干擾條件下的雙基地MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣和接收機聯(lián)合優(yōu)化算法。

2.1 優(yōu)化模型建立

記接收機權(quán)值為w∈CMrK×1，則經(jīng)過接收機處理后的雷達信號為

r=wHy=α0wHCH?b(θ0)a(φ0)+

(4)

故而，系統(tǒng)的輸出為

SINR(w,s)=

(5)

考慮發(fā)射總能量E一定，結(jié)合Kronecker乘積特性vec(ABC)=(I?AB)vec(C)，高斯干擾背景下雙基地MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣和接收機聯(lián)合優(yōu)化模型可表示為

(6)

式中：fi=IK?(b(θi)aT(φi))；Ci,j為矩陣C的第(i,j)個元素。

由于優(yōu)化問題P1是非凸優(yōu)化問題，為獲得其最優(yōu)解，利用矩陣運算特性，P1的目標函數(shù)可以表示為

(7)

式中：Ψ=vec(C)vec(C)H，

K(Ψ) =f0·Ψ·fH0,

(8)

(9)

Rtw=fH0wwHf0，

(10)

(11)

進而根據(jù)式(7)，原優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為如下等價形式：

(12)

當(dāng)求得優(yōu)化問題P2的最優(yōu)解Ψopt時，由于Ψopt秩等于1，則可通過矩陣特征分解計算得到最優(yōu)發(fā)射加權(quán)矩陣向量。

2.2 循環(huán)優(yōu)化算法

本文采用循環(huán)優(yōu)化算法求解優(yōu)化問題P2，將原問題轉(zhuǎn)化為循環(huán)優(yōu)化2個子優(yōu)化問題：在每次循環(huán)中，固定Ψ時優(yōu)化w，固定w時優(yōu)化Ψ。由于常量SNR對優(yōu)化問題P2的求解沒有影響，因此在后續(xù)計算過程中可以忽略。

2.2.1 固定Ψ優(yōu)化w

固定Ψ時，優(yōu)化問題P2中K(Ψ)和Rc(Ψ)為確定量，只需求解如下無約束優(yōu)化問題：

(13)

根據(jù)廣義Rayleigh商的性質(zhì)可得到其最優(yōu)解為

(14)

2.2.2 固定w優(yōu)化Ψ

接下來在優(yōu)化得到w的基礎(chǔ)上進一步優(yōu)化Ψ。類似地，Rtw和Rcw為確定量，相應(yīng)的待求解優(yōu)化問題為

(15)

針對式(15)中的秩1約束，利用半正定松弛思想將原問題進行松弛處理得

(16)

式(16)的優(yōu)化問題可以使用二分法，通過求解一系列凸可行性問題進而得到最優(yōu)解，但這種算法運算量較大。文獻[14]給出了一種求解線性分式優(yōu)化問題的方法：通過Charnes-Cooper變換，可以將線性分式問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題。因此，可以得到式(16)的等價優(yōu)化問題為

(17)

由于式(17)是一個凸問題，可以利用CVX[15]進行高效求解，將其最優(yōu)解記為{Xopt,topt}，則式(16)的最優(yōu)解為Ψopt=Xopt/topt。

2.2.3 發(fā)射加權(quán)矩陣合成

通過循環(huán)優(yōu)化得到最優(yōu)解Ψopt后，需要根據(jù)Ψopt合成發(fā)射加權(quán)矩陣向量，進而矩陣化得到最終的發(fā)射加權(quán)矩陣。若最優(yōu)解Ψopt的秩為1，則可以通過矩陣特征分解即Ψopt=vec(C)optvec(C)optH得到最優(yōu)的發(fā)射加權(quán)矩陣向量vec(C)opt。但是由于優(yōu)化過程中利用了半正定松弛，rank(Ψopt)不一定滿足秩1約束的條件，因此針對Ψopt秩大于1的情況，可采用高斯隨機生成法得到發(fā)射加權(quán)矩陣向量。

若rank(Ψopt)≥2，給定高斯隨機化的次數(shù)N，依次產(chǎn)生均值為0，協(xié)方差矩陣為Ψopt的高斯隨機矢量，記作x1,x2,…,xN，并將xk,k=1,2，…,N代入式(6)的目標函數(shù)中得到SINR(k)，則使得SINR(k)最大且滿足式(6)約束條件的xk即為最優(yōu)的發(fā)射加權(quán)矩陣向量，最后對發(fā)射加權(quán)矩陣向量進行矩陣化處理即可得到最終的發(fā)射加權(quán)矩陣。

綜上所述，信號相關(guān)干擾條件下的雙基地MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣和接收機聯(lián)合優(yōu)化算法可以總結(jié)如下。

步驟1：n=0,初始化發(fā)射加權(quán)矩陣C(n)。

步驟2：n=n+1，

(1) 計算K(Ψ(n))和Rc(Ψ(n))，通過式(14)更新接收機權(quán)值w(n)；

(2) 求解式(17)中的優(yōu)化問題，更新Ψ(n)=X(n)/t(n)；

(3) 利用w(n)和Ψ(n)，計算經(jīng)過本次迭代后的系統(tǒng)輸出SINR(n)。

步驟3： 重復(fù)步驟2，直到第n次優(yōu)化后輸出SINR(n)與第(n-1)次優(yōu)化輸出SINR(n-1)之間滿足|SINR(n)-SINR(n-1)|≤μ，其中μ為設(shè)置的截止因子，則停止優(yōu)化輸出wopt和Ψopt。

步驟4： 通過高斯隨機生成法，由Ψopt合成發(fā)射加權(quán)矩陣向量，進而由矩陣化得到最終的發(fā)射加權(quán)矩陣C。

2.3 算法復(fù)雜度分析

本文所提信號相關(guān)干擾條件下雙基地MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣和接收機聯(lián)合優(yōu)化算法，不需要計算具體的發(fā)射波形，而是通過迭代優(yōu)化得到最優(yōu)解Ψopt來合成發(fā)射加權(quán)矩陣，進而得到發(fā)射波形，有效降低了算法的計算復(fù)雜度。故而，所提算法計算效率主要由迭代優(yōu)化的次數(shù)，每次迭代過程中式(13)和式(17)的計算復(fù)雜度和利用高斯隨機化方法合成發(fā)射加權(quán)矩陣向量的計算復(fù)雜度決定。其中，每次迭代過程中式(13)的計算復(fù)雜度為O((MrK)2)，式(17)的計算復(fù)雜度為O((MtK)3.5)迭代，利用高斯隨機化方法合成發(fā)射加權(quán)矩陣向量的計算復(fù)雜度為O(N(MtK)2)。

3 數(shù)值仿真分析

為了驗證算法有效性，設(shè)置仿真條件：假設(shè)雙基地MIMO雷達發(fā)射和接收陣列陣元數(shù)相同Mt=Mr=4，陣元間距為半波長，觀測環(huán)境中存在一感興趣點目標相對于發(fā)射陣和接收陣的角度分別為(0°,-15°)，目標反射信號強度為SNR=10 dB，另有2個信號相關(guān)干擾點相對于發(fā)射陣和接收陣的角度分別為(-20°,-25°)和(50°,55°)，干噪比均為INR=30 dB。系統(tǒng)采用隨機生成的加權(quán)矩陣作為迭代初始值，高斯隨機試驗次數(shù)N=200。當(dāng)系統(tǒng)中的SINR相對變化小于10-2時停止迭代。

圖2給出了K=2時算法優(yōu)化過程中系統(tǒng)輸出SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線。從圖2可以看出，系統(tǒng)輸出SINR隨著迭代次數(shù)的增加不斷提高，且系統(tǒng)輸出SINR經(jīng)過6次迭代即可實現(xiàn)收斂，收斂后算法輸出SINR為20.52 dB。這表明本文算法能有效優(yōu)化提高系統(tǒng)輸出SINR。

圖3給出了本文算法在K=2和3,文獻[12]中的輸出SINR隨SNR變化情況。由圖3可以看出，本文算法能夠獲得較高的輸出SINR，且隨著參數(shù)K的增大，輸出SINR得到改善。在SNR=20 dB時，本文算法K=2和3以及文獻[12]的輸出SINR分別為20.52，20.79，16.53 dB。因此本文算法能較好地提高輸出SINR，進而使得雷達擁有更好的目標探測性能。

圖4給出了本文算法獲得的輸出SINR隨著干擾功率的變化曲線。由圖4可知，當(dāng)干擾功率增加，本文算法的輸出SINR變化幅度不超過5 dB，這是因為本文算法擁有較高的自由度，能夠充分利用MIMO雷達的波形分集優(yōu)勢，故而有較好的干擾抑制效果。

4 結(jié)束語

為提高雙基地MIMO雷達在信號相關(guān)干擾條件下對區(qū)域目標的探測能力，同時兼顧降低接收端回波信號處理的難度，以雷達輸出SINR最大化為準則，研究了信號相關(guān)干擾條件下的雙基地MIMO雷達發(fā)射波形設(shè)計問題，基于基波束思想提出了一種雙基地MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣和接收機權(quán)聯(lián)合優(yōu)化算法。由仿真結(jié)果可知，本文算法能夠較快達到收斂，而且相比文獻[12]本文算法能夠取得更高的系統(tǒng)輸出SINR，保證較高的自由度，進而能夠抑制更多的干擾。

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