摘要：有限與無限思想是數(shù)學中的重要思想，在新課標高中數(shù)學教材中有許多地方都體現(xiàn)著這一思想，本文就有限與無限思想在教材中的體現(xiàn)進行總結，并對這一思想給出相應的高考題舉例。

關鍵詞：有限；無限；極限；二分法

數(shù)學中有限與無限的聯(lián)系是非常緊密的，無限是有限的基礎；無限是由有限構成的；無限是有限的延伸。在新課標高中數(shù)學教材中有許多地方都體現(xiàn)著這一思想。

一、集合中的有限集與無限集

集合中的有限集與無限集是有限與無限思想的直接體現(xiàn)。在高考中有相應的命題。

例1. （2010湖北.文1）設集合 ={1，2，4，8}， ={ ︱ 是2的倍數(shù)}，則 =（ C ）

A.{2，4}B.{1，2，4}C.{2，4，8}D.{1，2，4，8}

評注：已知集合 是有限集，集合 是無限集，所求集合 是有限集。

二、數(shù)列中有窮數(shù)列與無窮數(shù)列

數(shù)列中有窮數(shù)列與無窮數(shù)列也明顯地反映出有限與無限思想。

三、極限理論中深刻體現(xiàn)著有限與無限思想。

數(shù)列的極限是指當項數(shù) 趨近于 時，數(shù)列的項趨近于一個確定的數(shù)值，即極限。可見，數(shù)列的極限本質上是數(shù)列的項從有限到無限的一種飛躍，它深刻地反映著有限與無限思想，所以極限理論是整個微積分的基礎。

四、導數(shù)概念的引入

平均變化率是有限分割得到的概念，易于大家理解；瞬時變化率是平均變化率在分割很細（無限分割）時，變化率從平均值逼近瞬時值。這本身是個極限的過程，也是一個有限到無限的飛躍。

例2.（2018全國Ⅰ卷.理科.5）設函數(shù) ，若 為奇函數(shù)，則曲線 在點 處的切線方程為（ D ）

A. B.

C. D.

評注：近幾年高考對導數(shù)的考查不僅僅局限在選擇題和填空題上，也經常出現(xiàn)在解答題中。

五、定積分概念的引入

新教材從曲邊梯形面積的求法展開討論，通過分割、近似代替、求和、取極限的過程，來對定積分下定義。對曲邊梯形的分割是有限的，而取極限的過程是從有限向無限的飛躍，這個過程深刻地體現(xiàn)著有限與無限的轉化過程。

六、“割圓術”中圓周率的求法。

“割圓術” 是用圓內接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法，這顯然是極限的思想，是有限與無限的轉化。

七、二分法求函數(shù)的零點。

用二分法求函數(shù)的零點，需要用到函數(shù)零點存在定理。二分法的求解過程在數(shù)值計算中深刻反映了有限與無限的思想。

例3.（2011上海.理科.14）已知點 、 和點 ，記 的中點為 ，取 和 中的一條，記其端點為 、 ，使之滿足 ，記 的中點為 ，取 和 中的一條，記其端點為 、 ，使之滿足 依次下去，得到 則 =___

評注：新課標教材上二分法是用來求函數(shù)的零點，這一題考查了學生的基本功和應變能力，它把二分法用到幾何上。

八、概率論中古典概型與幾何概型

古典概型成立的條件是：①等可能性；②有限性。

幾何概型成立的條件是：①等可能性；②無限性。

總之，有限與無限思想在新課標高中數(shù)學中得到了深刻的體現(xiàn)，高考這幾年對有限與無限思想考查力度不斷加大，應給予高度的重視。

參考文獻：

[1]}普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修（A版）[M]. 北京：人民教育出版社. 2007.

【作者簡介：吳旭亭（ 1979.3—）男，籍貫：云南墨江，職稱：中學一級教師，學歷：碩士，研究方向：運籌學與控制論?！?/p>