王苗苗，朱曉曦

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，安徽 合肥 230036；2.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

1 引言

在諸多制造型行業(yè)中，產(chǎn)品的生產(chǎn)過程會因許多因素的干擾而使得最終產(chǎn)出不穩(wěn)定，此類事件給相關(guān)決策者的生產(chǎn)與訂購決策帶來了難度，尤其在快速消費品行業(yè)，快消品的生產(chǎn)運作一般為按單生產(chǎn)（Make-To-Order，MTO），即沒有現(xiàn)貨（初始庫存），這種情況下生產(chǎn)的不確定性更容易發(fā)生。通常在一個供應(yīng)鏈里，有的決策者如零售商不僅要面對需求的不確定性，還要面對上游制造商的生產(chǎn)不確定性[1-2]。

隨著行業(yè)競爭日益激烈，顧客對于商品的等待時間越來越敏感，消費者不僅關(guān)注價格而且也關(guān)心獲得該產(chǎn)品的等待時間[3]。生產(chǎn)不確定對于供應(yīng)鏈的影響首先表現(xiàn)在制造商缺貨，缺貨對于制造商來說意味著利潤的損失和零售商對其信譽感的降低，而對于零售商來說則意味著利潤的損失和市場份額的流失[4]。缺貨對于零售商的間接影響還包括消費者滿意度和零售商企業(yè)形象的降低[5-6]。此外，顧客的缺貨反應(yīng)對缺貨品牌及其競爭品牌的供應(yīng)鏈動態(tài)性均存在顯著影響[7]。Inderfurth[8]研究了生產(chǎn)誤差和需求服從均勻分布時的單周期供應(yīng)商庫存問題，得出生產(chǎn)誤差分布的上下限決定了供應(yīng)商的生產(chǎn)選擇策略。而造成缺貨的原因不僅包括制造商生產(chǎn)能力不穩(wěn)定及面對的需求不確定，還包括制造商擔(dān)心過量生產(chǎn)帶來的持有成本[9]。

生產(chǎn)不確定對于供應(yīng)鏈的另一個影響表現(xiàn)在制造商過量生產(chǎn)問題上，庫存費用占據(jù)制造型企業(yè)大量資金，是影響企業(yè)競爭力的主要因素。出現(xiàn)過量生產(chǎn)時，制造商一般采用折扣銷售的方式將產(chǎn)品售出[10]。一方面，制造商不想因缺貨而影響到銷售利潤和產(chǎn)品品牌，另一方面又擔(dān)心過量生產(chǎn)帶來庫存積壓，如何協(xié)調(diào)是供應(yīng)鏈運作和合作的關(guān)鍵[11]。王先甲等[12]對生產(chǎn)商具有生產(chǎn)規(guī)模不經(jīng)濟(jì)特性的雙渠道供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，提出了能同時改善零售商和生產(chǎn)商利潤的帶固定補償?shù)氖找婀蚕砥跫s和基于納什討價還價協(xié)商模型確定固定補償?shù)姆椒?。劉云志和樊治平[13]構(gòu)建了回購-質(zhì)量成本分擔(dān)契約下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)契約模型，得出損失規(guī)避型零售商訂貨量的增加會促使供應(yīng)商提高其產(chǎn)品質(zhì)量水平以便保持市場競爭優(yōu)勢，進(jìn)而促使損失規(guī)避型零售商增加其訂貨量。黃松和楊珺[14]研究了顧客退貨信息是非對稱情形下的供應(yīng)鏈契約設(shè)計問題，提出零售商的市值關(guān)注會減少訂貨數(shù)量扭曲。方新等[15]建立了考慮提前期壓縮的Newsvendor型產(chǎn)品供應(yīng)鏈契約協(xié)調(diào)模型，發(fā)現(xiàn)回購契約和收益共享契約均可以協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈系統(tǒng)，但協(xié)調(diào)性受限于供應(yīng)商的單位批發(fā)價格結(jié)構(gòu)、單位生產(chǎn)成本結(jié)構(gòu)以及零售商關(guān)于市場需求預(yù)測結(jié)構(gòu)。

對于快速消費品供應(yīng)鏈，由于生產(chǎn)和需求都面臨不確定性，所以制造商更傾向于將一部分風(fēng)險轉(zhuǎn)移到更接近市場的零售商身上。一方面零售商希望制造商多生產(chǎn)以獲得充足貨源，另一方面制造商也不希望因生產(chǎn)過量而承擔(dān)庫存成本。基于快消品供應(yīng)鏈的此種特征，本文建立了制造商生產(chǎn)不確定下單周期快消品供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購模型，在傳統(tǒng)批發(fā)價契約的基礎(chǔ)上提出了剩余折扣補貼契約，該折扣契約既可以消除制造商對于因過量生產(chǎn)而造成庫存的困擾，讓零售商來承擔(dān)制造商的生產(chǎn)不確定風(fēng)險，又能在一定程度上緩解零售商缺貨的問題。

2 模型構(gòu)建與求解

本文中供應(yīng)鏈的主要運作流程如圖1所示。

圖1 供應(yīng)鏈運作流程

模型設(shè)定以下參數(shù)：ω表示零售商向制造商購買產(chǎn)品的批發(fā)價，p為零售商對終端消費者的單位產(chǎn)品售價，π1表示制造商單位缺貨懲罰成本，π2表示零售商單位缺貨懲罰成本，h1表示制造商單位庫存成本，h2表示零售商的單位庫存成本，s1表示剩余產(chǎn)品之于制造商的單位殘值，s2表示未賣完剩余產(chǎn)品被處理后單位殘值，β(0 ＜β＜1)表示剩余折扣補貼契約下的折扣率，Q表示制造商的計劃產(chǎn)量，終端消費者向零售商發(fā)出的需求為D1，D2為零售商向制造商的訂貨量，c為制造商單位生產(chǎn)成本，λ為制造商的生產(chǎn)誤差量，滿足隨機分布-Q≤u1≤λ≤u2，f(λ)為λ的概率密度函數(shù)，且制造商和零售商的f(λ)已知。

2.1 批發(fā)價契約

在批發(fā)價銷售契約下，制造商根據(jù)零售商的訂貨量來制定其計劃產(chǎn)量Q以最大化其期望利潤，制造商的收益是來自零售商的購買支出，所要承擔(dān)的成本包括因過量生產(chǎn)導(dǎo)致的持有成本和缺貨導(dǎo)致的懲罰成本及生產(chǎn)成本，其中總生產(chǎn)成本只與制造商計劃產(chǎn)量有關(guān)，與最終產(chǎn)量無關(guān)。此時，制造商的利潤函數(shù)為：

其中表示在D2和( )λ+Q中取小，代表，表示在0和x中取大。考慮到產(chǎn)出不確定，此時制造商期望利潤函數(shù)可表示為：

命題1 發(fā)價契約下，當(dāng)且僅當(dāng)ω+π1+h1-s1＞0時，制造商的期望利潤是制造商計劃產(chǎn)量Q的凹函數(shù)，且制造商最優(yōu)計劃產(chǎn)量Q?滿足以下條件：

證明：對式（2）求關(guān)于Q的一階導(dǎo)數(shù)可得：

對式（2）求關(guān)于Q的二階導(dǎo)數(shù)可得：

引理1 觀察式（3）可知，隨著制造商單位制造成本c的升高，其最優(yōu)計劃產(chǎn)量Q?會降低。

顯然，當(dāng)ω+π1+h1-s1＞0時，制造商的期望利潤是制造商計劃產(chǎn)量Q的凹函數(shù)，令可得式（3）。為了直觀地表達(dá)模型，以λ服從均勻分布為例，即λ～U(u1,u2)對模型進(jìn)行解析，則其概率密度函數(shù)f(λ)=1(u2-u1);u1≤λ≤u2，同時為保證最終結(jié)果的非負(fù)屬性，需假設(shè)u1≤D2-Q≤u2。將f(λ) 代入式（3），可得制造商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量Q?為：

制造商的期望利潤可表示為：

以下我們將分析折扣契約如何影響供應(yīng)鏈績效、制造商的期望利潤和計劃產(chǎn)量決策。

2.2 剩余折扣補貼契約

在剩余折扣補貼契約（簡稱SD契約）下，當(dāng)制造商的實際產(chǎn)量(λ+Q)超過零售商的訂貨量(D2)時，多出的那部分產(chǎn)品將以一個折扣價(ωˉ =φω)銷售給零售商，與此同時，制造商本身避免了過量生產(chǎn)而要承擔(dān)的持有成本，可以視為對制造商的一種變相補貼和保護(hù)，所以稱之為剩余折扣補貼契約，SD契約在一定條件下可以刺激制造商提高其計劃產(chǎn)量，在下文引理中將有說明。SD契約制造商的利潤函數(shù)為：

從式（8）中可以看出，制造商不再需要考慮持有成本，則SD契約下制造商的期望利潤可表示為：

命題2 剩余折扣補貼契約下，制造商的期望利潤是制造商計劃產(chǎn)量QS的凹函數(shù)，且最優(yōu)產(chǎn)量QS?滿足以下條件：

證明：對上式求制造商計劃產(chǎn)量的一階和二階導(dǎo)數(shù)，得出：

故是制造商計劃產(chǎn)量Q的嚴(yán)格凹函數(shù)，令式（11）=0，可得式（10）。命題2說明，有且存在唯一的最優(yōu)計劃產(chǎn)量QS?使得制造商獲得最大期望利潤。同時命題2也說明：雖然制造商不再需要考慮持有成本等庫存成本，但是其計劃產(chǎn)量Q和最終產(chǎn)量(λ+Q)并不是越多越有利于提高期望利潤（僅在到達(dá)制造商期望利潤最大值之前，制造商計劃產(chǎn)量Q的增加有助于提高期望利潤）。同樣，以λ服從均勻分布為例，得出f(λ)=1(u2-u1)時制造商M的最優(yōu)計劃產(chǎn)量QS?為：

由式（13）可以得出，剩余折扣補貼契約下制造商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量QS?( )D2與零售商訂購量D2成正比，與制造商單位持有成本h1和單位處理殘值s1無關(guān)。此時制造商的期望利潤為：

引理2 均勻分布下，剩余折扣補貼契約相較批發(fā)價契約更能刺激制造商提高其計劃產(chǎn)量，當(dāng)且僅當(dāng)：

證明：通過計算QS?和QM?的差值，令QS?-QM?=即可得證。

引理2說明當(dāng)以上參數(shù)滿足一定條件時，SD契約將帶來更大的制造商計劃產(chǎn)量，從而給零售商帶來更穩(wěn)定的貨源保證。我們將在下文采用數(shù)值算例的形式對比兩種契約下的供應(yīng)鏈?zhǔn)找鎸Ρ取１?給出了制造商生產(chǎn)誤差服從U(-1 200,1 450)均勻分布下兩種契約下的算例分析。

表1 兩種契約對制造商的計劃產(chǎn)量和期望利潤的影響對比

表1中的最后兩行分別為兩種契約下制造商最優(yōu)產(chǎn)量QM?和QS?所對應(yīng)的期望利潤，計算結(jié)果表明：面對同樣的零售商訂貨批量D2=42 000，剩余折扣補貼契約（SD）下零售商獲得較大的制造商計劃產(chǎn)量（43 983＞42 699），制造商的期望利潤也更大（31 505＞30 266）。圖2描述了兩種契約下制造商期望利潤E(πM(Q) )和其投產(chǎn)決策Q（計劃產(chǎn)量）間的關(guān)系。圖2中利潤函數(shù)呈拋物線狀且具有最大峰值，同時算例中參數(shù)驗證了引理2，即0.7*1.72-（0.2-0.43）=0.974＞0。此外，SD契約下制造商的期望利潤曲線始終在W契約之期望利潤曲線之上。為了更直觀地表示，給出圖3來表示3.77＜Q＜3.78段的制造商期望利潤曲線，由圖2及圖3可見，制造商選擇SD契約可以始終獲得更高的期望利潤。圖2、圖3中線1和線2分別代表SD契約與W契約下制造商的期望利潤。

圖2 兩種契約下制造商期望利潤與計劃產(chǎn)量

圖3 圖2子圖

3 零售商訂貨決策問題

以上研究得出，在面對相同零售商訂貨需求的情況下，當(dāng)滿足引理1和引理2時，制造商采用SD契約時的期望利潤和計劃產(chǎn)量都更大，這對于制造商（更大的期望利潤）和零售商（更大的制造商計劃產(chǎn)量）均有利。而現(xiàn)實情況下，零售商處于制造商和終端消費者之間，對于市場信息有更多的掌握，零售商會根據(jù)已掌握的制造商信息對自身決策進(jìn)行優(yōu)化。在本文的模型中，零售商在供應(yīng)鏈中所要做出的決策是在制造商產(chǎn)出不確定的情況下如何制定一個最優(yōu)的訂貨量D2來優(yōu)化其期望利潤。首先分析批發(fā)價契約下零售商的最優(yōu)訂貨量問題。

3.1 W契約下零售商決策問題

零售商的利潤包括銷售和處理殘值及懲罰制造商缺貨行為，成本包括購買成本、持有成本及因不能滿足中端消費者需求的懲罰成本。則零售商的利潤函數(shù)為：

由于制造商和零售商之間是Stackelberg序貫博弈，根據(jù)零售商和制造商的決策順序，零售商將制造商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量作為約束條件，此時零售商R的期望利潤為：

用類似命題2的方法可證明零售商的期望利潤是其訂貨批量D2的凹函數(shù)。將生產(chǎn)誤差密度函數(shù)代入上式，可解得零售商的最優(yōu)訂貨批量：

從式（18）可以得出：零售商單位成本π2和零售價p是正比例于零售商最優(yōu)訂購量D2的。數(shù)例分析：在數(shù)例1的基礎(chǔ)上增加零售商的參數(shù)假設(shè)，詳見表2。

表2 批發(fā)價契約下零售商和制造商的最優(yōu)決策

觀察表2可知，W契約下，零售商以制造商的最優(yōu)條件作為約束得出的最優(yōu)訂貨量大于終端消費者訂貨量（47 544＞42 000），制造商計劃產(chǎn)量也更大（46 949＞41 405）。當(dāng)零售商不采取優(yōu)化直接向制造商訂貨42 000時，其期望利潤為小于采取優(yōu)化情況下的期望利潤（145 450＜154 620），對于制造商、零售商采取優(yōu)化下的制造商期望利潤也大于零售商不采取優(yōu)化下的期望利潤（15 555＜17 994）。接下來考慮SD契約下零售商的最優(yōu)訂貨量問題。

3.2 SD契約下零售商決策問題

對于零售商來說，之所以愿意以折扣價收購制造商過量生產(chǎn)的那部分產(chǎn)品，是因為隨著市場需求的擴大，下一期銷售時可能會有更高的售價（多周期問題不在本文的研究范圍之內(nèi)），所以當(dāng)零售商購買制造商全部產(chǎn)量后，當(dāng)制造商全部產(chǎn)量超過單周期內(nèi)消費者需求時，零售商也要負(fù)擔(dān)持有成本。此時零售商的利潤函數(shù)為：

那么SD契約下，零售商R的期望利潤為：

將服從均勻分布的制造商生產(chǎn)誤差的密度函數(shù)f(λ)代入上式，可解得零售商的最優(yōu)訂貨批量的解析解：

在表2數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，給出以下數(shù)例分析。

表3 剩余折扣補貼契約下零售商最優(yōu)訂貨量

表3給出了在終端消費者需求量為42 000時，剩余折扣補貼契約下零售商R的最優(yōu)訂貨量及其最大期望利潤，同時也給出了制造商M的最優(yōu)計劃產(chǎn)量和最大期望利潤。結(jié)果表明：SD契約下，零售商以制造商的最優(yōu)條件作為約束得出的最優(yōu)訂貨量小于終端消費者訂貨量（41 478＜42 000），這可以解釋為SD契約具有更強的刺激制造商提高計劃產(chǎn)量的因素。當(dāng)零售商不采取優(yōu)化直接向制造商訂貨42 000時，其期望利潤為小于采取優(yōu)化情況下的期望利潤（138 470＜140 130），而對于制造商，零售商采取優(yōu)化下的制造商期望利潤卻小于零售商不采取優(yōu)化下的期望利潤（18 802＜19 032），這是因為在SD契約下更小的單位產(chǎn)品售價導(dǎo)致其利潤減小。

文章第二部分研究制造商在面對相同零售商訂貨量時制造商的決策，得出SD契約較W契約可以得到一個更大的制造商計劃產(chǎn)量和制造商期望利潤。生產(chǎn)實際中，面對相同的終端消費者需求，零售商會根據(jù)制造商的決策來優(yōu)化自己的訂貨決策。通過對比表2和表3，面對相同的終端需求42 000，零售商根據(jù)制造商的決策來優(yōu)化其訂貨量后，選擇批發(fā)價契約可以獲得一個更大的制造商計劃產(chǎn)量（46 949＞44 467）和期望利潤（154 620＞140 130）。零售商采取優(yōu)化前后的結(jié)論是不同的，現(xiàn)實決策時應(yīng)根據(jù)實際參數(shù)來制定合理的契約。

4 結(jié)論

本文建立了制造商生產(chǎn)不確定下單周期快消品供應(yīng)鏈的投產(chǎn)與訂購模型，在傳統(tǒng)批發(fā)價契約的基礎(chǔ)上提出了剩余折扣契約，剩余折扣契約通過將過量生產(chǎn)的產(chǎn)品以折扣價格()銷售給零售商的方式解決了在傳統(tǒng)批發(fā)價契約中制造商因過量生產(chǎn)導(dǎo)致的持有成本問題，零售商在一定程度上分擔(dān)了制造商的生產(chǎn)擾動風(fēng)險，并可以刺激制造商提高計劃產(chǎn)量從而能更好地滿足零售商需求。研究表明，兩種契約下制造商期望利潤(ETP(Q) )均為其計劃產(chǎn)量Q的凹函數(shù)，即存在唯一的Q?使得制造商取得最大期望利潤。另外本文給出了生產(chǎn)擾動服從均勻分布情況下的制造商計劃產(chǎn)量的解析表達(dá)式，并得出：在面對相同零售商訂貨需求量的情況下，剩余折扣補貼契約較批發(fā)價契約可以刺激制造商提高計劃產(chǎn)量和期望利潤的條件，最后以制造商最優(yōu)條件為約束求解了兩種契約下零售商的最優(yōu)訂購量的解析表達(dá)形式，最后結(jié)合算例進(jìn)行了管理啟示分析，具備一定的管理指導(dǎo)意義。

進(jìn)一步的擴展研究：（1）本文假設(shè)制造商沒有初始庫存，當(dāng)制造商有初始庫存時制造商的生產(chǎn)將怎樣安排，這些可以作為進(jìn)一步的研究。（2）另外，可擴展研究批發(fā)價ω和產(chǎn)品售價p為內(nèi)生決策變量時的情形。

[1]趙霞,吳方衛(wèi),蔡榮.隨機產(chǎn)出與需求下二級供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)合同研究[J].管理科學(xué)學(xué)報,2014,17(8):34-47.

[2]彭紅軍,周梅華,劉滿芝.兩級生產(chǎn)不確定的煤炭供應(yīng)鏈均衡供應(yīng)策略研究[J].管理工程學(xué)報,2016,30(2):175-180.

[3]姜宏.基于顧客策略性購買和退貨行為的缺貨保障策略價值研究[J].中國管理科學(xué),2015,23(4):96-104.

[4]彭紅軍,周梅華,劉滿芝.兩級生產(chǎn)與需求不確定下供應(yīng)鏈風(fēng)險共擔(dān)模型研究[J].管理工程學(xué)報,2013,27(3):156-163.

[5]Liao Y,Shen W,Hu X,Yang S.Optimal Responses to Stockouts:Lateral Transshipment Versus Emergency Order Policies[J].Omega,2014,49:79-92.

[6]Sloot L M,Verhoef P C.The Impact of Brand Delisting on Store Switching and Brand Switching Intentions[J].Journal of Retailing,2008,84(3):281-296.

[7]張小玲,陸強.供應(yīng)鏈中斷下顧客缺貨反應(yīng)對牛鞭效應(yīng)的影響研究[J].中國管理科學(xué),2016,24(7):54-62.

[8]Inderfurth K.Analytical Solution For a Single Period Production Inventory Problem with Uniformly Distributed Yield and Demand[J].Central European Journal of Operations Research,2004,12(2):117-127.

[9]Sarmah S P,charya D A,S K Goyal.Buyer Vendor Coordination Models in Supply Chain Management[J].European Journal of Operational Research,2006,175:1-15.

[10]Tamjidzad S,Mirmohammadi S H.An Optimal(r,Q)Policy in a Stochastic Inventory System with All-Units Quantity Discount and Limited Sharable Resource[J].European Journal of Operational Research,2015,247(1):93-100.

[11]Gérard P Cachon,Martin A Lariviere.Supply Chain Coordination with Revenue-Sharing Contracts:Strengths and Limitations[J].Management science,2005,(1):30-44.

[12]王先甲,周亞平,錢桂生.生產(chǎn)商規(guī)模不經(jīng)濟(jì)的雙渠道供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)策略選擇[J].管理科學(xué)學(xué)報,2017,20(1):17-31.

[13]劉云志,樊治平.考慮損失規(guī)避與質(zhì)量水平的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)契約模型[J].系統(tǒng)工程學(xué)報,2017,32(1):89-102.

[14]黃松,楊珺.市值關(guān)注與非對稱顧客退貨信息下的供應(yīng)鏈契約設(shè)計[J].系統(tǒng)管理學(xué)報,2017,(1):186-195.

[15]方新,蹇明,靳留乾,等.考慮提前期壓縮的Newsvendor型產(chǎn)品供應(yīng)鏈契約協(xié)調(diào)模型[J].管理工程學(xué)報,2017,31(3):174-182.