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        從一道美國數(shù)學(xué)月刊問題談起

        2018-06-21 07:06:22山東省威海職業(yè)學(xué)院信息工程系
        關(guān)鍵詞:比克三邊余弦定理

        山東省威海職業(yè)學(xué)院信息工程系

        姜衛(wèi)東 (郵編:264210)

        設(shè)a、b、c、S表示△ABC的三邊長和面積.則有[1]

        這是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.

        ①已有很多種形式的加強(qiáng),其中最著名的是費-哈不等式

        最近,羅馬尼亞的Nicusor Minculet在《美國數(shù)學(xué)月刊》2017年第6-7期[2]給出(1)的另一種加強(qiáng),即如下問題

        問題11990:在△ABC中,有

        注意到文[1,第46至47頁]在證明(1)的過程中,已經(jīng)得到

        顯然④比③更強(qiáng).

        注記由④等價變形,可得

        此即文[4]的主要結(jié)論.

        現(xiàn)再給出④的一個有趣加強(qiáng),即下面的

        定理1設(shè)a、b、c、S表示△ABC的三邊長和面積.則

        證明在△ABC中,根據(jù)面積公式和余弦定理,有

        從而

        從而定理1成立.

        將⑥等價變形,可得如下的結(jié)論:

        ⑦顯然是⑤的一種加強(qiáng).

        聯(lián)想到安振平老師在《三十個有趣的不等式問題》[3]一文中的問題(29):

        設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c,面積為S,求證:

        受定理1的啟發(fā),我們給出⑧的一個加強(qiáng).

        定理2設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c,面積為S,則:

        證明由余弦定理及三角形面積公式,可得

        定理2證畢.

        推論

        1 O.Bottema等著,單墫譯,幾何不等式,北京大學(xué)出版社,1991

        2 American Mathematical Monthly, Vol. 124, No. 6, Jun 2017

        3 安振平,三十個有趣的不等式問題[J],中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2011(11)上旬:58

        4 王燕,外森比克不等式的一個有趣加強(qiáng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2007(4):61

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