張兆龍，王躍鋼，騰紅磊，張復(fù)建，劉海洋

(火箭軍工程大學(xué)，陜西 西安 710025)

0 引言

傳統(tǒng)的單星座導(dǎo)航定位系統(tǒng)可見星的數(shù)量受環(huán)境影響較大，定位的穩(wěn)定性較差，且由于權(quán)限問題，可靠性同樣得不到保證。為提高定位精度，將多星座系統(tǒng)組合定位是現(xiàn)在的研究熱點(diǎn)，組合定位可以極大地增加可見衛(wèi)星的數(shù)量，提高衛(wèi)星系統(tǒng)的可靠性以及定位精度。

定位算法是影響組合系統(tǒng)定位精度的關(guān)鍵因素之一[1]。當(dāng)系統(tǒng)方程線性化時(shí)，傳統(tǒng)的濾波方法是最小二乘法和卡爾曼濾波；當(dāng)系統(tǒng)方程非線性時(shí)，常用的方法是擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)、容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter,CKF)等[2-3]，而航空重力測(cè)量的系統(tǒng)量測(cè)方程為非線性。非線性濾波算法中EKF濾波時(shí)容易發(fā)散，精度較低，而且需要計(jì)算雅克比矩陣，計(jì)算量較大[4]。UKF克服了EKF的缺點(diǎn)，將非線性函數(shù)近似轉(zhuǎn)換為后驗(yàn)密度函數(shù)，濾波效果較EKF有顯著的提高，但當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)過高時(shí)，其濾波效果容易受參數(shù)設(shè)定的影響，濾波效果不佳，甚至?xí)霈F(xiàn)濾波發(fā)散[5-6]。CKF實(shí)現(xiàn)過程簡(jiǎn)單，逼近效果好，濾波穩(wěn)定性和精度較UKF好，得到了廣泛的應(yīng)用[7]。

標(biāo)準(zhǔn)CKF濾波算法采用三階濾波方法，估計(jì)精度有限，為提高估計(jì)性能，通過高階球面相徑容積規(guī)則，建立了高階容積卡爾曼濾波算法(high-degree cubature Kalman filter,HCKF)[8-11]〗。標(biāo)準(zhǔn) HCKF濾波算法由于計(jì)算誤差和舍入誤差、模型失準(zhǔn)等原因，協(xié)方差矩陣容易失去正定性，導(dǎo)致濾波中斷[12]。針對(duì)BDS/GPS組合定位系統(tǒng)，本文在標(biāo)準(zhǔn)高階CKF的基礎(chǔ)上，引入矩陣對(duì)角化變換，提出一種基于矩陣對(duì)角變換的高階CKF(高階DMCKF)，通過實(shí)驗(yàn)，證明該算法可以提高濾波精度，具有更優(yōu)的估計(jì)精度，可以進(jìn)一步提高定位精度和穩(wěn)定性。

1 BDS/GPS組合精密單點(diǎn)定位的數(shù)學(xué)模型

精密單點(diǎn)定位中常用的數(shù)學(xué)模型有差分和非差分2種。與非差分模型相比，差分模型減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)以及估計(jì)收斂時(shí)間，但由于觀測(cè)值之間存在相關(guān)性，增加了濾波難度。非差分模型具有可以保留所有的觀測(cè)信息，觀測(cè)值之間不相關(guān)，測(cè)站之間無距離限制等優(yōu)點(diǎn)，所以本文采用非差分模型。

1.1 系統(tǒng)觀測(cè)方程

相位偽距半和改正法是常用的一種非差分模型，其基本原理是：利用載波相位觀測(cè)值和偽距觀測(cè)值受到的電離層延遲誤差大小相等、符號(hào)相反的特點(diǎn)，通過載波相位和偽距的線性組合，在消除了電離層低階項(xiàng)影響的基礎(chǔ)上降低了組合觀測(cè)值的噪聲水平，且收斂速度快，對(duì)提高定位精度起到了一定的作用。BDS/GPS組合系統(tǒng)的相位偽距半和改正模型如下[13-14]：

(1)

PG=ρG+c(dtrG-dtsG)+IG+TG+

(2)

(3)

PB=ρB+c(dtrB-dtsB)+IB+TB+

(4)

式中：G為GPS衛(wèi)星；B為BDS衛(wèi)星；LΦP為偽距和相位的半和；L為載波相位觀測(cè)值；P為偽距觀測(cè)值；ρ為衛(wèi)星與接收機(jī)之間的距離；dtr為接收機(jī)鐘差；dts為衛(wèi)星鐘差；c為電磁波在真空中的傳播速度；T為對(duì)流層延遲誤差；I為電離層延遲誤差；δρmul為多路徑誤差；δρrel為相對(duì)論效應(yīng)誤差；λ為載波的波長(zhǎng)；N為整周模糊度；εP和εL分別為偽距和載波相位的觀測(cè)噪聲以及未模型化的誤差。

對(duì)各部分誤差進(jìn)行處理[15]：衛(wèi)星鐘差用精密鐘差文件補(bǔ)償；利用廣義相對(duì)論模型修正相對(duì)論效應(yīng)誤差；利用半?yún)?shù)法修正多路徑效應(yīng)誤差；利用TSE模型改正電離層延遲誤差；對(duì)流層延遲誤差利用干分量模型計(jì)算，濕分量參數(shù)估計(jì)的方法消除；衛(wèi)星位置通過精密星歷文件計(jì)算得到。經(jīng)過誤差處理及計(jì)算后，得到系統(tǒng)最終的觀測(cè)方程為

(5)

cdtrG+M·Z+εPG,

(6)

(7)

cdtrB+M·Z+εPB,

(8)

1.2 系統(tǒng)狀態(tài)方程

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

xk=φk|k-1xk-1+ωk-1.

(9)

式(9)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣φ為

(10)

式中：I為單位陣；靜態(tài)試驗(yàn)時(shí)：A=03×3，B=03×3，C=(1,0;0,0)；動(dòng)態(tài)試驗(yàn)時(shí)：A=TsI3×3，B=I3×3，C=(1,Ts;0,1)，Ts為采樣時(shí)間間隔。

系統(tǒng)的待估計(jì)狀態(tài)向量有：接收機(jī)三維位置、三維速度(在靜態(tài)條件下約束為0)、BDS和GPS系統(tǒng)的接收機(jī)鐘差、對(duì)流層延遲濕分量、整周模糊度，即

x=(xs,ys,zs,vx,vy,vz,dtrG,dtrB,Z,N).

(11)

觀測(cè)量為

2 基于矩陣對(duì)角化變換的高階CKF

在濾波過程中，協(xié)方差矩陣非正定時(shí)會(huì)引起濾波中斷問題，而基于矩陣對(duì)角化變換的方法不要求協(xié)方差矩陣正定，增加了濾波的穩(wěn)定性。并且由矩陣對(duì)角化變換方法獲得的協(xié)方差矩陣的平方根矩陣，保留了協(xié)方差矩陣原有的特征空間信息，從而提高了濾波的精度。

2.1 矩陣對(duì)角化變換

協(xié)方差矩陣P為實(shí)對(duì)稱矩陣，由正交定理可得P=VTDV，其中D是以P的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣，V為n個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的兩兩正交的特征向量構(gòu)成的正交矩陣。令

(12)

則有

(13)

由式(13)易知,S為實(shí)對(duì)稱矩陣，則P=SST。

2.2 高階DMCKF算法

組合系統(tǒng)的觀測(cè)方程為非線性，狀態(tài)方程為線性，假設(shè)系統(tǒng)方程如下：

(14)

第1步：時(shí)間更新

(15)

(16)

(2) 更新一步狀態(tài)預(yù)測(cè)值

(17)

(3) 更新一步預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差

(18)

第2步：量測(cè)更新

(1) 計(jì)算容積點(diǎn)：

(19)

(20)

(2) 更新量測(cè)方程傳播容積點(diǎn)

(21)

(3) 更新量測(cè)預(yù)測(cè)值

(22)

(4) 更新預(yù)測(cè)輸出協(xié)方差

(23)

(5) 更新互協(xié)方差

(24)

(6) 更新卡爾曼濾波增益

(25)

(7) 更新預(yù)測(cè)狀態(tài)值

(26)

(8) 更新誤差協(xié)方差陣

(27)

式中:eig()表示特征值分解;NP為積分點(diǎn)總數(shù);ωi與εi分別為權(quán)值和積分點(diǎn)。

3 仿真試驗(yàn)

通過靜態(tài)和動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文算法的有效性和可行性。GPS和BDS精密星歷和精密鐘差數(shù)據(jù)分別來自IGS網(wǎng)站和中科院測(cè)地所，分別間隔5 min和15 min更新一次。

3.1 靜態(tài)試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文算法應(yīng)用于靜態(tài)BDS/GPS組合系統(tǒng)精密單點(diǎn)定位的效果，對(duì)中國BJFS站2016年8月14日的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行定位解算，采樣時(shí)間為30 s/次，衛(wèi)星截止高度角為15°。對(duì)BDS/GPS組合系統(tǒng)分別應(yīng)用UKF,CKF,高階DMCKF進(jìn)行解算，結(jié)果如圖1～3所示。

對(duì)比3種方法解算出的靜態(tài)位置誤差曲線，可以看出，高階DMCKF算法較UKF、CKF不僅在定位精度上有所提高，而且在收斂速度上也有很大的改善。UKF算法由于受到參數(shù)設(shè)置的影響，濾波結(jié)果收斂性較差，位置誤差較大。標(biāo)準(zhǔn)CKF算法由于計(jì)算誤差和舍入誤差的影響，估計(jì)精度有限，且容易發(fā)生濾波中斷問題。高階DMCKF算法由于引入了矩陣對(duì)角化變換，定位精度和穩(wěn)定性得到了提高。

分別對(duì)靜態(tài)條件下3種方法的位置解算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示。

表1 靜態(tài)條件下3種方法定位性能比較Table 1 Comparison on positioning performances of the three methods in static posotion

分析表1，在定位精度上，高階DMCKF較UKF算法在x,y,z方向上的改善率分別為63.0%,63.5%,68.6%，較標(biāo)準(zhǔn)CKF算法綜在x,y,z方向上的改善率分別為33.3%,34.1%,52.9%。綜上可得，高階DMCKF算法在靜態(tài)條件下，能夠提高定位解算精度和定位穩(wěn)定性。

3.2 動(dòng)態(tài)試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文算法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)BDS/GPS組合系統(tǒng)精密單點(diǎn)定位的性能，進(jìn)行動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)。將接收機(jī)固定在跑車上，開展跑車實(shí)驗(yàn)，跑車運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2 h，數(shù)據(jù)采樣時(shí)間間隔為1 s，衛(wèi)星截止高度角為15°。對(duì)接收機(jī)接收到的數(shù)據(jù)分別應(yīng)用UKF,CKF,高階DMCKF進(jìn)行定位解算，參考定位坐標(biāo)由RTK系統(tǒng)的載波相位差分定位技術(shù)獲得，精度可達(dá)1～2 cm。解算結(jié)果如圖4～6所示。

與靜態(tài)條件相比，動(dòng)態(tài)條件下接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更加復(fù)雜，在實(shí)際的測(cè)量過程中，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)往往是未知的，對(duì)參數(shù)估計(jì)模型和算法的要求更高。對(duì)比3種方法解算出的動(dòng)態(tài)位置誤差曲線，可以看出，高階DMCKF算法較UKF,CKF在定位性能方面有很大的提高。UKF算法定位結(jié)果的收斂性差，位置誤差較大，標(biāo)準(zhǔn)CKF定位精度較UKF算法有所提高，高階DMCKF算法在穩(wěn)定性和定位精度上較前兩種算法都有所改善。

為更加直觀地比較3種算法的定位性能，對(duì)收斂后的位置解算結(jié)果誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2所示。

分析表2，在定位精度上，高階DMCKF較UKF算法在x,y,z方向上的改善率分別為66.8%,67.4%,51.1%，較標(biāo)準(zhǔn)CKF算法綜在x,y,z方向上的改善率分別為56.5%,38.6%,32.6%。綜上可得，在動(dòng)態(tài)條件下，利用高階DMCKF算法進(jìn)行定位能得到更好的效果。

解算方法x/m(RMS)y/m(RMS)z/m(RMS)UKF0.3040.4780.513CKF0.2320.2540.298高階DMCKF0.1010.1560.201較UKF改善率(%)66.867.451.1較CKF改善率(%)56.538.632.6

4 結(jié)束語

將矩陣對(duì)角化變換與高階CKF結(jié)合，使得濾波過程中的平方根矩陣保留了原有的空間信息，在提高濾波精度的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高了定位精度。同時(shí)，改善了濾波的收斂時(shí)間，增強(qiáng)了穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)證明，高階DMCKF算法可有效改善BDS/GPS組合導(dǎo)航定位系統(tǒng)的定位精度。

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