摘要：有限與無限思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，在新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材中有許多地方都體現(xiàn)著這一思想，本文就有限與無限思想在教材中的體現(xiàn)進(jìn)行總結(jié)，并對這一思想給出相應(yīng)的高考題舉例。

關(guān)鍵詞：有限；無限；極限；二分法

數(shù)學(xué)中有限與無限的聯(lián)系是非常緊密的，無限是有限的基礎(chǔ)；無限是由有限構(gòu)成的；無限是有限的延伸。在新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材中有許多地方都體現(xiàn)著這一思想。

一、集合中的有限集與無限集

集合中的有限集與無限集是有限與無限思想的直接體現(xiàn)。在高考中有相應(yīng)的命題。

例1. （2010湖北.文1）設(shè)集合 ={1，2，4，8}， ={ ︱ 是2的倍數(shù)}，則 =（ C ）

A.{2，4}B.{1，2，4}C.{2，4，8}D.{1，2，4，8}

評注：已知集合 是有限集，集合 是無限集，所求集合 是有限集。

二、數(shù)列中有窮數(shù)列與無窮數(shù)列

數(shù)列中有窮數(shù)列與無窮數(shù)列也明顯地反映出有限與無限思想。

三、極限理論中深刻體現(xiàn)著有限與無限思想。

數(shù)列的極限是指當(dāng)項(xiàng)數(shù) 趨近于 時，數(shù)列的項(xiàng)趨近于一個確定的數(shù)值，即極限。可見，數(shù)列的極限本質(zhì)上是數(shù)列的項(xiàng)從有限到無限的一種飛躍，它深刻地反映著有限與無限思想，所以極限理論是整個微積分的基礎(chǔ)。

四、導(dǎo)數(shù)概念的引入

平均變化率是有限分割得到的概念，易于大家理解；瞬時變化率是平均變化率在分割很細(xì)（無限分割）時，變化率從平均值逼近瞬時值。這本身是個極限的過程，也是一個有限到無限的飛躍。

例2.（2018全國Ⅰ卷.理科.5）設(shè)函數(shù) ，若 為奇函數(shù)，則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為（ D ）

A. B.

C. D.

評注：近幾年高考對導(dǎo)數(shù)的考查不僅僅局限在選擇題和填空題上，也經(jīng)常出現(xiàn)在解答題中。

五、定積分概念的引入

新教材從曲邊梯形面積的求法展開討論，通過分割、近似代替、求和、取極限的過程，來對定積分下定義。對曲邊梯形的分割是有限的，而取極限的過程是從有限向無限的飛躍，這個過程深刻地體現(xiàn)著有限與無限的轉(zhuǎn)化過程。

六、“割圓術(shù)”中圓周率的求法。

“割圓術(shù)” 是用圓內(nèi)接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法，這顯然是極限的思想，是有限與無限的轉(zhuǎn)化。

七、二分法求函數(shù)的零點(diǎn)。

用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，需要用到函數(shù)零點(diǎn)存在定理。二分法的求解過程在數(shù)值計(jì)算中深刻反映了有限與無限的思想。

例3.（2011上海.理科.14）已知點(diǎn) 、 和點(diǎn) ，記 的中點(diǎn)為 ，取 和 中的一條，記其端點(diǎn)為 、 ，使之滿足 ，記 的中點(diǎn)為 ，取 和 中的一條，記其端點(diǎn)為 、 ，使之滿足 依次下去，得到 則 =___

評注：新課標(biāo)教材上二分法是用來求函數(shù)的零點(diǎn)，這一題考查了學(xué)生的基本功和應(yīng)變能力，它把二分法用到幾何上。

八、概率論中古典概型與幾何概型

古典概型成立的條件是：①等可能性；②有限性。

幾何概型成立的條件是：①等可能性；②無限性。

總之，有限與無限思想在新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)中得到了深刻的體現(xiàn)，高考這幾年對有限與無限思想考查力度不斷加大，應(yīng)給予高度的重視。

參考文獻(xiàn)：

[1]}普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修（A版）[M]. 北京：人民教育出版社. 2007.

【作者簡介：吳旭亭（ 1979.3—）男，籍貫：云南墨江，職稱：中學(xué)一級教師，學(xué)歷：碩士，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論?！?/p>